人教版八上数学第十三章13.4最短路径 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2020八上·勃利期末）如图，在 中， ＝ ＝6，且 ， ， 是 的两条高线，P是 上一动点，则 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PB，
∵ ， ，
∴AD是等腰△ABC底边BC边的中垂线，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴B，P，E三点共线时， 最小，即等于BE的长，
又∵ ， ，
∴ ；
故
故答案为：B．
【分析】先求出AD是等腰△ABC底边BC边的中垂线，再求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
2．（2020八上·遵化月考）如图所示，在四边形ABCD中， ，AC=1， ，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接PA，
∵直线MN为线段AD的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
当P在AC上时， 最小，即 ，
∴ 最小值为1，
故答案为：A．
【分析】连接PA，根据线段垂直平分线的性质，可得，可得，当P在AC上时， 最小，此时的最小值=AC，据此即得结论.
3．（2020八上·长沙月考）如图， ABC≌ AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF＝3，CF＝5，则BP+DP的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接CP，
由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，
∴CP＝DP，EF＝BF＝3，
∴BP+DP＝BP+CP，
∴当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，
∵EF＝3，CF＝5，
∴BF+CF＝BC＝8，
∴BP+DP的最小值是8，
故答案为：B.
【分析】连接CP，由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，可得到CP=DP，BF=3，故得BP+DP＝BP+CP，当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，然后求出BC的长，即可求解.
4．（2020八上·南通期中）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′.
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故答案为：B.
【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题.
5．（2020八上·柳州期末）如图，正 的边长为 ，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，如图所示．
由图象可知当点D在C′B的延长线上时，AD+CD最小，
而点D为线段BC′上一动点，
∴当点D与点B重合时AD+CD值最小，
此时AD+CD=AB+CB=2+2=4．
故答案为：B．
【分析】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，由图象可知点D在C′B的延长线上，由此可得出当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，由此即可得出结论，再根据等边三角形的性质算出AB+CB的长度即可．
二、填空题
6．（2021八上·大石桥期末）已知△ABC的面积是12，AB=AC=5，AD是BC边上的中线，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC交AD于点P，连接CP，
∵AB=AC， AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BP=CP，
∴CP+EP=BP+EP≥BE，
∴CP+EP的最小值为BE的长，
∵△ABC的面积是12， AC=5，
∴，
∴BE=.
故答案为：.
【分析】过点B作BE⊥AC交AD于点P，连接CP，则CP+ EP的最小值为BE的长.
7．（2020八上·通山月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分AB，AC=3，BC=4，则AE+CE的最小值是 .
【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分AB，
∴A，B关于EF对称，AE=BE，
当点E为BC与EF的交点时，AE+CE最小，
此时，AE+CE=BE+CE=BC=4，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线的性质求出AE=BE，根据两点之间线段最短的性质得出当点E为BC与EF的交点时，AE+CE最小，即BC的长，即可解答.
8．（2020八上·越秀期末）如图， 是等边三角形， ，点 、 分别为边 、 上的动点，当 的周长最小时， 的度数是 .
【答案】
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AC的对称点G，点D关于BC的对称点H，连接GH交AC、BC于E、F，
∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴DE=EG，DF=FH，
∴ 的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH,
∴当G、E、F、H四个点在同一直线上时， 的周长最小，
∵ 是等边三角形，
∴∠A=∠B = ，
∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴∠ADG= ，∠BDH= ，∠EDG=∠DGE，∠FDH=∠DHF，
∴∠GDH= ，
∴∠DGE+∠DHF= ，
∴∠EDG+∠FDH= ，
∴∠EDF= .
故答案是： .
【分析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H，连接GH交AC和BC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
9．（2019八上·温岭期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB=10cm,点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点C′处连接AC′，则AC′长度的最小值是 ．
【答案】4cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：当C′落在AB上， AC'长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
由折叠的性质知，BC′=BC=6cm，
∴AC′=AB-BC′=4cm．
故答案为：4cm．
【分析】当C′落在AB上， AC'长度的值最小，由折叠的性质知，BC′=BC=6cm，于是得到结论．
三、作图题
10．（2019八上·德城期中）画图题
（1）在图1中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等．
（2）如图2，①写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点的坐标；
②画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
③在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．
【答案】（1）解：如图，点A和A′为所作；
（2）解：①如图，△A1B1C1为所各顶点坐标为A1（﹣3，﹣2）、B1（﹣4，3）、C1（﹣1，1）；
②如图，△A2B2C2为所作；点A2的坐标为（﹣4，﹣2）．
③如图，点P为所作．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作MN的垂直平分线、∠HOF的平分线和∠HOF的邻补角的平分线，它们的交点即为A点；（2）①利用关于x轴对称的点的坐标特征写出△A1B1C1的各顶点的坐标；②利用关于y轴对称的点的坐标特征写出△A2B2C2的各顶点的坐标，然后描点即可；③连接BC2交y轴于P点，利用对称的性质和两点之间线段最短可判断此时PB+PC的值最小，从而得到△PBC的周长最小．
11．（2019八上·邯郸期中）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）
⑴画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；
⑵在DE上画出点P，使PA+PC最小；
⑶在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1；顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求．（2）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线DE交于点P即可．（3）根据QA﹣QB≤AB，即可得到QA﹣QB最大值为AB的长，据此延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．
四、综合题
12．（2021八上·海珠期末）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠A=∠ACD=45°，∠CPE = ∠CEB = 67.5°，即可即可得出结论；
（2）在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CE，即可得出结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，证明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出结论。
13．（2020八上·巴彦期末）如图
（1）①作出 关于y轴对称的 ．
②通过画图在x轴上找出点P，使得 与 之和最小．
（2）连接 、 、 ，则 的面积为 ．
【答案】（1）
（2）3
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）如图所示，△POC1的面积= ．
【分析】（1）①先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再连线即可；②找得到点A关于x轴的对称点A'，连接CA'，交x轴于点P；
（2）利用三角形的面积公式计算即可。
14．（2021八上·桂林期末）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC
∴∠2＝∠3
∵BF＝FA
∴∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
（2）证明：∵AD⊥BC EG⊥BC
∴∠ADB＝∠BGE＝90°
在△ABD和△BEG中
∴△ABD≌△BEG（AAS）
∴AD＝BG BD＝EG
∵BG＝BD＋DG＝DG＋EG
∴AD＝DG＋EG
（3）解：延长EG至点E′,使得GE′=GE
连接AE′, BE′，此时AH+HE的值最小
根据题意，易得 △BE′G≌△BEG
∴∠3＝∠GBE′ BE＝BE′
由（1）可知 ∠1＝∠2＝∠3＝30°
∴∠ABE′＝∠2＋∠3＋∠GBE′＝90°
∵AB＝BE BE＝BE′
∴AB＝BE′
即△ABE′是等腰直角三角形
∴∠BAH＝45°
∴∠DAH＝∠BAH -∠1＝15°
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠2＝∠3，再根据等腰三角形的性质，可推出∠2=∠1，由此可证得结论。
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB＝∠BGE，再利用ASA可得到ABD≌△BEG，利用全等三角形的对应边相等，可推出AD＝BG，BD＝EG，由此可推出结论。
（3）延长EG至点E′，使得GE′=GE连接AE′，BE′，此时AH+HE的值最小 ，易证△BE′G≌△BEG，利用全等三角形的性质可证得∠3＝∠GBE′ ，BE＝BE；再证明AB＝BE′，可推出△ABE′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得到∠BAH=45°，然后利用∠DAH＝∠BAH -∠1，代入计算可求出∠DAH的度数。
15．（2020八上·椒江期中）如图
（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB PC（填“ ”“ ”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则 ，请帮小明说明原因.
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？
【答案】（1）=
（2）解：理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴ ；
（3）解：①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，
由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，
∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S△ABC=10，BC=5，
∴ BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP
∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
∴∠P1AP2=60°
∴△P1AP2是等边三角形
∴P1P2= AP1=4
即PD+DE+PE的最小值是4.
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论；（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可；②根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，从而证出△P1AP2是等边三角形，即可得出结论.
1 / 1人教版八上数学第十三章13.4最短路径 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2020八上·勃利期末）如图，在 中， ＝ ＝6，且 ， ， 是 的两条高线，P是 上一动点，则 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2020八上·遵化月考）如图所示，在四边形ABCD中， ，AC=1， ，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
3．（2020八上·长沙月考）如图， ABC≌ AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF＝3，CF＝5，则BP+DP的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
4．（2020八上·南通期中）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．21
5．（2020八上·柳州期末）如图，正 的边长为 ，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021八上·大石桥期末）已知△ABC的面积是12，AB=AC=5，AD是BC边上的中线，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值为 ．
7．（2020八上·通山月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分AB，AC=3，BC=4，则AE+CE的最小值是 .
8．（2020八上·越秀期末）如图， 是等边三角形， ，点 、 分别为边 、 上的动点，当 的周长最小时， 的度数是 .
9．（2019八上·温岭期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB=10cm,点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点C′处连接AC′，则AC′长度的最小值是 ．
三、作图题
10．（2019八上·德城期中）画图题
（1）在图1中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等．
（2）如图2，①写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点的坐标；
②画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
③在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．
11．（2019八上·邯郸期中）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）
⑴画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；
⑵在DE上画出点P，使PA+PC最小；
⑶在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．
四、综合题
12．（2021八上·海珠期末）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
13．（2020八上·巴彦期末）如图
（1）①作出 关于y轴对称的 ．
②通过画图在x轴上找出点P，使得 与 之和最小．
（2）连接 、 、 ，则 的面积为 ．
14．（2021八上·桂林期末）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
15．（2020八上·椒江期中）如图
（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB PC（填“ ”“ ”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则 ，请帮小明说明原因.
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PB，
∵ ， ，
∴AD是等腰△ABC底边BC边的中垂线，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴B，P，E三点共线时， 最小，即等于BE的长，
又∵ ， ，
∴ ；
故
故答案为：B．
【分析】先求出AD是等腰△ABC底边BC边的中垂线，再求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接PA，
∵直线MN为线段AD的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
当P在AC上时， 最小，即 ，
∴ 最小值为1，
故答案为：A．
【分析】连接PA，根据线段垂直平分线的性质，可得，可得，当P在AC上时， 最小，此时的最小值=AC，据此即得结论.
3．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接CP，
由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，
∴CP＝DP，EF＝BF＝3，
∴BP+DP＝BP+CP，
∴当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，
∵EF＝3，CF＝5，
∴BF+CF＝BC＝8，
∴BP+DP的最小值是8，
故答案为：B.
【分析】连接CP，由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，可得到CP=DP，BF=3，故得BP+DP＝BP+CP，当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，然后求出BC的长，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′.
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故答案为：B.
【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题.
5．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，如图所示．
由图象可知当点D在C′B的延长线上时，AD+CD最小，
而点D为线段BC′上一动点，
∴当点D与点B重合时AD+CD值最小，
此时AD+CD=AB+CB=2+2=4．
故答案为：B．
【分析】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，由图象可知点D在C′B的延长线上，由此可得出当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，由此即可得出结论，再根据等边三角形的性质算出AB+CB的长度即可．
6．【答案】
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC交AD于点P，连接CP，
∵AB=AC， AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BP=CP，
∴CP+EP=BP+EP≥BE，
∴CP+EP的最小值为BE的长，
∵△ABC的面积是12， AC=5，
∴，
∴BE=.
故答案为：.
【分析】过点B作BE⊥AC交AD于点P，连接CP，则CP+ EP的最小值为BE的长.
7．【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分AB，
∴A，B关于EF对称，AE=BE，
当点E为BC与EF的交点时，AE+CE最小，
此时，AE+CE=BE+CE=BC=4，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线的性质求出AE=BE，根据两点之间线段最短的性质得出当点E为BC与EF的交点时，AE+CE最小，即BC的长，即可解答.
8．【答案】
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AC的对称点G，点D关于BC的对称点H，连接GH交AC、BC于E、F，
∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴DE=EG，DF=FH，
∴ 的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH,
∴当G、E、F、H四个点在同一直线上时， 的周长最小，
∵ 是等边三角形，
∴∠A=∠B = ，
∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴∠ADG= ，∠BDH= ，∠EDG=∠DGE，∠FDH=∠DHF，
∴∠GDH= ，
∴∠DGE+∠DHF= ，
∴∠EDG+∠FDH= ，
∴∠EDF= .
故答案是： .
【分析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H，连接GH交AC和BC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
9．【答案】4cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：当C′落在AB上， AC'长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
由折叠的性质知，BC′=BC=6cm，
∴AC′=AB-BC′=4cm．
故答案为：4cm．
【分析】当C′落在AB上， AC'长度的值最小，由折叠的性质知，BC′=BC=6cm，于是得到结论．
10．【答案】（1）解：如图，点A和A′为所作；
（2）解：①如图，△A1B1C1为所各顶点坐标为A1（﹣3，﹣2）、B1（﹣4，3）、C1（﹣1，1）；
②如图，△A2B2C2为所作；点A2的坐标为（﹣4，﹣2）．
③如图，点P为所作．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作MN的垂直平分线、∠HOF的平分线和∠HOF的邻补角的平分线，它们的交点即为A点；（2）①利用关于x轴对称的点的坐标特征写出△A1B1C1的各顶点的坐标；②利用关于y轴对称的点的坐标特征写出△A2B2C2的各顶点的坐标，然后描点即可；③连接BC2交y轴于P点，利用对称的性质和两点之间线段最短可判断此时PB+PC的值最小，从而得到△PBC的周长最小．
11．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1；顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求．（2）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线DE交于点P即可．（3）根据QA﹣QB≤AB，即可得到QA﹣QB最大值为AB的长，据此延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．
12．【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠A=∠ACD=45°，∠CPE = ∠CEB = 67.5°，即可即可得出结论；
（2）在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CE，即可得出结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，证明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出结论。
13．【答案】（1）
（2）3
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）如图所示，△POC1的面积= ．
【分析】（1）①先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再连线即可；②找得到点A关于x轴的对称点A'，连接CA'，交x轴于点P；
（2）利用三角形的面积公式计算即可。
14．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC
∴∠2＝∠3
∵BF＝FA
∴∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
（2）证明：∵AD⊥BC EG⊥BC
∴∠ADB＝∠BGE＝90°
在△ABD和△BEG中
∴△ABD≌△BEG（AAS）
∴AD＝BG BD＝EG
∵BG＝BD＋DG＝DG＋EG
∴AD＝DG＋EG
（3）解：延长EG至点E′,使得GE′=GE
连接AE′, BE′，此时AH+HE的值最小
根据题意，易得 △BE′G≌△BEG
∴∠3＝∠GBE′ BE＝BE′
由（1）可知 ∠1＝∠2＝∠3＝30°
∴∠ABE′＝∠2＋∠3＋∠GBE′＝90°
∵AB＝BE BE＝BE′
∴AB＝BE′
即△ABE′是等腰直角三角形
∴∠BAH＝45°
∴∠DAH＝∠BAH -∠1＝15°
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠2＝∠3，再根据等腰三角形的性质，可推出∠2=∠1，由此可证得结论。
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB＝∠BGE，再利用ASA可得到ABD≌△BEG，利用全等三角形的对应边相等，可推出AD＝BG，BD＝EG，由此可推出结论。
（3）延长EG至点E′，使得GE′=GE连接AE′，BE′，此时AH+HE的值最小 ，易证△BE′G≌△BEG，利用全等三角形的性质可证得∠3＝∠GBE′ ，BE＝BE；再证明AB＝BE′，可推出△ABE′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得到∠BAH=45°，然后利用∠DAH＝∠BAH -∠1，代入计算可求出∠DAH的度数。
15．【答案】（1）=
（2）解：理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴ ；
（3）解：①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，
由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，
∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S△ABC=10，BC=5，
∴ BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP
∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
∴∠P1AP2=60°
∴△P1AP2是等边三角形
∴P1P2= AP1=4
即PD+DE+PE的最小值是4.
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论；（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可；②根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，从而证出△P1AP2是等边三角形，即可得出结论.
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