人教版八上数学第十三章13.3.1等腰三角形 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=x°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠ACB=（180°-∠B）=（180°-x°）=90°-x°；
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ACB=（90°-x°）=45°-x°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠APE=∠DPC=90°-∠DCP=90°-（45°-x°）=45°+x°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACB，利用三角形的内角和为180°，可表示出∠ACB的度数；利用角平分线的定义表示出∠DCP的度数；然后利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，可表示出∠APE的度数.
2．（2022八上·西湖期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别与AB，BC交于D，E，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2∠ABC=2×40°＝80°；
故答案为：B.
【分析】连接BO，并延长BO到P，根据垂直平分线的性质可得AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，则∠DOE＋∠ABC＝180°，结合邻补角的性质可得∠ABC＝∠1＝40°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，然后结合外角的性质进行计算.
3．（2021八上·嘉兴期末）如图，在 中， 是BC边上的高，点 在AD上，且 ，则△ABC的面积为s，则是△ABE的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是BC边上的中线，即BD=DC，
又∵△ABC的面积为S，
∴△ABD面积为，
∵AE=，
∴△ABE 的面积为，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质求出△ABD面积，再根据AE=求出△ABE的面积 即可.
4．（2021八上·平阴期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①BE＋CF＝EF；②∠BOC＝90°＋∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn其中正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠FOC=∠BCO，
∴∠FOC=∠ACO，
∴FO=FC，
同理可得BE=OE，
∴BE=OE=EF-OF=EF-FC；所以①正确；
∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠OCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，所以②错误；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等；所以③正确，
∴点O到AB的距离=OD=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE m+AF m=mn，所以④正确．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可推出∠FOC=∠BCO=∠ACO，由等角对等边可得FO=FC，同理可得BE=OE，从而得出BE=OE=EF-OF=EF-FC，据此判断①；由角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，利用三角形的内角和可得∠BOC=180°-（∠ABC+∠OCB）=90°+∠A，据此判断②；由三角形的三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等，即得点O到AB的距离=OD=m，可得S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE m+AF m=mn，据此判断③④.
5．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
6．（2021八上·临沭月考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（ ）
A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠AOC＝30°，再分类讨论，结合图形求解即可。
二、填空题
7．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中， ， ，线段AB的垂直平分线MN与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD，则 度.
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠CAB=55°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=35°，
∴∠DAC=20°，
故答案为：20.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠CAB=55°，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等边对等角得∠B=∠BAD=35°，根据∠DAC=∠CAB-∠BAD即可求解.
8．（2021八上·徐汇期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °．
【答案】74
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
【分析】连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD=AB，再利用等边对等角的性质可得∠DBC=∠C=37°，∠A=∠ADB=74°。
9．（2021八上·宜春期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为 ．
【答案】45°或15°或75°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，
AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，，
∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据题意画出符合的三种情况，再根据含30度角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角和的外角性质、等腰三角形的性质，求出即可。
三、作图题
10．（2021八上·房山期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形．
【答案】解：如图所示：
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质作图即可。
四、解答题
11．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
五、综合题
12．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得∠B=∠E，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可知∠ACB=∠DFE，由此可证得△GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠DFE，进而根据等角对等边证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明△AFG≌△DCG.
13．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：AD//FG；
（2）求证：；
（3）若，且，直接写出的长．
【答案】（1）解：，为的中点，
，
，
；
（2）解：，为的中点，
，
，
，，
，
；
（3）解： ，，AB=AE+BE，
，，
由（2）可知，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，由EF⊥BC可得AD∥FG；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠BAD=∠CAD，利用平行线的性质可得，，从而得出，由等角对等边即得结论；
（3）先求出AE =3，BE =1， 由（2）可知=3，利用CG=AG+AC即可求解.
14．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、垂直平分，分别交、于点、连接、．
（1）求的度数；
（2）若的周长为，则的长为 ．
【答案】（1）解：垂直平分，
，
，
同理可得，
，
在中，，
；
（2）15
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）垂直平分，
，
同理，
的周长为，
．
故答案为：15．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得∠CAN=∠C，利用角的和差可得，利用三角形的内角和求出∠B+∠C的度数，然后代入计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AN=CN，利用△AEN的周长=AE+EN+AN=，即可求解.
15．（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
【答案】（1）解：如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）AE＝CF＋BC
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．
由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
当点E在线段BA的延长线上，
CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
如图③，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．
【分析】（1）延长CD，FE交于点M，利用“AAS”证明△MED≌△CBD，得到ME=BC，并利用角平分线和平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M，类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的外角平分线时，AE=CF+BC。
1 / 1人教版八上数学第十三章13.3.1等腰三角形 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·西湖期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
3．（2021八上·嘉兴期末）如图，在 中， 是BC边上的高，点 在AD上，且 ，则△ABC的面积为s，则是△ABE的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·平阴期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①BE＋CF＝EF；②∠BOC＝90°＋∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn其中正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
6．（2021八上·临沭月考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（ ）
A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
二、填空题
7．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中， ， ，线段AB的垂直平分线MN与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD，则 度.
8．（2021八上·徐汇期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °．
9．（2021八上·宜春期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为 ．
三、作图题
10．（2021八上·房山期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形．
四、解答题
11．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
五、综合题
12．（2021八上·遂宁期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
13．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：AD//FG；
（2）求证：；
（3）若，且，直接写出的长．
14．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、垂直平分，分别交、于点、连接、．
（1）求的度数；
（2）若的周长为，则的长为 ．
15．（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=x°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠ACB=（180°-∠B）=（180°-x°）=90°-x°；
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ACB=（90°-x°）=45°-x°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠APE=∠DPC=90°-∠DCP=90°-（45°-x°）=45°+x°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACB，利用三角形的内角和为180°，可表示出∠ACB的度数；利用角平分线的定义表示出∠DCP的度数；然后利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，可表示出∠APE的度数.
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别与AB，BC交于D，E，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2∠ABC=2×40°＝80°；
故答案为：B.
【分析】连接BO，并延长BO到P，根据垂直平分线的性质可得AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，则∠DOE＋∠ABC＝180°，结合邻补角的性质可得∠ABC＝∠1＝40°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，然后结合外角的性质进行计算.
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是BC边上的中线，即BD=DC，
又∵△ABC的面积为S，
∴△ABD面积为，
∵AE=，
∴△ABE 的面积为，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质求出△ABD面积，再根据AE=求出△ABE的面积 即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠FOC=∠BCO，
∴∠FOC=∠ACO，
∴FO=FC，
同理可得BE=OE，
∴BE=OE=EF-OF=EF-FC；所以①正确；
∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠OCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，所以②错误；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等；所以③正确，
∴点O到AB的距离=OD=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE m+AF m=mn，所以④正确．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可推出∠FOC=∠BCO=∠ACO，由等角对等边可得FO=FC，同理可得BE=OE，从而得出BE=OE=EF-OF=EF-FC，据此判断①；由角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，利用三角形的内角和可得∠BOC=180°-（∠ABC+∠OCB）=90°+∠A，据此判断②；由三角形的三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等，即得点O到AB的距离=OD=m，可得S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE m+AF m=mn，据此判断③④.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠AOC＝30°，再分类讨论，结合图形求解即可。
7．【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠CAB=55°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=35°，
∴∠DAC=20°，
故答案为：20.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠CAB=55°，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等边对等角得∠B=∠BAD=35°，根据∠DAC=∠CAB-∠BAD即可求解.
8．【答案】74
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
【分析】连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD=AB，再利用等边对等角的性质可得∠DBC=∠C=37°，∠A=∠ADB=74°。
9．【答案】45°或15°或75°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，
AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，，
∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据题意画出符合的三种情况，再根据含30度角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角和的外角性质、等腰三角形的性质，求出即可。
10．【答案】解：如图所示：
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质作图即可。
11．【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
12．【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得∠B=∠E，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可知∠ACB=∠DFE，由此可证得△GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠DFE，进而根据等角对等边证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明△AFG≌△DCG.
13．【答案】（1）解：，为的中点，
，
，
；
（2）解：，为的中点，
，
，
，，
，
；
（3）解： ，，AB=AE+BE，
，，
由（2）可知，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，由EF⊥BC可得AD∥FG；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠BAD=∠CAD，利用平行线的性质可得，，从而得出，由等角对等边即得结论；
（3）先求出AE =3，BE =1， 由（2）可知=3，利用CG=AG+AC即可求解.
14．【答案】（1）解：垂直平分，
，
，
同理可得，
，
在中，，
；
（2）15
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）垂直平分，
，
同理，
的周长为，
．
故答案为：15．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得∠CAN=∠C，利用角的和差可得，利用三角形的内角和求出∠B+∠C的度数，然后代入计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AN=CN，利用△AEN的周长=AE+EN+AN=，即可求解.
15．【答案】（1）解：如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）AE＝CF＋BC
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．
由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
当点E在线段BA的延长线上，
CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
如图③，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．
【分析】（1）延长CD，FE交于点M，利用“AAS”证明△MED≌△CBD，得到ME=BC，并利用角平分线和平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M，类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的外角平分线时，AE=CF+BC。
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