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人教版八上数学第十三章13.3.2等边三角形 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
2．（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2021八上·牡丹江期末）如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2021八上·科尔沁左翼中旗期末）如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．（2021八上·南充期末）如图，在 中， ， ，高 .作点H关于 ， 的对称点D，E，连接 交 于点P，交 于点Q；连接 ， ， ， .下列结论：① ；② ；③五边形 的面积是24；④ 的周长为6.其中正确结论是 .（填写序号）
三、解答题
6．（2022八上·青川期末）如图，在△ABC中，，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，．若，，求BC的长．
7．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
四、综合题
8．（2021八上·嵩县期末）如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA．
（1）求证：△AED是等边三角形；
（2）若△CDE是直角三角形，求α的度数．
9．（2021八上·松桃期末）如图，在
中，
，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且
，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证：
；
（2）判断
是否是等边三角形，并说明理由.
10．（2021八上·花都期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
11．（2021八上·济南期末）问题发现
（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是 ；
（2）问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
（3）问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
12．（2021八上·川汇期末）如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：.
13．（2021八上·章贡期末）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
14．（2021八上·永定期末）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求证 DOB≌ AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2， OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点O旋转（ OAB和 OCD不能重叠），求∠CEB的大小.
15．（2021八上·嵩县期末）如图①，△ABC 和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于F，AE=CE．
（1）求证： ；
（2）如图②，作 的边 上的高线 ，交 的延长线于点P，求证： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH.
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10.
故答案为：B.
【分析】利用AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF=CH，由于△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
可得BE=FH，由于五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+
AF)+(CE+BE)=AB+BC，据此计算即可.
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过P作，交AC于M，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过P作，交AC于M，得出是等边三角形，推出，根据等腰三角形的性质证出，推出，即可得出结论。
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝4．
故答案为：B．
【分析】先求出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再利用SAS证明△BAE≌△ACD，最后求出BP的值即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），则①符合题意；
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，
在ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，；则②符合题意；
∵∠MCN=60°，
∴为等边三角形；则③符合题意；
∵∠DAC=∠ECB=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，
∴；则④符合题意；
∴正确的结论由4个；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定以及等边三角形的性质判断即可。
5．【答案】①③④
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： ∵H 、D关于AC对称，点P是AC上的点，
， ， .
同理可得， ， ， .
① ，故①正确；
④△PQH的周长 .
由①知 ， ，故 是等边三角形.
，故④正确；
②在△PQH中， ，
而 ，即 ，
，
，故②错误；
③ ，故③正确.
故答案为：①③④.
【分析】利用轴对称的性质可证得PD=PH，△DAC≌△HAC，∠DCA=∠HCA，同理可得到QE=QH，△EBC≌△HBC，∠ECB=∠HCB，再证明∠DCE=2∠ACB，代入计算可求出∠DCE的度数，可对①作出判断；利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△DCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到DE=DC=CH=6；再证明△PQH的周长就是DE的长，可对④作出判断；利用三角形三边关系定理可证得PD+QE=PH+QH＞PQ，再证明PH+QH=6-PQ，由此可求出PQ的取值范围，可对②作出判断；易证五边形ABECD的面积=2△ABC的面积，由此可求出五边形ABECD的面积，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
6．【答案】解：延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，
∵，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵，
∴△BEM为等边三角形，，
则，
而，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，根据∠EBC=∠E=60°，得出△BEM是等边三角形，再利用等腰三角形性质得出AN⊥BC，则可求出∠NDM=30°，根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出NM的长，从而得出BN的长，再根据等腰三角形的性质求BC长即可.
7．【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
8．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ AD=AE ，∠BAD=∠CAE，∠BDA=∠AEC =α，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∠BDA＝α，
∴ ， ，
．
∵ 是直角三角形， ．
当 时， ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ 或 ．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质得∠BAD=∠CAE，∠CEA=α，AD=AE，易得∠BAC=∠DAE；再利用等边三角形的性质可求出∠BAC=60°，由此可得到∠DAE=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得结论；
（2）利用等边三角形的性质可证得∠ADE=∠AED=60°，可表示出∠CDE，∠CED，∠DCE；然后根据直角三角形的定义，分情况讨论：∠CED=90°时；∠CDE=90°时，分别求出α的值.
9．【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，
，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
10．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【知识点】角的运算；平行线的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
11．【答案】（1）CD=BE
（2）解：如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT．
∵∠BAT=∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠TAC，
在△TAC和△BAD中，
∴△TAC≌△BAD（SAS），
∴CT=BD，
∵∠ABT=∠ABC=45°，
∴∠TBC=90°，
∵AB=2BC=6，
∴，
∴，
∴BD=TC=9；
（3）解：存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．
∵△ABD，△BCF都是等边三角形，
∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，
∴∠DBC=∠ABF，
在△DBC和△ABF中，
∴△DBC≌△ABF（SAS），
∴DC=AF，
∵AC=2，CF=BC=3，
∴AF≤AC+CF，
∴AF≤5，
∴当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，
∴CD的最大值为5．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：(1)CD=BE．
理由：如图①中，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE．
【分析】（1）证明△DAC≌△BAE（SAS），即可得出结论；
（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT，证明△TAC≌△BAD（SAS），得出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可；
（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．证明△DBC≌△ABF（SAS），推出DC=AF，即可得出结论。
12．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：连接AG，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
∵，，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=∠AED=∠ACB=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ADE是等边三角形；
（2）连接AG，用边角边可证△ABF≌△ACG，则AF=AG，∠BAF=∠CAG，进而可得∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAG=∠BAC=60°，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可证△AFG是等边三角形，由等边三角形的性质可求解.
13．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
又∵∠BFP=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFP=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BFP=60°，
又∵BP⊥AD，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP=30°，
∴BF=2PF=2×6=12
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，AD=BE，再利用角的运算和等量代换可得∠BFP=60°，再利用BP⊥AD，求出∠FBP=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
14．【答案】（1）证明：如图1，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
（3）解：如图2，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
即∠CEB的大小不变.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）易得OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，从而求出∠BOD=∠AOC=120°，根据SAS证明△AOC≌△BOD；
（2）由△AOC≌△BOD得∠CAO=∠DBO， 由于∠1=∠2结合三角形内角和得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数；
（3）根据SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的对应边相等可得∠CAO=∠DBO，由于∠1=∠2结合三角形内角和可得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数即可判断.
15．【答案】（1）证明：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠ACB=∠DCE，CD=CE，则∠BCD=∠ACE，利用SAS可证得结论；
（2）连接BE，利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=AE，可推出BD=CD，再利用等腰三角形的性质可证得AD⊥BC，AD平分BC，可得到EG∥BC，利用平行线的性质可证得∠PEB=∠CBE；再利用SSS可证得△ABE≌△CBE，利用全等三角形的性质可证得∠ABE=∠CBE，可推出∠PEB=∠ABE，然后利用等角对等边可证得结论.
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人教版八上数学第十三章13.3.2等边三角形 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH.
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10.
故答案为：B.
【分析】利用AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF=CH，由于△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
可得BE=FH，由于五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+
AF)+(CE+BE)=AB+BC，据此计算即可.
2．（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过P作，交AC于M，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过P作，交AC于M，得出是等边三角形，推出，根据等腰三角形的性质证出，推出，即可得出结论。
3．（2021八上·牡丹江期末）如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝4．
故答案为：B．
【分析】先求出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再利用SAS证明△BAE≌△ACD，最后求出BP的值即可。
4．（2021八上·科尔沁左翼中旗期末）如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），则①符合题意；
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，
在ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，；则②符合题意；
∵∠MCN=60°，
∴为等边三角形；则③符合题意；
∵∠DAC=∠ECB=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，
∴；则④符合题意；
∴正确的结论由4个；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定以及等边三角形的性质判断即可。
二、填空题
5．（2021八上·南充期末）如图，在 中， ， ，高 .作点H关于 ， 的对称点D，E，连接 交 于点P，交 于点Q；连接 ， ， ， .下列结论：① ；② ；③五边形 的面积是24；④ 的周长为6.其中正确结论是 .（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： ∵H 、D关于AC对称，点P是AC上的点，
， ， .
同理可得， ， ， .
① ，故①正确；
④△PQH的周长 .
由①知 ， ，故 是等边三角形.
，故④正确；
②在△PQH中， ，
而 ，即 ，
，
，故②错误；
③ ，故③正确.
故答案为：①③④.
【分析】利用轴对称的性质可证得PD=PH，△DAC≌△HAC，∠DCA=∠HCA，同理可得到QE=QH，△EBC≌△HBC，∠ECB=∠HCB，再证明∠DCE=2∠ACB，代入计算可求出∠DCE的度数，可对①作出判断；利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△DCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到DE=DC=CH=6；再证明△PQH的周长就是DE的长，可对④作出判断；利用三角形三边关系定理可证得PD+QE=PH+QH＞PQ，再证明PH+QH=6-PQ，由此可求出PQ的取值范围，可对②作出判断；易证五边形ABECD的面积=2△ABC的面积，由此可求出五边形ABECD的面积，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题
6．（2022八上·青川期末）如图，在△ABC中，，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，．若，，求BC的长．
【答案】解：延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，
∵，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵，
∴△BEM为等边三角形，，
则，
而，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，根据∠EBC=∠E=60°，得出△BEM是等边三角形，再利用等腰三角形性质得出AN⊥BC，则可求出∠NDM=30°，根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出NM的长，从而得出BN的长，再根据等腰三角形的性质求BC长即可.
7．（2021八上·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
四、综合题
8．（2021八上·嵩县期末）如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA．
（1）求证：△AED是等边三角形；
（2）若△CDE是直角三角形，求α的度数．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ AD=AE ，∠BAD=∠CAE，∠BDA=∠AEC =α，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∠BDA＝α，
∴ ， ，
．
∵ 是直角三角形， ．
当 时， ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ 或 ．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质得∠BAD=∠CAE，∠CEA=α，AD=AE，易得∠BAC=∠DAE；再利用等边三角形的性质可求出∠BAC=60°，由此可得到∠DAE=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得结论；
（2）利用等边三角形的性质可证得∠ADE=∠AED=60°，可表示出∠CDE，∠CED，∠DCE；然后根据直角三角形的定义，分情况讨论：∠CED=90°时；∠CDE=90°时，分别求出α的值.
9．（2021八上·松桃期末）如图，在
中，
，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且
，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证：
；
（2）判断
是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，
，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
10．（2021八上·花都期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【知识点】角的运算；平行线的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
11．（2021八上·济南期末）问题发现
（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是 ；
（2）问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
（3）问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
【答案】（1）CD=BE
（2）解：如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT．
∵∠BAT=∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠TAC，
在△TAC和△BAD中，
∴△TAC≌△BAD（SAS），
∴CT=BD，
∵∠ABT=∠ABC=45°，
∴∠TBC=90°，
∵AB=2BC=6，
∴，
∴，
∴BD=TC=9；
（3）解：存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．
∵△ABD，△BCF都是等边三角形，
∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，
∴∠DBC=∠ABF，
在△DBC和△ABF中，
∴△DBC≌△ABF（SAS），
∴DC=AF，
∵AC=2，CF=BC=3，
∴AF≤AC+CF，
∴AF≤5，
∴当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，
∴CD的最大值为5．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：(1)CD=BE．
理由：如图①中，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE．
【分析】（1）证明△DAC≌△BAE（SAS），即可得出结论；
（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT，证明△TAC≌△BAD（SAS），得出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可；
（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．证明△DBC≌△ABF（SAS），推出DC=AF，即可得出结论。
12．（2021八上·川汇期末）如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：.
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：连接AG，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
∵，，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=∠AED=∠ACB=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ADE是等边三角形；
（2）连接AG，用边角边可证△ABF≌△ACG，则AF=AG，∠BAF=∠CAG，进而可得∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAG=∠BAC=60°，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可证△AFG是等边三角形，由等边三角形的性质可求解.
13．（2021八上·章贡期末）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
又∵∠BFP=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFP=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BFP=60°，
又∵BP⊥AD，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP=30°，
∴BF=2PF=2×6=12
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，AD=BE，再利用角的运算和等量代换可得∠BFP=60°，再利用BP⊥AD，求出∠FBP=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
14．（2021八上·永定期末）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求证 DOB≌ AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2， OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点O旋转（ OAB和 OCD不能重叠），求∠CEB的大小.
【答案】（1）证明：如图1，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
（3）解：如图2，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
即∠CEB的大小不变.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）易得OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，从而求出∠BOD=∠AOC=120°，根据SAS证明△AOC≌△BOD；
（2）由△AOC≌△BOD得∠CAO=∠DBO， 由于∠1=∠2结合三角形内角和得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数；
（3）根据SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的对应边相等可得∠CAO=∠DBO，由于∠1=∠2结合三角形内角和可得∠AEB=∠AOB=60°， 利用邻补角的定义求出∠CEB的度数即可判断.
15．（2021八上·嵩县期末）如图①，△ABC 和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于F，AE=CE．
（1）求证： ；
（2）如图②，作 的边 上的高线 ，交 的延长线于点P，求证： ．
【答案】（1）证明：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠ACB=∠DCE，CD=CE，则∠BCD=∠ACE，利用SAS可证得结论；
（2）连接BE，利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=AE，可推出BD=CD，再利用等腰三角形的性质可证得AD⊥BC，AD平分BC，可得到EG∥BC，利用平行线的性质可证得∠PEB=∠CBE；再利用SSS可证得△ABE≌△CBE，利用全等三角形的性质可证得∠ABE=∠CBE，可推出∠PEB=∠ABE，然后利用等角对等边可证得结论.
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