(共37张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
第一课时 空间向量基本定理
一、空间向量基本定理
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，
使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得
(2)你能证明唯一性吗？
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以x＝x′，
同理y＝y′，z＝z′，所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
2.填空 (1)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_________________.
(2)基底的概念
①定义：如果三个向量a，b，c________，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做基向量.
②性质：空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底.
p＝xa＋yb＋zc
不共面
基底
不共面
温馨提醒 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
3.做一做 判断正误
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( )
提示 由空间向量基本定理可知，空间的任何一个向量都可用三个不共面的向量表示.
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量. ( )
(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线. ( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. ( )
提示 任何三个不共面的向量才可构成空间的一个基底，不共线的向量可能共面.
×
√
√
×
填空 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_________________.像这样，把一个空间向量分解为三个__________的向量，叫做把空间向量正交分解.
二、空间向量的正交分解
两两垂直
a＝xi＋yj＋zk
两两垂直
题型一 基底的判断
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.
思维升华
D
(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底.给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有________(填序号).
②③④
由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面.
同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，
可以作为空间的基底.因x＝a＋b，故a，b，x共面，
故不能作为基底.
题型二 用基底表示空间向量
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
思维升华
解 如图，连接AC，
课堂小结
1.重要思想与方法
(1)空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用空间的一组基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转化与化归的思想方法.
(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，由于零向量与任意一个非零向量共线，故零向量不能做基向量.
2.易错易混点提醒
(1)对基向量理解错误，没有注意到基向量应满足的条件.
(2)利用基底表示空间向量时，用错平行四边形法则或三角形法则.
1.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A.a B.b C.a＋2b D.a＋2c
D
一、基础达标
C
C
B
A
6.已知{a，b，c}是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是______(填序号).
①2a；②－b；③c；④a＋c.
③④
解析 ∵p＝2a－b，q＝a＋b，∴p与q共面，a，b共面.
而c与a，b不共面，∴c与p，q可以构成另一个基底，
同理a＋c与p，q也可构成一组基底.
C
二、能力提升
AD
(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值.
三、创新拓展(共44张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
第二课时 空间向量基本定理的初步应用
一、证明平行、共面问题
1.思考 怎样利用向量共线解决几何中的证明平行、共线、共面问题？
提示 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.
2.填空 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__________.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝____________.
a＝λb
xa＋yb
×
√
×
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
温馨提醒 区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围.
二、求夹角、证明垂直问题
1.思考 如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题，以及求解夹角问题？
C
2.做一做 (1)棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.无法判位置关系
45°
三、求距离(长度)问题
1.思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？
提示 几何中求距离(长度)都可以化为向量的模，用数量积可以求得.
题型一 利用空间向量证明平行、共面问题
例1 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C.
证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
思维升华
求证：A，E，C1，F四点共面.
题型二 利用空间向量求夹角、证明垂直
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
思维升华
题型三 求线段的长度或两点间的距离
思维升华
训练3 如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长.
课堂小结
1.重要思想与方法
证明空间中的直线、平面的垂直和平行，要分别结合相关的判定定理，转化为向量的运算；求空间两点间的距离或线段的长度一般转化为求对应向量的模；求两直线的夹角则转化为求向量的夹角(或其补角).体现了转化与化归的思想方法.
2.易错易混点提醒
(1)不要混淆向量的夹角与两异面直线所成的角.
(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则直线AB和CE所成角的余弦值为( )
B
一、基础达标
2.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝( )
C
D
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法判断
B
5.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是( )
D
A.30° B.45°
C.60° D.90°
故AB1与BM所成的角为90°.
6.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________.
12
7.已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________.
60°
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，
求MN的长.
10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E是棱C1D1的中点.求证：AE⊥A1D.
11.(多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )
ACD
二、能力提升
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
90°
13.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长.
14.在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点.
三、创新拓展
(1)求证：DE∥平面ACF；
(2)求证：BD⊥AE；
