人教版八上数学第十三章13.3.1等腰三角形 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2022八上·义乌期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）.
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
2．（2021八上·密山期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
3．（2021八上·如皋月考）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（ ）
A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
4．（2021八上·博兴期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则其底角的大小为（ ）
A．65° B．105° C．55°或35° D．65°或115°
5．（2021八上·江阴期中）如图， ，点B和点C是对应顶点， ，记 ，当 时， 与 之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．（2021八上·道里期末）如图，在中，BD和CD分别是和的平分线，EF过点D，且，若，，则EF的长为 ．
8．（2021八上·长沙月考）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠EBA+∠ECA＝m°，则∠BAC＝ °.
9．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
三、综合题
10．（2022八上·西湖期末）如图，在中，，点D为边BC上一点，且，过点D作BC的垂线交AC于点E.
（1）求证：
（2）当时，求证：.
11．（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
12．（2021八上·思南月考）如图，在ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F.
（1）若CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.
13．（2021八上·岫岩期中）如图，在四边形 中， ， 的平分线交 的延长线于点E，F是 的中点，连接 并延长交 于点G.
（1）求证： 平分 .
（2）若 ， ，求 的度数.
14．（2021八上·淮滨月考）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.设P点的运动时间为t.
（1）CP＝ cm.（用含t的式子表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
15．（2021八上·阜阳期中）如图1所示，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 或 的延长线于点 ．
（1）如图1所示，若 ，求 的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的 的度数改为 ，其余条件不变，再求 的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
16．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
17．（2021八上·鹿城期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
18．（2021八上·广州期中）已知，在等腰 中， 于点D．以 为边作等边 ，直线 交直线 于点F，连接 ．
（1）如图1， 与 在直线 的异侧，且 交 于点M．
①求证： ；
②猜想线段 之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当 ，且 与 在直线 的同侧时，利用图2探究线段 之间的数量关系，并直接写出你的结论．
19．（2021八上·宜兴期中）已知在△ABC中，点D在边BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA.
（1）如图①，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为 ；
（3）如图②，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由.
20．（2021八上·盐湖期中）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
.
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或.
故答案为：D.
【分析】当BC=CD时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=80°，根据角平分线的概念可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质可得∠BDC的度数；当BD=BC时，同理可得∠ABC=80°，∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数；当DB=DC时，同理可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质，等腰三角形的性质等对每个结论一一判断即可。
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：
∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°.
故答案为：C.
【分析】在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，利用角平分线的性质可证得∠BAC=∠EAC，利用SAS证明△ABC≌△AEC，利用全等三角形的性质可证得BC＝EC，∠B＝∠AEC；再证明CD=CE，利用等边对等角可证得∠CDE=∠CED，由此可推出∠B＝∠CDE；然后利用邻补角的定义可证得∠B与∠ADC满足的数量关系.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝20°+90°＝110°
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行分析即可。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC= （180°-α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，
∴β+ （180°-α）=90°，
整理得，α=2β.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形性质得AB=AC，∠BAO=∠CAD，则∠BAC=∠OAD=α，由内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=(180°-α)，由平行线的性质得∠OBC=90°，由∠OBC=∠ABC+∠ABO=90°进行解答.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
7．【答案】7
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
又∵BE=3，CF=4，
∴EF=DE+DF=BE+CF=7．
故答案为：7．
【分析】根据BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，得出BE=DE，CF=DF，再根据BE=3，CF=4，即可得出答案。
8．【答案】2m
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连结AE，并延长EA到F，
∵AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠BEA，
∵AB＝AC，
∴AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠BAF为△ABE的外角，
∴∠BAF=∠EBA+∠BEA=2∠EBA，
∵∠CAF为△ACE的外角，
∴∠CAF=∠ECA+∠CEA=2∠ECA，
∵∠EBA+∠ECA＝m°，
∠BAC=∠BAF+∠CAF =2∠EBA+2∠ECA=2（∠EBA+∠ECA）=2m°.
故答案为：2m.
【分析】连结AE，并延长EA到F，根据垂直平分线的性质可得AB=AE，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，∠ACE=∠AEC，根据外角的性质可得∠BAF=2∠EBA，∠CAF=2∠ECA，然后根据∠BAC=∠BAF+∠CAF进行计算.
9．【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
10．【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AE＝DE.
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABC＝2∠DBE，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠DBE＝∠C，
∴CE＝BE，
∵ED⊥BC，
∴CD＝BD，
又∵AB＝BD，
∴AB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用HL证Rt△ABE≌Rt△DBE，然后根据全等三角形的性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE＝∠DBE，则∠ABC＝2∠DBE，结合已知条件可得CE＝BE，根据等腰三角形的性质可得CD＝BD，然后结合AB＝BD可得结论.
11．【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
12．【答案】（1）解：∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=16cm；
（2）解：∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
【知识点】垂线；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1） 根据线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，根据AB=AM+MN+NB=
MC+MN+NC=△CMN的周长即可求解；
（2）由垂直的定义及四边形内角和求出∠ACB=110°，利用三角形的内角和求出∠A+∠B=70°， 由MA=MC，NB=NC得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，从而求出∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
13．【答案】（1）证明： 平分 ，
.
，
，
，
，
是等腰三角形.
为 的中点，
平分 ，
即 平分 .
（2）解： ，
.
，
.
平分 ，
.
， ，
.
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）先证出 是等腰三角形，再证出 平分 ，即可得出结论；
（2）根据 平分 ，得出 .再根据 ， ，即可得出 的度数.
14．【答案】（1）
（2）解：全等，理由：
，点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
，
，点D为 的中点，
.
又 ， ，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
；
（3）解： 点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
与 不是对应边，
即 ，
若 ，且 ，
则 ， ，
点P，点Q运动的时间 ，
点Q的运动速度 ；
答：当点Q的运动速度为 时，能够使 与 全等.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，PC=BC-BP=(8-3t) cm ，
故答案为： （8-3t）；
【分析】（1）由题意可得BP=3t，然后根据PC=BC-BP可得PC；
（2）易得BP=CQ=3cm，则PC=BC-BP=5cm，根据中点的概念可得BD=5cm，推出PC=BD，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，然后利用全等三角形的判定定理进行解答；
（3）易知BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，则∠B=∠C，BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，据此可得点P、Q运动的时间，进而可得点Q的运动速度.
15．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）同理（1）可得： ．
（3）猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即 ．
理由：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出∠B=70°，最后计算求解即可；
（2）求出 即可作答；
（3）先求出 ，再求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出∠B的度数，由此得出答案。
17．【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝ CF＝ BD
（3）解：∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝ ∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，由对顶角的性质可得∠ADB＝∠CDE，根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACF，接下来结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝CF，易得BC＝BF，结合等腰三角形的性质可得CE＝EF，据此证明；
（3）过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，根据△ABD的面积公式可得AH＝AG，推出EA平分∠BEF，据此解答.
18．【答案】（1）解：①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC
∴AB＝AE
∴∠ABF＝∠AEF
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF＝∠ACF
∴∠ACF＝∠AEF；
②EF+AF=BF，理由如下：
如图，在CF上取FG=FE，连接EG，
由（1）得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，
∵△AEC是等边三角形
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，
∴∠FCA+∠ECF=60°，
∴∠AEF+∠ECF=60°，
∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，
∴∠EFG=60°，
∵FE=FG，
∴△EFG为等边三角形，
∴EG=EF，∠FEG=60°，
∴∠AEF+∠AEG=60°，
又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，
∴∠FEA=∠GEC，
∴△FEA≌△GEC（SAS），
∴AF=GC，
∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，
∴EF+AF=BF；
（2）解：BF+EF=AF，理由如下：
如图，在AF上截取FH=FC，连接CH，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD
∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°
∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，
∴
∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，
∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，
∴∠AFE=60°，
∴∠CFD=60°，
∴∠EFC=120°，
又∵FH=FC，
∴△FHC是等边三角形，
∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，
∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，
∴∠ACH=∠ECF，
∴△ACH≌△ECF（SAS），
∴AH=EF，
∴EF+CF=FH+AH=AF，
∴BF+EF=AF．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）①根据△AEC是等边三角形，得出AB＝AE，推出AD是BC的垂直平分线，证出△ABF≌△ACF（SSS），即可得出结论；②由（1）得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，根据△AEC是等边三角形，得出∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，推出△EFG为等边三角形，再证得△FEA≌△GEC（SAS），得出AF=GC，即可得出结论；
（2）在AF上截取FH=FC，连接CH，根据△ACE是等边三角形，得出AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°，推出△FHC是等边三角形，得出△ACH≌△ECF（SAS），得出AH=EF，推出EF+CF=FH+AH=AF，即可得出结论。
19．【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°
∴∠B＝∠ACB＝45°
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°－∠B）＝67.5°
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝ ∠ACB＝22.5°
∴在△ADE中，∠DAE＝∠ADB－∠E＝67.5°－22.5°＝45°
（2）45°
（3）解：∠DAE＝ ∠BAC
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°－2y，∠E＝∠CAE＝x
∴∠BAE＝180°－∠B－∠E＝2y－x
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝2y－x－y＝y－x
∠BAC＝∠BAE－∠CAE＝2y－x－x＝2y－2x
∴∠DAE＝ ∠BAC.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝ ×（180° 60°）＝60°，
∴∠DAE＝∠ADB ∠E＝45°；
故答案为：45°；
【分析】（1）根据内角和定理可得∠ACB＝45°，由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠BDA=67.5°，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，由外角的性质可得∠DAE＝∠ADB-∠E，据此计算；
（2）根据内角和定理可得∠ACB＝30°，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠E，结合外角的性质可得∠E＝15°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB＝∠BAD＝60°，由外角的性质可得∠DAE+∠E=∠ADB，据此计算；
（3）设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°-2y，∠E＝∠CAE＝x，由内角和定理可得∠BAE＝2y-x，由角的和差关系可得∠DAE＝y-x，∠BAC＝2y-2x，据此解答.
20．【答案】（1）解： ．
理由：∵ 与 是对顶三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，且 ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设AC，BD相交于点M，则 ，
∴ ，
综上所述， ，且 ；
（3）证明：∵E为AD的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据“ 对顶三角形 ”可得，，，利用三角形的内角和求出∠OAB、∠OCD的度数，从而得出∠OAB=∠OCD，根据平行线的判定即证；
（2）证明，可得，，然后利用三角形的内角和求出， 设AC，BD相交于点M，利用三角形外角的性质可得 ，即得结论；
（3）先证，再证，可得 ，由 ，可得 ，从而求出，据此即得结论.
1 / 1人教版八上数学第十三章13.3.1等腰三角形 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2022八上·义乌期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）.
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
.
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或.
故答案为：D.
【分析】当BC=CD时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=80°，根据角平分线的概念可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质可得∠BDC的度数；当BD=BC时，同理可得∠ABC=80°，∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数；当DB=DC时，同理可得∠CBD=40°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC的度数.
2．（2021八上·密山期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质，等腰三角形的性质等对每个结论一一判断即可。
3．（2021八上·如皋月考）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（ ）
A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：
∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°.
故答案为：C.
【分析】在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，利用角平分线的性质可证得∠BAC=∠EAC，利用SAS证明△ABC≌△AEC，利用全等三角形的性质可证得BC＝EC，∠B＝∠AEC；再证明CD=CE，利用等边对等角可证得∠CDE=∠CED，由此可推出∠B＝∠CDE；然后利用邻补角的定义可证得∠B与∠ADC满足的数量关系.
4．（2021八上·博兴期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则其底角的大小为（ ）
A．65° B．105° C．55°或35° D．65°或115°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝20°+90°＝110°
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行分析即可。
5．（2021八上·江阴期中）如图， ，点B和点C是对应顶点， ，记 ，当 时， 与 之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC= （180°-α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，
∴β+ （180°-α）=90°，
整理得，α=2β.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形性质得AB=AC，∠BAO=∠CAD，则∠BAC=∠OAD=α，由内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=(180°-α)，由平行线的性质得∠OBC=90°，由∠OBC=∠ABC+∠ABO=90°进行解答.
6．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
二、填空题
7．（2021八上·道里期末）如图，在中，BD和CD分别是和的平分线，EF过点D，且，若，，则EF的长为 ．
【答案】7
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
又∵BE=3，CF=4，
∴EF=DE+DF=BE+CF=7．
故答案为：7．
【分析】根据BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，得出BE=DE，CF=DF，再根据BE=3，CF=4，即可得出答案。
8．（2021八上·长沙月考）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠EBA+∠ECA＝m°，则∠BAC＝ °.
【答案】2m
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连结AE，并延长EA到F，
∵AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠BEA，
∵AB＝AC，
∴AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠BAF为△ABE的外角，
∴∠BAF=∠EBA+∠BEA=2∠EBA，
∵∠CAF为△ACE的外角，
∴∠CAF=∠ECA+∠CEA=2∠ECA，
∵∠EBA+∠ECA＝m°，
∠BAC=∠BAF+∠CAF =2∠EBA+2∠ECA=2（∠EBA+∠ECA）=2m°.
故答案为：2m.
【分析】连结AE，并延长EA到F，根据垂直平分线的性质可得AB=AE，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，∠ACE=∠AEC，根据外角的性质可得∠BAF=2∠EBA，∠CAF=2∠ECA，然后根据∠BAC=∠BAF+∠CAF进行计算.
9．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
三、综合题
10．（2022八上·西湖期末）如图，在中，，点D为边BC上一点，且，过点D作BC的垂线交AC于点E.
（1）求证：
（2）当时，求证：.
【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AE＝DE.
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABC＝2∠DBE，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠DBE＝∠C，
∴CE＝BE，
∵ED⊥BC，
∴CD＝BD，
又∵AB＝BD，
∴AB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用HL证Rt△ABE≌Rt△DBE，然后根据全等三角形的性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE＝∠DBE，则∠ABC＝2∠DBE，结合已知条件可得CE＝BE，根据等腰三角形的性质可得CD＝BD，然后结合AB＝BD可得结论.
11．（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
12．（2021八上·思南月考）如图，在ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F.
（1）若CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.
【答案】（1）解：∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=16cm；
（2）解：∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
【知识点】垂线；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1） 根据线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，根据AB=AM+MN+NB=
MC+MN+NC=△CMN的周长即可求解；
（2）由垂直的定义及四边形内角和求出∠ACB=110°，利用三角形的内角和求出∠A+∠B=70°， 由MA=MC，NB=NC得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，从而求出∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
13．（2021八上·岫岩期中）如图，在四边形 中， ， 的平分线交 的延长线于点E，F是 的中点，连接 并延长交 于点G.
（1）求证： 平分 .
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明： 平分 ，
.
，
，
，
，
是等腰三角形.
为 的中点，
平分 ，
即 平分 .
（2）解： ，
.
，
.
平分 ，
.
， ，
.
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）先证出 是等腰三角形，再证出 平分 ，即可得出结论；
（2）根据 平分 ，得出 .再根据 ， ，即可得出 的度数.
14．（2021八上·淮滨月考）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.设P点的运动时间为t.
（1）CP＝ cm.（用含t的式子表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）
（2）解：全等，理由：
，点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
，
，点D为 的中点，
.
又 ， ，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
；
（3）解： 点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
与 不是对应边，
即 ，
若 ，且 ，
则 ， ，
点P，点Q运动的时间 ，
点Q的运动速度 ；
答：当点Q的运动速度为 时，能够使 与 全等.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，PC=BC-BP=(8-3t) cm ，
故答案为： （8-3t）；
【分析】（1）由题意可得BP=3t，然后根据PC=BC-BP可得PC；
（2）易得BP=CQ=3cm，则PC=BC-BP=5cm，根据中点的概念可得BD=5cm，推出PC=BD，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，然后利用全等三角形的判定定理进行解答；
（3）易知BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，则∠B=∠C，BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，据此可得点P、Q运动的时间，进而可得点Q的运动速度.
15．（2021八上·阜阳期中）如图1所示，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 或 的延长线于点 ．
（1）如图1所示，若 ，求 的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的 的度数改为 ，其余条件不变，再求 的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）同理（1）可得： ．
（3）猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即 ．
理由：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出∠B=70°，最后计算求解即可；
（2）求出 即可作答；
（3）先求出 ，再求解即可。
16．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出∠B的度数，由此得出答案。
17．（2021八上·鹿城期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝ CF＝ BD
（3）解：∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝ ∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，由对顶角的性质可得∠ADB＝∠CDE，根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACF，接下来结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝CF，易得BC＝BF，结合等腰三角形的性质可得CE＝EF，据此证明；
（3）过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，根据△ABD的面积公式可得AH＝AG，推出EA平分∠BEF，据此解答.
18．（2021八上·广州期中）已知，在等腰 中， 于点D．以 为边作等边 ，直线 交直线 于点F，连接 ．
（1）如图1， 与 在直线 的异侧，且 交 于点M．
①求证： ；
②猜想线段 之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当 ，且 与 在直线 的同侧时，利用图2探究线段 之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【答案】（1）解：①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC
∴AB＝AE
∴∠ABF＝∠AEF
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF＝∠ACF
∴∠ACF＝∠AEF；
②EF+AF=BF，理由如下：
如图，在CF上取FG=FE，连接EG，
由（1）得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，
∵△AEC是等边三角形
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，
∴∠FCA+∠ECF=60°，
∴∠AEF+∠ECF=60°，
∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，
∴∠EFG=60°，
∵FE=FG，
∴△EFG为等边三角形，
∴EG=EF，∠FEG=60°，
∴∠AEF+∠AEG=60°，
又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，
∴∠FEA=∠GEC，
∴△FEA≌△GEC（SAS），
∴AF=GC，
∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，
∴EF+AF=BF；
（2）解：BF+EF=AF，理由如下：
如图，在AF上截取FH=FC，连接CH，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD
∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°
∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，
∴
∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，
∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，
∴∠AFE=60°，
∴∠CFD=60°，
∴∠EFC=120°，
又∵FH=FC，
∴△FHC是等边三角形，
∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，
∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，
∴∠ACH=∠ECF，
∴△ACH≌△ECF（SAS），
∴AH=EF，
∴EF+CF=FH+AH=AF，
∴BF+EF=AF．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）①根据△AEC是等边三角形，得出AB＝AE，推出AD是BC的垂直平分线，证出△ABF≌△ACF（SSS），即可得出结论；②由（1）得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，根据△AEC是等边三角形，得出∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，推出△EFG为等边三角形，再证得△FEA≌△GEC（SAS），得出AF=GC，即可得出结论；
（2）在AF上截取FH=FC，连接CH，根据△ACE是等边三角形，得出AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°，推出△FHC是等边三角形，得出△ACH≌△ECF（SAS），得出AH=EF，推出EF+CF=FH+AH=AF，即可得出结论。
19．（2021八上·宜兴期中）已知在△ABC中，点D在边BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA.
（1）如图①，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为 ；
（3）如图②，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°
∴∠B＝∠ACB＝45°
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°－∠B）＝67.5°
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝ ∠ACB＝22.5°
∴在△ADE中，∠DAE＝∠ADB－∠E＝67.5°－22.5°＝45°
（2）45°
（3）解：∠DAE＝ ∠BAC
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°－2y，∠E＝∠CAE＝x
∴∠BAE＝180°－∠B－∠E＝2y－x
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝2y－x－y＝y－x
∠BAC＝∠BAE－∠CAE＝2y－x－x＝2y－2x
∴∠DAE＝ ∠BAC.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝ ×（180° 60°）＝60°，
∴∠DAE＝∠ADB ∠E＝45°；
故答案为：45°；
【分析】（1）根据内角和定理可得∠ACB＝45°，由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠BDA=67.5°，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，由外角的性质可得∠DAE＝∠ADB-∠E，据此计算；
（2）根据内角和定理可得∠ACB＝30°，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠E，结合外角的性质可得∠E＝15°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB＝∠BAD＝60°，由外角的性质可得∠DAE+∠E=∠ADB，据此计算；
（3）设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°-2y，∠E＝∠CAE＝x，由内角和定理可得∠BAE＝2y-x，由角的和差关系可得∠DAE＝y-x，∠BAC＝2y-2x，据此解答.
20．（2021八上·盐湖期中）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
【答案】（1）解： ．
理由：∵ 与 是对顶三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，且 ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设AC，BD相交于点M，则 ，
∴ ，
综上所述， ，且 ；
（3）证明：∵E为AD的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据“ 对顶三角形 ”可得，，，利用三角形的内角和求出∠OAB、∠OCD的度数，从而得出∠OAB=∠OCD，根据平行线的判定即证；
（2）证明，可得，，然后利用三角形的内角和求出， 设AC，BD相交于点M，利用三角形外角的性质可得 ，即得结论；
（3）先证，再证，可得 ，由 ，可得 ，从而求出，据此即得结论.
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