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人教版八上数学第十三章13.3.1等腰三角形 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2022八上·岳麓开学考）如图，已知平分，于，，则下列结论：；；；；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021八上·遂宁期末）若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110° B．70° C．35° D．55°
3．（2021八上·嵩县期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·东海期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣ m° B．180°﹣2m°
C．30°+ m° D． m°
5．（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题
6．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
7．（2021八上·花都期末）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 °．
8．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
三、解答题
9．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
四、综合题
10．（2021八上·永定期末）已知：如图 ABC中，AB=AC=10，BC=8，∠A=39°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M，连接BD.
求：
（1）∠DBC的度数；
（2）△BDC的周长.
11．（2021八上·松桃期末）如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
12．（2021八上·长丰期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
13．（2022八上·青川期末）如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）试说明：；
（2）当时，求∠DEF的度数；
（3）猜想：写出当∠A为多少度时，．
14．（2021八上·淳安期末）如图
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、 AC上的点， AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
15．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE ，
， ，
，
，
，
故①正确；
②在AB上取点F ，使BE=EF，连接CF ．
在△ACD与△ACF中，
， ， ，
≌ ，
．
垂直平分 ，
，
．
又 ，
，
，故②正确；
③由②知， ≌ ，
，
又 ，
，故③正确；
④延长AD，过C做辅助线 ，
易得 ≌ ，
故AD ，
又 ，即可得 ， ，故④不正确.
故答案为：C.
【分析】在AE上取点F，使EF=BE，则AB=AD+2BE=AF+EF+BE=AF+2BE，推出AD=AF，则AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AE，据此判断①；在AB上取点 F，使BE=EF，连接CF，易证△ACD ≌△ACF，得∠ADC=∠AFC，根据垂直平分线以及等腰三角形的性质得∠CFB=∠B，结合邻补角的性质得∠ADC+∠B=180°，然后利用四边形内角和为360°可判断②；根据全等三角形的性质得CD=CF，结合CF=CB可得CD=CB，据此判断③；延长AD过C做辅助线CG⊥AG，易得△ACG≌△ACE，则AD+DG=AE，结合AB=AD+2BE=AE+BE可得DG=BE，然后根据三角形的面积公式可判断④.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角的度数为 ，
这个等腰三角形的顶角的度数为 ，底角的度数为 ，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【分析】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝
（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝
[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝
[180°﹣（180°﹣m°）]＝
m°，
故答案为：D.
【分析】由AD垂直平分BE可得AB＝AE，从而得出AB＝AE=AC，利用等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，∠AEC＝∠ACE，即得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，由三角形内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，由∠BEC＝
（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）即可求解.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
6．【答案】5
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【分析】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
7．【答案】70或110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①
∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；
②
∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．
故答案为：70或110．
【分析】分两种情况，分别画出图象并利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
8．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
9．【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
10．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A=39°，
∴∠ABC=∠ACB=70.5°，
又∵DM为AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=39°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=31.5°；
（2）解：∵DB=AD，AC=10，BC=8，
∴DB+DC=AD+DC=AC=10.
∴△DBC的周长为DB+DC+BC=18.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1） 由等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠ABC=∠ACB=70.5°，由线段的垂直平分线的性质可得DA=DB，利用等边对等角可得∠A=∠DBA=39°，利用∠DBC=∠ABC-∠DBA即可求解；
（2）由△DBC的周长为DB+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC即可求解.
11．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （AAS）.
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及对顶角相等可得∠A=∠ABC=∠GBH，由垂直的定义可得∠AFE=∠BHG=90°，根据AAS证明△AEF≌△BGH；
（2）由全等三角形的性质可得AF=BH，从而求出AB=FH=4 ，根据AAS证明△EFD≌△GHD，利用全等三角形的性质可得DH的长 .
12．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴BD×AH=CE×AF，
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE；
（3）解：PE=AP+PD，理由如下：
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
又∵OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，
∴∠NPD=∠DAE=α=60°，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，
又∵AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，
又∵AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由SAS证出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出S△BAD=S△CAE，BD=CE，由三角形面积公式得出AH=AF，由角平分线的性质即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出∠BDA=∠CEA，由SAS证出△AOE≌△APD，得出AP=AO，可证出△APO是等边三角形，推出AP=PO，得出PE=AP+PD。
13．【答案】（1）解：∵，，
∴，
在和中，，
，
．
（2）解：，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设当时，，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴，
，
，
解得，
即当时，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据线段和差关系求出BD= EC，再根据SAS证明△BDE≌△CEF，则可得出DE=EF；
（2）先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质得出∠B=∠C= 70°，再根据三角形的内角和定理可得∠BDE+∠DEB=110°，然后根据全等三角形的性质得∠BDE=∠CEF，从而得出∠CEF+∠DEB= 110°，最后根据平角的定义即可求出结论；
（3）当∠A=x时，∠EDF+∠EFD= 120°，利用（2） 的方法求出∠DEF= 90°-x，再根据三角形的内角和定理建立方程求解，即可解答.
14．【答案】（1）解：在AB上取点F，使AF＝AD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠FAC，
∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC（公共边）
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC＝FC，
∠CDA＝∠CFA，
又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CFE+∠AFC＝180°，
∴∠B＝∠CFE，
∴CB＝CF，
又∵DC＝FC，
∴BC＝CD．
（2）证明：如图（2），在DE上取点G，使得DG=DF，
∵AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD
∴△ADG≌△ADF(SAS)
∴AG=AF，∠AGD=∠AFD
∵∠AGD+∠ADG+∠GAD=∠AFD+∠ADF+∠DAF=180°
∴∠AFD+∠AED=180°而∠AGD+∠AGE=180°
∴∠AED =∠AGE
∴AG=AE =AF，
∴AB－AE =AC－AF
∴BE=CF
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）在AB上取点F，使AF＝AD，利用角平分线的定义可证得∠DAC＝∠FAC；再利用SAS证明△ADC≌△AFC，利用全等三角形的性质可推出DC＝FC；∠CDA＝∠CFA，利用补角的性质可知∠B＝∠CFE，利用等角对等边可证得CB＝CF，由此可推出结论.
（2）在DE上取点G，使得DG=DF，利用SAS证明△ADG≌△ADF，利用全等三角形的性质可推出AG=AF，∠AGD=∠AFD；再证明∠AED =∠AGE，可推出AG=AE=AF，然后根据AB－AE =AC－AF，可证得结论.
15．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
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人教版八上数学第十三章13.3.1等腰三角形 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2022八上·岳麓开学考）如图，已知平分，于，，则下列结论：；；；；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE ，
， ，
，
，
，
故①正确；
②在AB上取点F ，使BE=EF，连接CF ．
在△ACD与△ACF中，
， ， ，
≌ ，
．
垂直平分 ，
，
．
又 ，
，
，故②正确；
③由②知， ≌ ，
，
又 ，
，故③正确；
④延长AD，过C做辅助线 ，
易得 ≌ ，
故AD ，
又 ，即可得 ， ，故④不正确.
故答案为：C.
【分析】在AE上取点F，使EF=BE，则AB=AD+2BE=AF+EF+BE=AF+2BE，推出AD=AF，则AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AE，据此判断①；在AB上取点 F，使BE=EF，连接CF，易证△ACD ≌△ACF，得∠ADC=∠AFC，根据垂直平分线以及等腰三角形的性质得∠CFB=∠B，结合邻补角的性质得∠ADC+∠B=180°，然后利用四边形内角和为360°可判断②；根据全等三角形的性质得CD=CF，结合CF=CB可得CD=CB，据此判断③；延长AD过C做辅助线CG⊥AG，易得△ACG≌△ACE，则AD+DG=AE，结合AB=AD+2BE=AE+BE可得DG=BE，然后根据三角形的面积公式可判断④.
2．（2021八上·遂宁期末）若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110° B．70° C．35° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角的度数为 ，
这个等腰三角形的顶角的度数为 ，底角的度数为 ，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
3．（2021八上·嵩县期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【分析】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
4．（2020八上·东海期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣ m° B．180°﹣2m°
C．30°+ m° D． m°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝
（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝
[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝
[180°﹣（180°﹣m°）]＝
m°，
故答案为：D.
【分析】由AD垂直平分BE可得AB＝AE，从而得出AB＝AE=AC，利用等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，∠AEC＝∠ACE，即得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，由三角形内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，由∠BEC＝
（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）即可求解.
5．（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
二、填空题
6．（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
【答案】5
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【分析】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
7．（2021八上·花都期末）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 °．
【答案】70或110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①
∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；
②
∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．
故答案为：70或110．
【分析】分两种情况，分别画出图象并利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
8．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
三、解答题
9．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
四、综合题
10．（2021八上·永定期末）已知：如图 ABC中，AB=AC=10，BC=8，∠A=39°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M，连接BD.
求：
（1）∠DBC的度数；
（2）△BDC的周长.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A=39°，
∴∠ABC=∠ACB=70.5°，
又∵DM为AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=39°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=31.5°；
（2）解：∵DB=AD，AC=10，BC=8，
∴DB+DC=AD+DC=AC=10.
∴△DBC的周长为DB+DC+BC=18.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1） 由等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠ABC=∠ACB=70.5°，由线段的垂直平分线的性质可得DA=DB，利用等边对等角可得∠A=∠DBA=39°，利用∠DBC=∠ABC-∠DBA即可求解；
（2）由△DBC的周长为DB+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC即可求解.
11．（2021八上·松桃期末）如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （AAS）.
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及对顶角相等可得∠A=∠ABC=∠GBH，由垂直的定义可得∠AFE=∠BHG=90°，根据AAS证明△AEF≌△BGH；
（2）由全等三角形的性质可得AF=BH，从而求出AB=FH=4 ，根据AAS证明△EFD≌△GHD，利用全等三角形的性质可得DH的长 .
12．（2021八上·长丰期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴BD×AH=CE×AF，
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE；
（3）解：PE=AP+PD，理由如下：
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
又∵OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，
∴∠NPD=∠DAE=α=60°，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，
又∵AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，
又∵AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由SAS证出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出S△BAD=S△CAE，BD=CE，由三角形面积公式得出AH=AF，由角平分线的性质即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出∠BDA=∠CEA，由SAS证出△AOE≌△APD，得出AP=AO，可证出△APO是等边三角形，推出AP=PO，得出PE=AP+PD。
13．（2022八上·青川期末）如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）试说明：；
（2）当时，求∠DEF的度数；
（3）猜想：写出当∠A为多少度时，．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
在和中，，
，
．
（2）解：，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设当时，，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴，
，
，
解得，
即当时，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据线段和差关系求出BD= EC，再根据SAS证明△BDE≌△CEF，则可得出DE=EF；
（2）先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质得出∠B=∠C= 70°，再根据三角形的内角和定理可得∠BDE+∠DEB=110°，然后根据全等三角形的性质得∠BDE=∠CEF，从而得出∠CEF+∠DEB= 110°，最后根据平角的定义即可求出结论；
（3）当∠A=x时，∠EDF+∠EFD= 120°，利用（2） 的方法求出∠DEF= 90°-x，再根据三角形的内角和定理建立方程求解，即可解答.
14．（2021八上·淳安期末）如图
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、 AC上的点， AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
【答案】（1）解：在AB上取点F，使AF＝AD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠FAC，
∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC（公共边）
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC＝FC，
∠CDA＝∠CFA，
又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CFE+∠AFC＝180°，
∴∠B＝∠CFE，
∴CB＝CF，
又∵DC＝FC，
∴BC＝CD．
（2）证明：如图（2），在DE上取点G，使得DG=DF，
∵AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD
∴△ADG≌△ADF(SAS)
∴AG=AF，∠AGD=∠AFD
∵∠AGD+∠ADG+∠GAD=∠AFD+∠ADF+∠DAF=180°
∴∠AFD+∠AED=180°而∠AGD+∠AGE=180°
∴∠AED =∠AGE
∴AG=AE =AF，
∴AB－AE =AC－AF
∴BE=CF
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）在AB上取点F，使AF＝AD，利用角平分线的定义可证得∠DAC＝∠FAC；再利用SAS证明△ADC≌△AFC，利用全等三角形的性质可推出DC＝FC；∠CDA＝∠CFA，利用补角的性质可知∠B＝∠CFE，利用等角对等边可证得CB＝CF，由此可推出结论.
（2）在DE上取点G，使得DG=DF，利用SAS证明△ADG≌△ADF，利用全等三角形的性质可推出AG=AF，∠AGD=∠AFD；再证明∠AED =∠AGE，可推出AG=AE=AF，然后根据AB－AE =AC－AF，可证得结论.
15．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
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