人教版八上数学第十三章13.3.2等边三角形 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·铁岭期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．无法确定
2．（2021八上·沂水期中）如图， 是等边三角形，D是线段 上一点（不与点A，C重合），连接 ，点E，F分别在线段 ， 的延长线上，且 ，则 的周长等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·鹿城期中）如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF＝1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
4．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
5．（2021八上·临沭月考）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C， ②AQ=BQ， ③BP=2PQ， ④AE+BD=AB，其中正确的是 （填序号）.
6．（2021八上·德阳月考）如图，在等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD =∠CBD，连接DE、CE，则下列结论； ①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC； ③∠DEB=30°.
④若EC//AD，则S△EBC=1.其中正确的有 ．（只填序号）
7．（2021八上·南宁月考）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 .
8．（2021八上·潮阳期中）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
三、综合题
9．（2021八上·定州期中）如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
10．（2021八上·微山期中）如图
（1）如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．则线段DE、BD与CE之间的数量关系是 ；
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
11．（2021八上·温州月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）DF＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值.）
12．（2021八上·如皋期末）在等边 中，线段 为 边上的中线.动点D在直线 上时，以 为一边在 的下方作等边 ，连结BE.
（1）若点D在线段 上时（如图），则 （填“＞”、“＜”或“=”）， 度；
（2）设直线BE与直线 的交点为O.
①当动点D在线段 的延长线上时（如图），试判断 与 的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线 上时，试判断 是否为定值？若是，请直接写出 的度数；若不是，请说明理由.
13．（2021八上·哈尔滨月考）已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，连接AE，请直接写出图中所有面积等于△ABC面积一半的三角形．
14．（2021八上·天门月考）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E、D、F，使得AE＝BD＝CF，过点E作EP⊥DF，垂足为点P
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）求∠DEP的度数；
（3）当点E、D、F分别在三边BA、CB及AC的延长线上时，过点E作EP⊥DF，垂足为点P，若AE＝BD＝CF＝2，若△BDE的周长为19，求DP的长.
15．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
16．（2021八上·淮滨月考）
（1）如图1所示，在 中， ，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm， ， 的周长= .
（2）如图2所示，在 中， ， ，D是BC的中点， ，垂足为E，那么 .
（3）如图3所示，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=DC，AD，BE交于点P，作BQ⊥AD于点Q，若BP=2，求PQ的长.
17．（2021八上·平塘期中）已知，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.
（1）（特殊情况，探索结论）
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）.
（2）（特例启发，解答题目）
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出，AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）；理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F.（请你完成以下解答过程）.
（3）（拓展结论，设计新题）
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，则CD＝ .
18．（2021八上·江阴期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形.
（1）求证：直线AG垂直平分BC；
（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由.
19．（2021八上·杭州期中）如图，AO是边长为2的等边△ABC的高，点D是AO上的一个动点（点D不与点A、O重合），以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连接BE并延长，交AC的延长线于点F.
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当△CEF为等腰三角形时：
①求∠ACD的度数；
②求△CEF的面积.
20．（2021八上·杭州期中）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F.
（1）如图1，求证：∠1＝60°；
（2）如图2，连结FG，求∠2的度数；
（3）如图3，连结OC，若BD＝10，OC＝4，求△ACE的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAE=60°，
∵∠1=∠2，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BD=DE=DF，
∴∠DBE=∠DEB，∠DBF=∠DFB，
∵∠DBE+∠DBF=∠ABC=60°，
∴∠DEB+∠DFB=60°，
∵∠BAC=∠DEB+∠EDA=60°，
∴∠EDA=∠DFB，
∵∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠AED，且∠EDA=∠DFC，DE=DF，
∴△ADE≌△CFD（ASA），
∴AD=CF，AE=CD，
∴△AED周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD，
故答案为：D．
【分析】由“ASA”可证出△ADE≌△CFD，由全等三角形的性质得出AD=CF，AE=CD，即可得出△AED周长。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；邻补角
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ECD均为等边三角形
∴AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACD＝120°
在△ACD与△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE
∵∠BOD＝180°﹣∠EBC﹣∠CDA
∵∠BCE＝∠ACD＝120°
∴∠EBC+∠CEB＝∠EBC+∠ADC＝60°
∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°.
∴∠AOB＝60°，
∵AF⊥BE于点F.OF＝1，
∴AF＝ .
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质可得AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，结合邻补角的性质可得
∠BCE＝∠ACD＝120°，证明△ACD≌△BCE，得到∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，根据内角和定理可得∠EBC+∠CEB＝∠EBC+∠ADC＝60°，然后求出∠BOD、∠AOB的度数，据此求解.
4．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
5．【答案】①③④
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①符合题意
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°∠BPQ=90°60°=30°，
∴BP=2PQ．故③符合题意，
∵AC=BC．AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④符合题意，
无法判断BQ=AQ，故②不符合题意，
∴正确的有①③④
故答案为：①③④．
【分析】利用全等三角形的判定与性质一一判断即可。
6．【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】 解：如图，连接DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
在△ACD与△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴ ∠DAC=∠DBC ，故①正确；
∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
在△BED与△BCD中，
，
∴ △BED≌△BCD （SAS），
∴∠BED=∠BCD=30°，故③正确；
∵EC∥AD，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=60°+x，
∵∠CBE+∠BEC+∠BCE=180°，
∴2x+2（60°+x）=180°，
∴x=15°，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∴BE⊥AC，
∴BE边上的高=BC=1，
∴S△EBC=×2×1=1，故④正确；
由④可知：当∠CBE=30°时，BE⊥AC， 故②不正确，
故答案为：①③④.
【分析】 连接DC，证出△ACD≌△BCD，得出∠DAC=∠DBC，∠BCD=∠ACD=30°，再证出△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°，即可判断①③正确；
设∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，得出∠BCE=∠BEC=60°+x，利用三角形内角和定理得出2x+2（60°+x）=180°，求出x的值，从而得出∠ABE=∠CBE=30°，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC， 得出BE边上的高，利用三角形的面积公式得出S△EBC=1，即可判断④正确；
根据④的证法得出当∠CBE=30°时，BE⊥AC， 即可判断②不正确.
7．【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6.
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCD=∠DBC=30°，由等边三角形的性质可得
∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，则∠DBA=∠DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，易证△BDF≌△CND，得到∠BDF=∠CDN，DF=DN，进而证明△DMN≌△DMF，得到MN=MF，据此计算.
8．【答案】30
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】作AB的垂直平分线，
∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰三角形，
∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∠BCE=30°，
∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，
∴△BDC≌△BDP，
∴∠BPD=30°．
故答案为30．
【分析】作AB的垂直平分线，再根据等边三角形和等腰三角形的性质可证明△BDC≌△BDP，再利用全等的性质可得∠BPD=30°．
9．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴ ；
（2）证明：∵DH∥BC，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（3）解：∵△ADH是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，
∴AG＝GH，DH=AH
∵△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∵CF＝CE，DH＝CE，
∴HF＝DH=AH，
∴GF＝3AG，
∵△DGF和△ADG等高，
∴S△DGF＝3S△ADG＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得；
（2）根据已知条件可得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ADH是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得到△DHF≌△ECF，可得HF=CF，GF=3AG，根据△DGF和△ADG等高，即可得到结论。
10．【答案】（1）DE=BD+CE
（2）解：（1）中结论成立，
理由如下：如图②，∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）解：△DEF是等边三角形，
理由如下：如图③，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠EAF，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS）
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）如图①，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE，
故答案为：DE=BD+CE；
【分析】（1）先利用“AAS”证明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE，再利用线段的和差及等量代换可得DE=AE+AD=BD+CE；
（2）方法同（1）先利用“AAS”证明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE，再利用线段的和差及等量代换可得DE=BD+CE；
（3）先利用“SAS”证明△DBF≌△EAF，可得DF=EF，∠BFD=∠AFE，再利用角的运算和等量代换可得∠DFE=∠DFA+∠AFE
=∠DFA+∠BFD=60°，即可得到△DEF为等边三角形．
11．【答案】（1）t
（2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∴∠AED＝∠FDE.
在△AED和△FDE中， ，
∴△AED≌△FDE（SAS）.
（3）解：∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形.
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE.
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝ ，
∴当t为 时，△DEF是等边三角形.
（4）解：∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形.
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝ ；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4.
综上所述：当t为 或4时，△DEF为直角三角形.
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°.
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，
∴DF＝ CD＝t.
故答案为：t.
【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CFD＝90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答；
（2）易得DF∥AB，由平行线的性质可得∠AED＝∠FDE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（3）由全等三角形的性质可得：当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形，求出∠A的度数，得到AD＝AE，则t＝10-2t，求解即可；
（4）由全等三角形的性质可得：当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形，当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10-2t＝2t；当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2(10-2t)，求解即可.
12．【答案】（1）=；30
（2）解：① ，理由如下：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
，
即 ，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM= ∠BAC，
∴∠CAM=30°，
故答案为：=，30；
（2）②∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由如下：
当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；
当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；
当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
同理可得：∠CAM=30°，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBO=30°，
∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；
综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，则∠ACD=∠BCE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE；根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，∠CAM=∠BAC，据此求解；
（2）①同理证明△ACD≌△BCE，据此可得结论；
②当D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；当D在线段AM的延长线上时，同理证△ACD≌△BCE，得到∠CBE=∠CAD=30°，然后根据∠AOB=90°-∠CBE进行计算；当点D在线段MA的延长线上时，同理证明△ACD≌△BCE，得到∠CBE=∠CAD，则∠CAM=30°，∠CBE=∠CAD=150°，∠CBO=30°，然后根据∠AOB=90°-∠CBO进行计算.
13．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴∠DBC= ，，
∵CD=CE
∴
∴，即
∴
∴；
（2）解：∵BD是等边三角形ABC的中线
∴
由（1）得
又CD=CE
∴
∵DF⊥DE
∴∠FDE=90°
∴
∵
∴∠DFC=60°
∴是等边三角形
∴DF=FC=DC
∴DF=FC=DC=BF=CE
∴BC=EF
∴
∴
连接AF，则可得
∴
∴面积等于△ABC面积一半的三角形有：
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠DBC=∠ABC=30°，∠BDC=90°，CD=AC，由CD=CE可得，从而得出∠CED=∠ABC=30°，即得∠CED=∠DBC，利用等角对等边即得DB=DE；
（2） 由三角形中线的性质可得.求出是等边三角形 ，再证
，可得， 连接AF，可得， 可得，据此即得结论.
14．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵AE=BD=CF，
∴AB-AE=BC-BD，即BE=CD，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
（2）解：由（1）得△BDE≌△CFD，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠EDC=∠B+∠BED，
∴∠ EDP+∠CDF=∠B+∠BED，
∴∠ EDP=∠B=60°，
∵EP⊥DF，
∴∠EPD=90°，
∴∠ DEP=30° ；
（3）解：∵△ABC边长为6， AE=BD =2，
∴BE=AB+AE=8，
又∵△BDE的周长为19，
∴ DE=19-BD-BE=9，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=CB，
∴∠EBD=180°-∠ABC=180°-∠ACB=∠DCF=120°，
又∵BD=AE，
∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠DEB=∠FDC，
∵∠EBC=∠EDB+∠DEB=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，即∠EDP=60°，
又∵EP⊥DF ，
∴∠EPD=90°，
∴∠ DEP=30°，
∴DE=2DP，
∴DP= 4.5.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC， 结合AE=BD=CF，得 BE=CD ，利用SAS证明△BDE≌△CFD即可；
（2）由（1）知△BDE≌△CFD，得出∠BED=∠CDF，结合三角形外角的性质推出∠EDP=∠B=60°，再由EP⊥DF，即可求出∠DEP的度数；
（3）根据线段间的和差关系求出BE的长度，结合△BDE的周长 ，求出DE的长度，再利用SAS证明 △BDE≌△CFD ，得出 ∠DEB=∠FDC， 最后根据含30°角的直角三角形的性质求DP长即可.
15．【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【分析】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
16．【答案】（1）15cm
（2）3：1
（3）解：∵△ABC为等边三角形.
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD.
∴∠BPQ＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2，
∴PQ＝1.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=5cm，
∴∠DCB=∠B＝30°
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-30°=60°
∴△ACD是等边三角形
∴△ACD的周长＝3CD＝15cm.
故答案为：15cm；
（2）连接AD，如图所示.
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝60°，∠B=30°，
又∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AB=2AD，AE＝ AD，
∴BE＝AB-AE=2AD- AD= AD，
∴BE：AE＝ AD： AD =3：1.
故答案为：3：1.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，根据等边对等角得∠DCB=∠B＝30°，易得∠A=60°，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，进而可得周长；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质得∠BAD＝60°，根据同角的余角相等得∠B＝∠ADE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AD，AE＝AD，则BE＝AD，据此解答；
（3）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证△BAE≌△ACD，得∠ABE＝∠CAD，根据外角的性质得∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，则∠BPQ＝60°，∠PBQ＝30°，推出BP＝2PQ，据此解答.
17．【答案】（1）=
（2）=
（3）3
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）＝.
理由如下：在等边△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED＝EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴DB=BE，
∴DB=AE；
（2）＝
理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°－∠D，∠ECF＝60°－∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中， ，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）如图，点E在AB延长线上时，过点E作EF∥BC交AC延长线于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠DCE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE=∠A，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF=2，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠D =∠CEF，
∵∠F=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠F，
∴△DBE≌△ECF，
∴DB=EF=2，
∴CD=BC+DB=1+2=3.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=60°，结合点E为AB的中点可得∠BCE=30°，BE=AE，由等腰三角形的性质可得∠D=∠BCE=30°，由外角的性质可得∠BED=30°，推出DB=BE，据此解答；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，由平行线的性质可得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，推出△AEF为等边三角形，得到AE＝EF，推出BE＝CF，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠ECD，推出∠DEB＝∠ECF，证明△DBE≌△EFC，得到DB＝EF，据此解答；
（3）点E在AB延长线上时，过点E作EF∥BC交AC延长线于点F，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，由平行线的性质得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠DCE=∠CEF，推出△AEF为等边三角形，得到AE＝EF=2，推出BE＝CF，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠ECD，推出∠DBE=∠F，证明△DBE≌△ECF，得到DB=EF=2，据此计算.
18．【答案】（1）证明：∵△GBC为等边三角形，∴GB=GC，
∴点G在BC的垂直平分线上，
又∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，
∴直线AG垂直平分BC；
（2）解：△EGC构成直角三角形，
∵△GBC和△ABE为等边三角形，
∴GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°，
∴∠EBC=∠ABG，∴△EBC≌△ABG ，
∴∠ECB=∠AGB，∵GB=GC且AG⊥BC，∴∠AGB= ∠BGC=30°，
∴∠ECB=30°，
∴∠ECG=90°，即△EGC构成直角三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得GB=GC，推出点G在BC的垂直平分线上，根据AB=AC可得点A在BC的垂直平分线上，进而根据经过两点有且只有一条直线得出结论；
（2）由等边三角形的性质可得GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°，证明△EBC≌△ABG，得∠ECB=∠AGB，由等腰三角形的性质得∠AGB=∠BGC=30°，即∠ECB=30°， 然后求出∠ECG的度数，据此判断.
19．【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）解：①∵AO是边长为2的等边△ABC的高，
∴∠CAO＝30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝CB＝2，
又∵点D不与点A、O重合，
∴当△CEF为等腰三角形时，∠F只能为顶角，
∴∠FCE＝75°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°﹣75°＝45°；
②作CP⊥BF于点P，由∠CBE＝30°，
得CP BC＝1，
又∵CF＝EF＝2，
∴S△CEF .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，推出∠ACD＝∠BCE，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①由等边三角形的性质可得∠CAO＝30°，由全等三角形的性质可得∠CBE＝∠CAD＝30°，则∠ABF＝90°，∠F＝30°，CF＝CB＝2，求出∠FCE的度数，进而可得∠ACD的度数；②作CP⊥BF于点P，由∠CBE＝30°得CP=BC＝1，然后利用三角形的面积公式进行计算.
20．【答案】（1）证明：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在△BCD和△ACE中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△BCF和△ACG中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，
∵ ，CM是△BCD中BD边上的高，CN是△ACE中AE边上的高，
∵BD=AE，
∴CM=CN，
∴OC是∠BOE的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，根据角的和差关系可推出∠BCD=∠ACE，证明△BCD≌△ACE，得到∠CBD=∠CAE，由对顶角的性质可得∠BFC=∠AFO，然后结合内角和定理进行证明；
（2）由等边三角形的性质可得∠BCA=∠DCE=60°，推出∠FCG=∠BCA，证明△BCF≌△ACG，得到CF=CG，推出△FCG是等边三角形，据此可得∠2的度数；
（3）作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式可得CM=CN，则OC是∠BOE的角平分线，由邻补角的性质可得∠BOE=120°，根据角平分线的概念可得∠BOC=∠EOC=60°，则∠OCM=30°，求出OM、CM的值，然后根据三角形的面积公式以及全等三角形的性质进行解答.
1 / 1人教版八上数学第十三章13.3.2等边三角形 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·铁岭期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAE=60°，
∵∠1=∠2，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。
2．（2021八上·沂水期中）如图， 是等边三角形，D是线段 上一点（不与点A，C重合），连接 ，点E，F分别在线段 ， 的延长线上，且 ，则 的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BD=DE=DF，
∴∠DBE=∠DEB，∠DBF=∠DFB，
∵∠DBE+∠DBF=∠ABC=60°，
∴∠DEB+∠DFB=60°，
∵∠BAC=∠DEB+∠EDA=60°，
∴∠EDA=∠DFB，
∵∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠AED，且∠EDA=∠DFC，DE=DF，
∴△ADE≌△CFD（ASA），
∴AD=CF，AE=CD，
∴△AED周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD，
故答案为：D．
【分析】由“ASA”可证出△ADE≌△CFD，由全等三角形的性质得出AD=CF，AE=CD，即可得出△AED周长。
3．（2021八上·鹿城期中）如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF＝1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；邻补角
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ECD均为等边三角形
∴AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACD＝120°
在△ACD与△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE
∵∠BOD＝180°﹣∠EBC﹣∠CDA
∵∠BCE＝∠ACD＝120°
∴∠EBC+∠CEB＝∠EBC+∠ADC＝60°
∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°.
∴∠AOB＝60°，
∵AF⊥BE于点F.OF＝1，
∴AF＝ .
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质可得AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，结合邻补角的性质可得
∠BCE＝∠ACD＝120°，证明△ACD≌△BCE，得到∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，根据内角和定理可得∠EBC+∠CEB＝∠EBC+∠ADC＝60°，然后求出∠BOD、∠AOB的度数，据此求解.
二、填空题
4．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
5．（2021八上·临沭月考）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C， ②AQ=BQ， ③BP=2PQ， ④AE+BD=AB，其中正确的是 （填序号）.
【答案】①③④
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①符合题意
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°∠BPQ=90°60°=30°，
∴BP=2PQ．故③符合题意，
∵AC=BC．AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④符合题意，
无法判断BQ=AQ，故②不符合题意，
∴正确的有①③④
故答案为：①③④．
【分析】利用全等三角形的判定与性质一一判断即可。
6．（2021八上·德阳月考）如图，在等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD =∠CBD，连接DE、CE，则下列结论； ①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC； ③∠DEB=30°.
④若EC//AD，则S△EBC=1.其中正确的有 ．（只填序号）
【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】 解：如图，连接DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
在△ACD与△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴ ∠DAC=∠DBC ，故①正确；
∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
在△BED与△BCD中，
，
∴ △BED≌△BCD （SAS），
∴∠BED=∠BCD=30°，故③正确；
∵EC∥AD，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=60°+x，
∵∠CBE+∠BEC+∠BCE=180°，
∴2x+2（60°+x）=180°，
∴x=15°，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∴BE⊥AC，
∴BE边上的高=BC=1，
∴S△EBC=×2×1=1，故④正确；
由④可知：当∠CBE=30°时，BE⊥AC， 故②不正确，
故答案为：①③④.
【分析】 连接DC，证出△ACD≌△BCD，得出∠DAC=∠DBC，∠BCD=∠ACD=30°，再证出△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°，即可判断①③正确；
设∠ECA=∠DBC=∠DBE=x，得出∠BCE=∠BEC=60°+x，利用三角形内角和定理得出2x+2（60°+x）=180°，求出x的值，从而得出∠ABE=∠CBE=30°，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC， 得出BE边上的高，利用三角形的面积公式得出S△EBC=1，即可判断④正确；
根据④的证法得出当∠CBE=30°时，BE⊥AC， 即可判断②不正确.
7．（2021八上·南宁月考）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 .
【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6.
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCD=∠DBC=30°，由等边三角形的性质可得
∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，则∠DBA=∠DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，易证△BDF≌△CND，得到∠BDF=∠CDN，DF=DN，进而证明△DMN≌△DMF，得到MN=MF，据此计算.
8．（2021八上·潮阳期中）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
【答案】30
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】作AB的垂直平分线，
∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰三角形，
∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∠BCE=30°，
∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，
∴△BDC≌△BDP，
∴∠BPD=30°．
故答案为30．
【分析】作AB的垂直平分线，再根据等边三角形和等腰三角形的性质可证明△BDC≌△BDP，再利用全等的性质可得∠BPD=30°．
三、综合题
9．（2021八上·定州期中）如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴ ；
（2）证明：∵DH∥BC，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（3）解：∵△ADH是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，
∴AG＝GH，DH=AH
∵△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∵CF＝CE，DH＝CE，
∴HF＝DH=AH，
∴GF＝3AG，
∵△DGF和△ADG等高，
∴S△DGF＝3S△ADG＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得；
（2）根据已知条件可得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ADH是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得到△DHF≌△ECF，可得HF=CF，GF=3AG，根据△DGF和△ADG等高，即可得到结论。
10．（2021八上·微山期中）如图
（1）如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．则线段DE、BD与CE之间的数量关系是 ；
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）DE=BD+CE
（2）解：（1）中结论成立，
理由如下：如图②，∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）解：△DEF是等边三角形，
理由如下：如图③，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠EAF，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS）
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）如图①，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE，
故答案为：DE=BD+CE；
【分析】（1）先利用“AAS”证明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE，再利用线段的和差及等量代换可得DE=AE+AD=BD+CE；
（2）方法同（1）先利用“AAS”证明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE，再利用线段的和差及等量代换可得DE=BD+CE；
（3）先利用“SAS”证明△DBF≌△EAF，可得DF=EF，∠BFD=∠AFE，再利用角的运算和等量代换可得∠DFE=∠DFA+∠AFE
=∠DFA+∠BFD=60°，即可得到△DEF为等边三角形．
11．（2021八上·温州月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）DF＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值.）
【答案】（1）t
（2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∴∠AED＝∠FDE.
在△AED和△FDE中， ，
∴△AED≌△FDE（SAS）.
（3）解：∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形.
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE.
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝ ，
∴当t为 时，△DEF是等边三角形.
（4）解：∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形.
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝ ；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4.
综上所述：当t为 或4时，△DEF为直角三角形.
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°.
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，
∴DF＝ CD＝t.
故答案为：t.
【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CFD＝90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答；
（2）易得DF∥AB，由平行线的性质可得∠AED＝∠FDE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（3）由全等三角形的性质可得：当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形，求出∠A的度数，得到AD＝AE，则t＝10-2t，求解即可；
（4）由全等三角形的性质可得：当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形，当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10-2t＝2t；当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2(10-2t)，求解即可.
12．（2021八上·如皋期末）在等边 中，线段 为 边上的中线.动点D在直线 上时，以 为一边在 的下方作等边 ，连结BE.
（1）若点D在线段 上时（如图），则 （填“＞”、“＜”或“=”）， 度；
（2）设直线BE与直线 的交点为O.
①当动点D在线段 的延长线上时（如图），试判断 与 的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线 上时，试判断 是否为定值？若是，请直接写出 的度数；若不是，请说明理由.
【答案】（1）=；30
（2）解：① ，理由如下：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
，
即 ，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM= ∠BAC，
∴∠CAM=30°，
故答案为：=，30；
（2）②∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由如下：
当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；
当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；
当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
同理可得：∠CAM=30°，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBO=30°，
∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；
综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，则∠ACD=∠BCE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE；根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，∠CAM=∠BAC，据此求解；
（2）①同理证明△ACD≌△BCE，据此可得结论；
②当D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；当D在线段AM的延长线上时，同理证△ACD≌△BCE，得到∠CBE=∠CAD=30°，然后根据∠AOB=90°-∠CBE进行计算；当点D在线段MA的延长线上时，同理证明△ACD≌△BCE，得到∠CBE=∠CAD，则∠CAM=30°，∠CBE=∠CAD=150°，∠CBO=30°，然后根据∠AOB=90°-∠CBO进行计算.
13．（2021八上·哈尔滨月考）已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，连接AE，请直接写出图中所有面积等于△ABC面积一半的三角形．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴∠DBC= ，，
∵CD=CE
∴
∴，即
∴
∴；
（2）解：∵BD是等边三角形ABC的中线
∴
由（1）得
又CD=CE
∴
∵DF⊥DE
∴∠FDE=90°
∴
∵
∴∠DFC=60°
∴是等边三角形
∴DF=FC=DC
∴DF=FC=DC=BF=CE
∴BC=EF
∴
∴
连接AF，则可得
∴
∴面积等于△ABC面积一半的三角形有：
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠DBC=∠ABC=30°，∠BDC=90°，CD=AC，由CD=CE可得，从而得出∠CED=∠ABC=30°，即得∠CED=∠DBC，利用等角对等边即得DB=DE；
（2） 由三角形中线的性质可得.求出是等边三角形 ，再证
，可得， 连接AF，可得， 可得，据此即得结论.
14．（2021八上·天门月考）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E、D、F，使得AE＝BD＝CF，过点E作EP⊥DF，垂足为点P
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）求∠DEP的度数；
（3）当点E、D、F分别在三边BA、CB及AC的延长线上时，过点E作EP⊥DF，垂足为点P，若AE＝BD＝CF＝2，若△BDE的周长为19，求DP的长.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵AE=BD=CF，
∴AB-AE=BC-BD，即BE=CD，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
（2）解：由（1）得△BDE≌△CFD，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠EDC=∠B+∠BED，
∴∠ EDP+∠CDF=∠B+∠BED，
∴∠ EDP=∠B=60°，
∵EP⊥DF，
∴∠EPD=90°，
∴∠ DEP=30° ；
（3）解：∵△ABC边长为6， AE=BD =2，
∴BE=AB+AE=8，
又∵△BDE的周长为19，
∴ DE=19-BD-BE=9，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=CB，
∴∠EBD=180°-∠ABC=180°-∠ACB=∠DCF=120°，
又∵BD=AE，
∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠DEB=∠FDC，
∵∠EBC=∠EDB+∠DEB=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，即∠EDP=60°，
又∵EP⊥DF ，
∴∠EPD=90°，
∴∠ DEP=30°，
∴DE=2DP，
∴DP= 4.5.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC， 结合AE=BD=CF，得 BE=CD ，利用SAS证明△BDE≌△CFD即可；
（2）由（1）知△BDE≌△CFD，得出∠BED=∠CDF，结合三角形外角的性质推出∠EDP=∠B=60°，再由EP⊥DF，即可求出∠DEP的度数；
（3）根据线段间的和差关系求出BE的长度，结合△BDE的周长 ，求出DE的长度，再利用SAS证明 △BDE≌△CFD ，得出 ∠DEB=∠FDC， 最后根据含30°角的直角三角形的性质求DP长即可.
15．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【分析】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
16．（2021八上·淮滨月考）
（1）如图1所示，在 中， ，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm， ， 的周长= .
（2）如图2所示，在 中， ， ，D是BC的中点， ，垂足为E，那么 .
（3）如图3所示，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=DC，AD，BE交于点P，作BQ⊥AD于点Q，若BP=2，求PQ的长.
【答案】（1）15cm
（2）3：1
（3）解：∵△ABC为等边三角形.
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD.
∴∠BPQ＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2，
∴PQ＝1.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=5cm，
∴∠DCB=∠B＝30°
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-30°=60°
∴△ACD是等边三角形
∴△ACD的周长＝3CD＝15cm.
故答案为：15cm；
（2）连接AD，如图所示.
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝60°，∠B=30°，
又∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AB=2AD，AE＝ AD，
∴BE＝AB-AE=2AD- AD= AD，
∴BE：AE＝ AD： AD =3：1.
故答案为：3：1.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，根据等边对等角得∠DCB=∠B＝30°，易得∠A=60°，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，进而可得周长；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质得∠BAD＝60°，根据同角的余角相等得∠B＝∠ADE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AD，AE＝AD，则BE＝AD，据此解答；
（3）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证△BAE≌△ACD，得∠ABE＝∠CAD，根据外角的性质得∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，则∠BPQ＝60°，∠PBQ＝30°，推出BP＝2PQ，据此解答.
17．（2021八上·平塘期中）已知，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.
（1）（特殊情况，探索结论）
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）.
（2）（特例启发，解答题目）
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出，AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）；理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F.（请你完成以下解答过程）.
（3）（拓展结论，设计新题）
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，则CD＝ .
【答案】（1）=
（2）=
（3）3
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）＝.
理由如下：在等边△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED＝EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴DB=BE，
∴DB=AE；
（2）＝
理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°－∠D，∠ECF＝60°－∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中， ，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）如图，点E在AB延长线上时，过点E作EF∥BC交AC延长线于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠DCE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE=∠A，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF=2，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠D =∠CEF，
∵∠F=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠F，
∴△DBE≌△ECF，
∴DB=EF=2，
∴CD=BC+DB=1+2=3.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=60°，结合点E为AB的中点可得∠BCE=30°，BE=AE，由等腰三角形的性质可得∠D=∠BCE=30°，由外角的性质可得∠BED=30°，推出DB=BE，据此解答；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，由平行线的性质可得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，推出△AEF为等边三角形，得到AE＝EF，推出BE＝CF，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠ECD，推出∠DEB＝∠ECF，证明△DBE≌△EFC，得到DB＝EF，据此解答；
（3）点E在AB延长线上时，过点E作EF∥BC交AC延长线于点F，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，由平行线的性质得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠DCE=∠CEF，推出△AEF为等边三角形，得到AE＝EF=2，推出BE＝CF，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠ECD，推出∠DBE=∠F，证明△DBE≌△ECF，得到DB=EF=2，据此计算.
18．（2021八上·江阴期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形.
（1）求证：直线AG垂直平分BC；
（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵△GBC为等边三角形，∴GB=GC，
∴点G在BC的垂直平分线上，
又∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，
∴直线AG垂直平分BC；
（2）解：△EGC构成直角三角形，
∵△GBC和△ABE为等边三角形，
∴GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°，
∴∠EBC=∠ABG，∴△EBC≌△ABG ，
∴∠ECB=∠AGB，∵GB=GC且AG⊥BC，∴∠AGB= ∠BGC=30°，
∴∠ECB=30°，
∴∠ECG=90°，即△EGC构成直角三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得GB=GC，推出点G在BC的垂直平分线上，根据AB=AC可得点A在BC的垂直平分线上，进而根据经过两点有且只有一条直线得出结论；
（2）由等边三角形的性质可得GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°，证明△EBC≌△ABG，得∠ECB=∠AGB，由等腰三角形的性质得∠AGB=∠BGC=30°，即∠ECB=30°， 然后求出∠ECG的度数，据此判断.
19．（2021八上·杭州期中）如图，AO是边长为2的等边△ABC的高，点D是AO上的一个动点（点D不与点A、O重合），以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连接BE并延长，交AC的延长线于点F.
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当△CEF为等腰三角形时：
①求∠ACD的度数；
②求△CEF的面积.
【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）解：①∵AO是边长为2的等边△ABC的高，
∴∠CAO＝30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝CB＝2，
又∵点D不与点A、O重合，
∴当△CEF为等腰三角形时，∠F只能为顶角，
∴∠FCE＝75°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°﹣75°＝45°；
②作CP⊥BF于点P，由∠CBE＝30°，
得CP BC＝1，
又∵CF＝EF＝2，
∴S△CEF .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，推出∠ACD＝∠BCE，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①由等边三角形的性质可得∠CAO＝30°，由全等三角形的性质可得∠CBE＝∠CAD＝30°，则∠ABF＝90°，∠F＝30°，CF＝CB＝2，求出∠FCE的度数，进而可得∠ACD的度数；②作CP⊥BF于点P，由∠CBE＝30°得CP=BC＝1，然后利用三角形的面积公式进行计算.
20．（2021八上·杭州期中）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F.
（1）如图1，求证：∠1＝60°；
（2）如图2，连结FG，求∠2的度数；
（3）如图3，连结OC，若BD＝10，OC＝4，求△ACE的面积.
【答案】（1）证明：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在△BCD和△ACE中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△BCF和△ACG中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，
∵ ，CM是△BCD中BD边上的高，CN是△ACE中AE边上的高，
∵BD=AE，
∴CM=CN，
∴OC是∠BOE的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，根据角的和差关系可推出∠BCD=∠ACE，证明△BCD≌△ACE，得到∠CBD=∠CAE，由对顶角的性质可得∠BFC=∠AFO，然后结合内角和定理进行证明；
（2）由等边三角形的性质可得∠BCA=∠DCE=60°，推出∠FCG=∠BCA，证明△BCF≌△ACG，得到CF=CG，推出△FCG是等边三角形，据此可得∠2的度数；
（3）作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式可得CM=CN，则OC是∠BOE的角平分线，由邻补角的性质可得∠BOE=120°，根据角平分线的概念可得∠BOC=∠EOC=60°，则∠OCM=30°，求出OM、CM的值，然后根据三角形的面积公式以及全等三角形的性质进行解答.
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