人教版八上数学第十三章13.4最短路径 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·遵义期末）点D、E分别是等边三角形 的边 、 的中点， ，F是AD上一动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2020八上·惠城期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点若点D为边的中点，点M为线段上动点，则周长的最小值为 ．
3．（2021八上·澄海期末）如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82° B．84° C．88° D．92°
4．（2022八上·青川期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
5．（2021八上·重庆月考）如图，在四边形 中， ， ， 面积为21， 的垂直平分线 分别交 于点 ，若点P和点Q分别是线段 和 边上的动点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
7．（2021八上·广州期中）如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
二、填空题
8．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
9．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
10．（2021八上·天门月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是∠ACB的平分线CD上的一动点，，△ABC的面积为，则PA＋PE的最小值为 .
11．（2021八上·苏州期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当 AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 .
12．（2021八上·如皋期中）如图， ， 在 的同侧， ， ， ，点 为 的中点，连接 ， ， ，若 ，则 的最大值为 .
三、作图题
13．（2021八上·东莞期末）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（ 1 ）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；
（ 2 ）写出点A'，B'，C'的坐标；
（ 3 ）在y轴上找一点P，使PA+PC的长最短．
四、综合题
14．（2021八上·双辽期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小M值；PC+PF的最小值为 （直接写出结果）．
15．（2021八上·大石桥期中）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON=50°，则∠GOH= ▲ ；
②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；
（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当 PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6.
故答案为：A.
【分析】连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，根据等边三角形的性质可得CE⊥AB，根据轴对称的性质可得BF+EF=CF，推出AD是BC的垂直平分线，得到CF=BF，则BF+EF=CF+EF=CE，证明△ADB≌△CEB，得到CE=AD=6，据此解答.
2．【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM=AM，
∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．
故答案为10．
【分析】连接AD，由△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，得出点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，即可得解。
3．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，
∴，，，
根据轴对称的性质可得，，
∴的周长的最小值为长度，
由轴对称的性质可得，
∴等腰中，
，
∴
，
，
，
故答案为：D．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，则，，，根据轴对称的性质可得，再求出，从而可得∠MPN。
4．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，C'D=CD，
∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°
∴CD//AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，
∵C'D=CD，∠ADC=90°
∴CC' =2CD，
∵BC=2CD，
∴CC' =BC，
∴∠C'=∠CBC'，
∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，
则BE=AD=2，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2，
∴BC' =2BE=4，
即PB+ PC的值最小值为4，
故答案为：A.
【分析】延长CD至C'，使C'D=CD，得出点C'与点C关于AD对称，连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，根据条件先求出C'C=BC，从而判断出∠C'=30°，再构造出Rt△BEC'，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出结果.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AQ，过点D作 ，
∵ ， 面积为21，
∴ ，
∴ ，
∵MN垂直平分AB，
∴ ，
∴ ，
∴当AQ的值最小时， 的值最小，根据垂线段最短可知，当 时，AQ的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值最小值为7；
故答案为：C.
【分析】连接AQ，过点D作DH⊥BC，根据三角形的面积公式可得DH，由垂直平分线的性质可得PA=PB，则PB+PQ=AP+PQ≥AQ，根据垂线段最短的性质可得：当AQ⊥BC时，AQ的值最小，据此求解.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
7．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ (180°-α)=110°- α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- α+α+ (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
8．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
9．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
10．【答案】6
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴作点E关于直线CD的对称点在BC上，连接AE'，与直线CD的交点即为点P的位置，
∵CD垂直平分EF，
∴PE=PE'，CE=CE'，
∴PA＋PE=PA+PE'=AE'，
∵，
∴，
∴点E'是BC的中点，
又∵AB＝AC，
∴AE'⊥BC，
∵△ABC的面积为48，
∴，
∴AE'=6，
∴PA＋PE的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】由于CD是∠ACB的平分线，得出点E关于直线CD的对称点E'在BC上，连接AE'，与直线CD的交点就是点P的位置，这时PA＋PE的值最小 ，根据垂直平分线的性质得出PA+PE=AE'，根据，求出BC长，根据等腰三角形的三线合一，结合△ABC的面积求出AE'的长，即可求出PA＋PE的最小值.
11．【答案】128°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A' ， A" ，连接 A'A" ，交BC于M ，交CD于N ，
则 ， ，
∴ 的周长 ，
∴ 即为 的周长最小值.
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
，
故答案为：128°.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A' ， A" ，连接 A'A" ，交BC于M ，交CD于N ，根据轴对称的性质，使三角形的三边转化到在同一直线上，使△AMN的周长最小，然后利用三角形内角和定理求出∠A'+∠A''=64°，再推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')，即可解答.
12．【答案】27
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，
，
，
，
，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
为等边三角形， ，
由轴对称的性质可得： ， ，
=3+6+18=27 ，
的最大值为27.
故答案为：27.
【分析】作点A关于CM 的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，由平角的概念可得∠AMC+∠DMB=60°，由轴对称的性质可得∠AMC=∠A′MC，∠DMB=∠DMB′，进而求出∠A′MB′=60°，由中点的概念可得MA=MB=6，推出△A′MB′为等边三角形， 得到MA′=MB′=A′B′，根据两点之间，线段最短的性质可知：当点C、A′、B′、D共线时，CD取得最小值，据此求解.
13．【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求作；
（2）由图可得，A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；
（3）如图所示，连接AC′，交y轴于点P，则点P即为所求作．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点A'，B'，C'的坐标即可；
（3）连接AC′，交y轴于点P，则点P即为所求作．
14．【答案】（1）解：∵AD=DC，
∴点D在线段AC的垂直平分线上；
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上；
根据两点确定一条直线，
∴BD是线段AC的垂直平分线；
∴BD垂直平分AC；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，
∴∠ABD=30°，∠EAD=30°，
∵AD＝DC＝4，
∴BD=8，ED=2，
∴BE=BD-ED=8-2=6；
（3）6
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】（3）∵BD垂直平分AC，
∴点C关于直线BD的对称点为点A，
连接AF，交BD于点P，
则点P即为所求；
∵△ABC是等边三角形，BF=CF，
∴AF⊥BC，
∴AF=BE=6，
故答案为：6．
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，得出BA=BC，从而得出点B在线段AC的垂直平分线上，由此得出结论；
（2）根据△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，得出∠ABD=30°，∠EAD=30°，AD＝DC＝4，得出BD=8，ED=2，再代入计算即可；
（3）连接AF，交BD于点P，则点P即为所求；根据△ABC是等边三角形，BF=CF，得出AF⊥BC，从而得出结论。
15．【答案】（1）解：①100°；② O=5，
当 时，
在同一直线上，
；
（2）解：如图，分别作点P关于OM、ON的对称点 ，连接 交 于点A、B，连接PA，PB，
则AP= ，此时 PAB周长的最小值等于 的长，
由对称性可得，
同理可得
．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）① 关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
，
平分 ，
同理得，ON平分 ，
，
故答案为：100°；
【分析】（1） ①根据关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，得出 ，推出 平分 ，同理得，ON平分 ，即可得出结论； ②当 时， 得出 在同一直线上，即可得出 ；
（2） 分别作点P关于OM、ON的对称点 ，连接 交 于点A、B，连接PA，PB，则AP= ，此时 PAB周长的最小值等于 的长。
1 / 1人教版八上数学第十三章13.4最短路径 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·遵义期末）点D、E分别是等边三角形 的边 、 的中点， ，F是AD上一动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6.
故答案为：A.
【分析】连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，根据等边三角形的性质可得CE⊥AB，根据轴对称的性质可得BF+EF=CF，推出AD是BC的垂直平分线，得到CF=BF，则BF+EF=CF+EF=CE，证明△ADB≌△CEB，得到CE=AD=6，据此解答.
2．（2020八上·惠城期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点若点D为边的中点，点M为线段上动点，则周长的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM=AM，
∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．
故答案为10．
【分析】连接AD，由△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，得出点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，即可得解。
3．（2021八上·澄海期末）如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82° B．84° C．88° D．92°
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，
∴，，，
根据轴对称的性质可得，，
∴的周长的最小值为长度，
由轴对称的性质可得，
∴等腰中，
，
∴
，
，
，
故答案为：D．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，则，，，根据轴对称的性质可得，再求出，从而可得∠MPN。
4．（2022八上·青川期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，C'D=CD，
∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°
∴CD//AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，
∵C'D=CD，∠ADC=90°
∴CC' =2CD，
∵BC=2CD，
∴CC' =BC，
∴∠C'=∠CBC'，
∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，
则BE=AD=2，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2，
∴BC' =2BE=4，
即PB+ PC的值最小值为4，
故答案为：A.
【分析】延长CD至C'，使C'D=CD，得出点C'与点C关于AD对称，连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，根据条件先求出C'C=BC，从而判断出∠C'=30°，再构造出Rt△BEC'，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出结果.
5．（2021八上·重庆月考）如图，在四边形 中， ， ， 面积为21， 的垂直平分线 分别交 于点 ，若点P和点Q分别是线段 和 边上的动点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AQ，过点D作 ，
∵ ， 面积为21，
∴ ，
∴ ，
∵MN垂直平分AB，
∴ ，
∴ ，
∴当AQ的值最小时， 的值最小，根据垂线段最短可知，当 时，AQ的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值最小值为7；
故答案为：C.
【分析】连接AQ，过点D作DH⊥BC，根据三角形的面积公式可得DH，由垂直平分线的性质可得PA=PB，则PB+PQ=AP+PQ≥AQ，根据垂线段最短的性质可得：当AQ⊥BC时，AQ的值最小，据此求解.
6．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
7．（2021八上·广州期中）如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ (180°-α)=110°- α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- α+α+ (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
二、填空题
8．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
9．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
10．（2021八上·天门月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是∠ACB的平分线CD上的一动点，，△ABC的面积为，则PA＋PE的最小值为 .
【答案】6
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴作点E关于直线CD的对称点在BC上，连接AE'，与直线CD的交点即为点P的位置，
∵CD垂直平分EF，
∴PE=PE'，CE=CE'，
∴PA＋PE=PA+PE'=AE'，
∵，
∴，
∴点E'是BC的中点，
又∵AB＝AC，
∴AE'⊥BC，
∵△ABC的面积为48，
∴，
∴AE'=6，
∴PA＋PE的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】由于CD是∠ACB的平分线，得出点E关于直线CD的对称点E'在BC上，连接AE'，与直线CD的交点就是点P的位置，这时PA＋PE的值最小 ，根据垂直平分线的性质得出PA+PE=AE'，根据，求出BC长，根据等腰三角形的三线合一，结合△ABC的面积求出AE'的长，即可求出PA＋PE的最小值.
11．（2021八上·苏州期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当 AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 .
【答案】128°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A' ， A" ，连接 A'A" ，交BC于M ，交CD于N ，
则 ， ，
∴ 的周长 ，
∴ 即为 的周长最小值.
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
，
故答案为：128°.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A' ， A" ，连接 A'A" ，交BC于M ，交CD于N ，根据轴对称的性质，使三角形的三边转化到在同一直线上，使△AMN的周长最小，然后利用三角形内角和定理求出∠A'+∠A''=64°，再推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')，即可解答.
12．（2021八上·如皋期中）如图， ， 在 的同侧， ， ， ，点 为 的中点，连接 ， ， ，若 ，则 的最大值为 .
【答案】27
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，
，
，
，
，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
为等边三角形， ，
由轴对称的性质可得： ， ，
=3+6+18=27 ，
的最大值为27.
故答案为：27.
【分析】作点A关于CM 的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，由平角的概念可得∠AMC+∠DMB=60°，由轴对称的性质可得∠AMC=∠A′MC，∠DMB=∠DMB′，进而求出∠A′MB′=60°，由中点的概念可得MA=MB=6，推出△A′MB′为等边三角形， 得到MA′=MB′=A′B′，根据两点之间，线段最短的性质可知：当点C、A′、B′、D共线时，CD取得最小值，据此求解.
三、作图题
13．（2021八上·东莞期末）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（ 1 ）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；
（ 2 ）写出点A'，B'，C'的坐标；
（ 3 ）在y轴上找一点P，使PA+PC的长最短．
【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求作；
（2）由图可得，A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；
（3）如图所示，连接AC′，交y轴于点P，则点P即为所求作．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点A'，B'，C'的坐标即可；
（3）连接AC′，交y轴于点P，则点P即为所求作．
四、综合题
14．（2021八上·双辽期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小M值；PC+PF的最小值为 （直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵AD=DC，
∴点D在线段AC的垂直平分线上；
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上；
根据两点确定一条直线，
∴BD是线段AC的垂直平分线；
∴BD垂直平分AC；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，
∴∠ABD=30°，∠EAD=30°，
∵AD＝DC＝4，
∴BD=8，ED=2，
∴BE=BD-ED=8-2=6；
（3）6
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】（3）∵BD垂直平分AC，
∴点C关于直线BD的对称点为点A，
连接AF，交BD于点P，
则点P即为所求；
∵△ABC是等边三角形，BF=CF，
∴AF⊥BC，
∴AF=BE=6，
故答案为：6．
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，得出BA=BC，从而得出点B在线段AC的垂直平分线上，由此得出结论；
（2）根据△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，得出∠ABD=30°，∠EAD=30°，AD＝DC＝4，得出BD=8，ED=2，再代入计算即可；
（3）连接AF，交BD于点P，则点P即为所求；根据△ABC是等边三角形，BF=CF，得出AF⊥BC，从而得出结论。
15．（2021八上·大石桥期中）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON=50°，则∠GOH= ▲ ；
②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；
（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当 PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
【答案】（1）解：①100°；② O=5，
当 时，
在同一直线上，
；
（2）解：如图，分别作点P关于OM、ON的对称点 ，连接 交 于点A、B，连接PA，PB，
则AP= ，此时 PAB周长的最小值等于 的长，
由对称性可得，
同理可得
．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）① 关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
，
平分 ，
同理得，ON平分 ，
，
故答案为：100°；
【分析】（1） ①根据关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，得出 ，推出 平分 ，同理得，ON平分 ，即可得出结论； ②当 时， 得出 在同一直线上，即可得出 ；
（2） 分别作点P关于OM、ON的对称点 ，连接 交 于点A、B，连接PA，PB，则AP= ，此时 PAB周长的最小值等于 的长。
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