人教版八上数学第十三章13.4最短路径 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。
2．（2021八上·临沭月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
∵∠DAB=130°，
∴∠AA′M+∠A″=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠AA′M+∠A″=50°，再计算求解即可。
3．（2021八上·莒南期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
4．（2020八上·喀喇沁旗期末）如图， 是等边三角形， 是 边上的高，E是 的中点，P是 上的一个动点，当 与 的和最小时， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故答案为：A．
【分析】连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，再利用等边三角形的性质得出∠PCB=∠PBC=30°，即可解决问题。
5．（2020八上·永年期末）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．
故答案为：D．
【分析】过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．
二、填空题
6．（2021八上·牡丹江期末）AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM最小值为8，
故答案为：8．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出点B关于直线EF的对称点为点A，再求出AD的长为BM+MD的最小值，最后求解即可。
7．（2021八上·大兴期末）如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是 ．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴ AF= FC ，
∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，
∴BC=4，
∵根据两点之间线段最短，
∴PA+ PB= PB+ PC= BC，最小，此时点P与点F重合，
∴PA+PB的最小值是BC的长，即为4，
故答案为： 4．
【分析】根据线段垂直平分线先求出 AF= FC ，再求出BC=4，最后计算求解即可。
8．（2021八上·密山期末）如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是 ．
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE的长为10，即PE+PF的最小值为10.
故答案为10.
【分析】根据轴对称的性质可得：PF=PB，因此PF+PE=PB+PE，因此当点E、P、B共线时即可得到PE+PF的最小值，即是BE的长，再求出BE的长即可。
9．（2020八上·铜官期末）如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为 ．
【答案】10cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设CD与OA 的交点为E，与OB的交点为F，
∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，
∴ME＝CE，MF＝DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD＝10cm，
故答案为：10cm．
【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论。
10．（2020八上·砚山期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线 上的动点， ，B(2，0)是x轴上的两点，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，直线y=x是第一三象限的角平分线，
作点A关于直线y=x的对称点交y轴于点C，连接BC交直线y=x于一点即是点P，此时 的值最小，即是线段BC，
∵点A（1，0），
∴点C（0，1），即OC=1，
∵B（2，0），
∴OB=2，
∴PA+PB=BC= ，
故答案为： .
【分析】作点A关于直线y=x的对称点交y轴于点A’，连A’B交直线y=x于一点即是点P，此时 的值最小，即是线段BC，利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA'=1，进而利用勾股定理得出即可。
11．（2020八上·禹城期末）如图，在 中， ， ， ，直线 是 中 边的垂直平分线， 是直线 上的一动点，则 的周长的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．
故答案为：10．
【分析】根据垂直平分线的性质可得PC=PB，当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，即此时△APC周长的最小值。
12．（2020八上·无棣期末）如图，在 中， ， ， ，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则 周长的最小值为 ．
【答案】18
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵AP+CP=AP+BP=AB=12，
∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，
故答案为：18．
【分析】易知点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，求出此时三角形ACP的周长即可.
13．（2021八上·铁东期中）如图，在 中， ， ，以BC为边在BC的右侧作等边 ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当 的值最小时， 的度数为 ．
【答案】15°
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，
连接BP1，则BP1=DP1，
∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，
∴∠CBP1=∠CDP1，
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP1=∠CAD，即
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，
∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，
∴当 的值最小时， =15°，
故答案为：15°．
【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，因为△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，得出CE为线段BD的垂直平分线，PD=BP，当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，则BP1=DP1，得出∠CDP1=∠CAD，延长AC至Q，得出∠CBP1=15°，推出当 的值最小时， =15°。
三、作图题
14．（2021八上·咸安期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）
（ 1 ）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；
（ 2 ）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（ 3 ）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大.
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；
（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求，
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质分别作点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求；
（2）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线DE交于点P即可；
（3）根据QA﹣QB≤AB，即可得到QA﹣QB最大值为AB的长，据此延长AB交DE于点Q，点Q即为所求.
四、综合题
15．（2021八上·西城期末）如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（－3，1），（－1，4），
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ▲ ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ▲ ；
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是 ▲ ；
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）解：平面直角坐标系xOy如图所示
由图象可知C点坐标为（1，2）
点是 C点关于x轴对称得来的
则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数
即点坐标为（1，-2）．
（2）①（5，1）
②连接①所得B，B交直线x=1于点P
由两点之间线段最短可知为B时最小
又∵点是点A关于直线l的对称点
∴
∴为B时最小
故P即为所求点．
③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）
有（m+x）÷2=1，y=n
即x=2-m，y=n
则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2
即对称点坐标为（2-m，n）．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①A点坐标为（-3，1），
关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变
则为坐标为（5，1）
【分析】（1）①根据A、B两点坐标作出平面直角坐标系即可；
②根据轴对称的性质解决问题即可；
（2）①利用轴对称的性质解决问题；
②作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求；
③利用中点坐标公式解决问题即可。
1 / 1人教版八上数学第十三章13.4最短路径 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2021八上·临沭月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
3．（2021八上·莒南期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．（2020八上·喀喇沁旗期末）如图， 是等边三角形， 是 边上的高，E是 的中点，P是 上的一个动点，当 与 的和最小时， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·永年期末）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2021八上·牡丹江期末）AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
7．（2021八上·大兴期末）如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是 ．
8．（2021八上·密山期末）如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是 ．
9．（2020八上·铜官期末）如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为 ．
10．（2020八上·砚山期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线 上的动点， ，B(2，0)是x轴上的两点，则 的最小值为 ．
11．（2020八上·禹城期末）如图，在 中， ， ， ，直线 是 中 边的垂直平分线， 是直线 上的一动点，则 的周长的最小值为 ．
12．（2020八上·无棣期末）如图，在 中， ， ， ，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则 周长的最小值为 ．
13．（2021八上·铁东期中）如图，在 中， ， ，以BC为边在BC的右侧作等边 ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当 的值最小时， 的度数为 ．
三、作图题
14．（2021八上·咸安期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）
（ 1 ）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；
（ 2 ）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（ 3 ）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大.
四、综合题
15．（2021八上·西城期末）如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（－3，1），（－1，4），
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ▲ ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ▲ ；
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是 ▲ ；
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。
2．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
∵∠DAB=130°，
∴∠AA′M+∠A″=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠AA′M+∠A″=50°，再计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故答案为：A．
【分析】连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，再利用等边三角形的性质得出∠PCB=∠PBC=30°，即可解决问题。
5．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．
故答案为：D．
【分析】过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．
6．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM最小值为8，
故答案为：8．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出点B关于直线EF的对称点为点A，再求出AD的长为BM+MD的最小值，最后求解即可。
7．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴ AF= FC ，
∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，
∴BC=4，
∵根据两点之间线段最短，
∴PA+ PB= PB+ PC= BC，最小，此时点P与点F重合，
∴PA+PB的最小值是BC的长，即为4，
故答案为： 4．
【分析】根据线段垂直平分线先求出 AF= FC ，再求出BC=4，最后计算求解即可。
8．【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE的长为10，即PE+PF的最小值为10.
故答案为10.
【分析】根据轴对称的性质可得：PF=PB，因此PF+PE=PB+PE，因此当点E、P、B共线时即可得到PE+PF的最小值，即是BE的长，再求出BE的长即可。
9．【答案】10cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设CD与OA 的交点为E，与OB的交点为F，
∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，
∴ME＝CE，MF＝DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD＝10cm，
故答案为：10cm．
【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论。
10．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，直线y=x是第一三象限的角平分线，
作点A关于直线y=x的对称点交y轴于点C，连接BC交直线y=x于一点即是点P，此时 的值最小，即是线段BC，
∵点A（1，0），
∴点C（0，1），即OC=1，
∵B（2，0），
∴OB=2，
∴PA+PB=BC= ，
故答案为： .
【分析】作点A关于直线y=x的对称点交y轴于点A’，连A’B交直线y=x于一点即是点P，此时 的值最小，即是线段BC，利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA'=1，进而利用勾股定理得出即可。
11．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．
故答案为：10．
【分析】根据垂直平分线的性质可得PC=PB，当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，即此时△APC周长的最小值。
12．【答案】18
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵AP+CP=AP+BP=AB=12，
∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，
故答案为：18．
【分析】易知点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，求出此时三角形ACP的周长即可.
13．【答案】15°
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，
连接BP1，则BP1=DP1，
∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，
∴∠CBP1=∠CDP1，
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP1=∠CAD，即
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，
∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，
∴当 的值最小时， =15°，
故答案为：15°．
【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，因为△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，得出CE为线段BD的垂直平分线，PD=BP，当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，则BP1=DP1，得出∠CDP1=∠CAD，延长AC至Q，得出∠CBP1=15°，推出当 的值最小时， =15°。
14．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；
（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求，
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质分别作点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求；
（2）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线DE交于点P即可；
（3）根据QA﹣QB≤AB，即可得到QA﹣QB最大值为AB的长，据此延长AB交DE于点Q，点Q即为所求.
15．【答案】（1）解：平面直角坐标系xOy如图所示
由图象可知C点坐标为（1，2）
点是 C点关于x轴对称得来的
则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数
即点坐标为（1，-2）．
（2）①（5，1）
②连接①所得B，B交直线x=1于点P
由两点之间线段最短可知为B时最小
又∵点是点A关于直线l的对称点
∴
∴为B时最小
故P即为所求点．
③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）
有（m+x）÷2=1，y=n
即x=2-m，y=n
则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2
即对称点坐标为（2-m，n）．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①A点坐标为（-3，1），
关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变
则为坐标为（5，1）
【分析】（1）①根据A、B两点坐标作出平面直角坐标系即可；
②根据轴对称的性质解决问题即可；
（2）①利用轴对称的性质解决问题；
②作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求；
③利用中点坐标公式解决问题即可。
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