课件43张PPT。3.1.1 随机事件的概率1.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
2.理解频率与概率的联系与区别.
3.了解随机事件发生的不确定性及其概率的稳定性.
1.本课重点是事件的分类,概率的定义以及概率和频率的区别与联系.
2.本课难点是对随机事件发生的不确定性及其概率的稳定性的理解.1.事件的分类会发生不会发生可能发生也可能不发生2.频数与频率
（1）前提：对于给定的随机事件A, 在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A 是否出现.
（2）频数：指的是n次试验中事件A出现的______；
频率：指的是事件A出现的比例fn（A）=____. 次数nA3.概率
（1）定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增
加，事件A发生的频率fn（A） 稳定在某个常数上，把这个常
数记作_______，称为事件A的概率.
（2）范围：_________.
（3）意义：概率从数量上反映了随机事件发生的_______的
大小.P（A）［0，1］可能性1.事件的分类是确定的吗？
提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，
必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
2.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为 ，当n很
大时，那么P（A）与 的关系是______.
【解析】根据频率与概率的关系，当n很大时，P（A）≈ .
答案：P（A）≈3.下列说法正确的有_________（填序号）.
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②任意事件A发生的概率P（A）总满足0＜P（A）＜1；
③若事件A的概率趋近于0，即P（A）→0，则事件A是不可能事件.【解析】根据频率与概率的关系，①正确；随机事件的概率满足0＜P（A）＜1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，②不正确；当事件A的概率趋近于0时，事件A发生的可能性很小，③不正确.
答案：①1.“频率”和“概率”的区别
（1）频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映随机事件出现的可能性.
（2）概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性.
大量重复试验时,任意结果（事件）A出现的频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率.2．概率的性质
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0＜P（A）＜1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形. 事件的分类
【技法点拨】
对事件分类的两个关键点
（1）条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
（2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况. 【典例训练】
1.（2012·西南师大附中高二检测）下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0（x∈R）；④方程x2-3x+5=0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）42.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件.
（1）某地1月1日刮西北风；
（2）手电筒的电池没电，灯泡发亮；
（3）一个电影院某天的上座率超过50%.
【解析】1.选B.在所给条件下，①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件.
2.由题意可知，（2）是不可能发生的，即为不可能事件；
（1），（3）有可能发生，也有可能不发生，即为随机事件.【总结】据1中③④总结数学问题中事件类型的判断方法.
数学问题中的事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件等价于该说法是否正确，还是需要分类讨论的问题.若是正确的则是必然事件，若是错误的，则是不可能事件，若需要讨论，则是随机事件.【变式训练】判断下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件.
（1）抛一石块，下落；
（2）在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果a＞b,那么a－b＞0;
（5）掷一枚硬币，出现正面；
（6）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（8）没有水分，种子能发芽；
（9）在常温下，焊锡熔化.
【解析】事件（1），（4）都是一定会发生的，是必然事件.
事件（2），（8），（9）是一定不会发生的，是不可能事件.
事件（3），（5），（6），（7）有可能发生，也有可能不发生，是随机事件. 概率及其求法
【技法点拨】
随机事件概率的理解及求法
（1）理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率.
（2）求法：通过公式 计算出频率，再由频率估算概率. 【典例训练】
1.某射手射击标有6环、7环、8环、9环、10环的靶子，射击一次，解释以下事件的含义：
（1）脱靶；（2）射中8环以上.2.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表：
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？【解析】1.（1）事件发生，意味着射手没有打中靶子.
（2）事件发生意味着射手射中了9环或10环.
2.（1）如下表
（2）根据频率与概率的关系，可以认为射手射击一次，击中靶心的概率约是0.91.【互动探究】题1中，射手射击3次，打出了24环的成绩，这一事件包含几种可能的结果？
【解析】射手每次射击的情况可以是：6环，8环，10环；7环，8环，9环；8环，8环，8环；6环，9环，9环；7环，7环，10环.【总结】利用频率求近似概率的技巧
随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率上，所以确定概率时，重点根据试验次数多的对应频率来确定即可.【变式训练】从存放号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
（A）0.53 （B）0.5 （C）0.47 （D）0.37
【解析】选A.取到卡片的号码为奇数的次数为：13＋5＋6＋
18＋11＝53，则所求的频率为 故选A. 试验与重复试验的结果的分析
【技法点拨】
分析试验结果的方法
（1）首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的概率的前提和基础.
（2）在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏.【典例训练】
1.射击运动员射击10次，至少8次中靶，则该随机事件的条件为______，结果为______.
2.下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果.
（1）抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
（2）从集合A={a,b,c,d}中任取3个元素构成集合A的子集.【解析】1.随机事件的条件为：射击运动员射击10次，结果为中靶8次，中靶9次，中靶10次.
答案：射击运动员射击10次
中靶8次，中靶9次，中靶10次
2.（1）一次试验是指“抛掷两枚硬币一次”，试验的可能结果有4个：（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）.
（2）一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”，试验的结果共有4个：{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.【想一想】解答本题2（1）易出现什么错误？
提示：解答本题2（1）时的所有结果易出现（正，反）与
（反，正）算作一个结果的错误.【变式训练】从1，3，6，10四个数中任取两个数（不重复）作差，指出该试验的所有可能的结果.
【解析】该试验的所有可能的结果有：
1-3=-2，3-1=2， 1-6=-5，6-1=5，
3-6=-3，6-3=3， 1-10=-9，10-1=9，
6-10=-4，10-6=4， 3-10=-7，10-3=7. 【易错误区】事件判断中的误区
【典例】（2012·汕头高一检测）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）
（A）3个都是正品
（B）至少有1个是次品
（C）3个都是次品
（D）至少有1个是正品【解题指导】【解析】选D.任意抽取3件的可能情况是：
3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品①.由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的②，必然事件应该是“至少有1个是正品”.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程） 【即时训练】在200件产品中，有192件是一级品，8件是二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9，
其中_________是必然事件；_______是不可能事件；
_________是随机事件.【解析】因为在200件产品中，有192件一级品，选出9件，可能都是一级品，也可能不全是，故①③是随机事件；因为只有8件二级品，所以选出9件，全部是二级品是不可能事件；不是一级品的件数小于9是必然事件.
答案：④ ② ①③ 1.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
（A）必然事件 （B）随机事件
（C）不可能事件 （D）无法确定
【解析】选B.正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件.2.在20支同型号钢笔中，有3支钢笔是次品，从中任意抽取4支钢笔，则以下事件是必然事件的是（ ）
（A）4支均为正品
（B）3支为正品，1支为次品
（C）3支为次品，1支为正品
（D）至少有1支为正品
【解析】选D.因为仅有3支钢笔是次品，故抽样的结果有以下四种情况：4支全是正品，有1支次品，有2支次品，有3支次品. 3.下列事件中，不是随机事件的是（ ）
（A）东边日出西边雨
（B）下雪不冷化雪冷
（C）清明时节雨纷纷
（D）梅子黄时日日晴
【解析】选B.因为化雪需要吸收周围的热量，所以下雪不冷化雪冷是必然事件.4.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的频率为_______.
【解析】
答案：5.下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.（1）完成上面表格；
（2）该油菜籽发芽的概率约是多少？
【解析】（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.905.
（2）该油菜籽发芽的概率约为0.9.课件56张PPT。3.1.2 概率的意义1.从频率稳定性的角度，了解概率的意义.
2.加深对概率的定义的理解，进一步巩固对概率的认识.
3.能够把概率思想应用于实际. 1.本课重点是概率的正确理解.
2.本课难点是用概率知识解决现实生活中的具体问题.1.概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有
_______，认识了这种随机性中的_______，就能使我们比较
准确地预测随机事件发生的_______.规律性规律性可能性2.游戏的公平性
（1）裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先
猜，猜中并获得发球的概率均为____，所以这个规则是公平
的.
（2）在设计游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都
是_____的这一重要原则.0.5公平3.决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问
题，那么“_________________________”可以作为决策的
准则，这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是
统计中重要的统计思想方法之一.使得样本出现的可能性最大4.天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个_____事件，“概率为90%”指明了
“降水”这个事件发生的_____为90%.在一次试验中,概率为90%的事件也可能不出现.因此“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.
5.孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔从豌豆试验中洞察到的遗传规律是一种_____规律.统计随机概率1.围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，从中随机摸出1枚棋子，你认为会摸到什么棋子？
提示：摸到白棋子的概率为0.9，摸到黑棋子的概率为0.1,所以可能摸到白棋子.2.一对夫妇前三胎生的都是女孩，则第四胎生一个男孩的概率是_____.
【解析】生男生女的概率都是0.5，在第四胎时生一个男孩的概率仍是0.5.
答案：0.53.某位同学在做四选一的12道选择题时，他全不会做，只好在各题中随机选一个答案，若每道题选对得5分，选错得0分，你认为他大约得_______分.
【解析】随机选一个答案，选对的概率是0.25，所以这位同学可能的得分为12×5×0.25=15（分）.
答案：151.研究随机现象不能靠“直觉”
历史上有名的“生日问题”
某班级有n个人（n＜365）问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？
P（A）如下表：上表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23时，就有半数以上会发生这件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97％会发生这件事情.这个例子告诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性.2.概率的意义
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率.概率是从数量上反应随机事件发生的可能性大小的一个数学概念，它是对大量重复试验来说存在的一种统计规律性，对单次试验来说，某随机事件发生与否仍是随机的. 概率含义的理解
【技法点拨】
从三个方面理解概率的意义
（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
（2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.（3）正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.【典例训练】
1.下列说法正确的是（ ）
（A）由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩， 则一定为一男一女
（B）一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
（C）10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
（D）10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.12.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么
第999次出现正面朝上的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D） 【解析】1.选D.一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；
中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确.2.选D.抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结
果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率
为 .【想一想】你知道本题1中A选项中两个孩子的可能情况吗？
提示：可以根据孩子年龄的大小列举，要注意（男，女）和（女，男）是不同的情况.【变式训练】某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%？
【解析】不一定.如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的.因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈. 游戏的公平性
【技法点拨】
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的.
（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较. 【典例训练】
1.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）2.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字.现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？【解析】1.选A.在所给的四个游戏盘中，小明获胜的概率分
别是 所以小明应该选择A盘.2.列表如下：
由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.因此甲
获胜的概率为 乙获胜的概率为 甲、乙获胜的
概率不相等，所以这个游戏规则不公平.【互动探究】在题2中，若将游戏规则改为：自由转动转盘A和B，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，游戏规则公平吗？ 【解析】列表如下：
由表格可知，积为偶数的有8个，积为奇数的有4个，所以甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平.【想一想】解答本题1的突破口及解答本题2的关键点是什么？
提示：（1）解答本题1的突破口是把每个转盘阴影部分的所占的比例计算出来.
（2）解答本题2的关键是看甲、乙两人获胜的概率是否都为0.5.【变式训练】同时向上抛100个均匀铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是_______.
①这100个铜板两面是一样的
②这100个铜板两面是不同的
③这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的【解题指南】逆向思考：假设两面不同，根据出现正面或反
面的概率相同来分析应该出现的结果.
【解析】因为是均匀铜板， 假设正反两面是不同的，则出现
正面或反面的概率应相同，都是 而出现的结果却是100个
铜板朝上的面都相同，所以可以判断铜板的两面是相同的.
答案：① 概率的应用
【技法点拨】
概率在实际生活中的应用
（1）由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
（2）实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等. 【典例训练】
1.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球，1个黑球；乙箱有1个白球，99个黑球.今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，问这球从______箱中取出.2.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球.在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4.根据上述数据，估计口袋中大约有多少个黄球？【解析】1.甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一
球，得白球的可能性是 乙箱中有1个白球和99个黑球，
从中任取一球，得到白球的可能性是 由此看到，这一
白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.由
极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是
由概率大的箱子中抽出的.所以我们作出统计推断该白球是
从甲箱中抽出的.
答案：甲2.由题意可知试验中摸出红球的概率是0.4，因此可以认为从口袋里摸出红球的概率是0.4，则口袋里的球的个数为10÷0.4=25，所以口袋里大约有黄球15个.【想一想】题1中应用的极大似然法的依据是什么？
提示：在一次试验中,概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大.【变式训练】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看做记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数.【解析】设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕到的可能性
相等，从水库中任捕一尾，设事件A表示“带有记号的鱼”，
则有 ①
第二次从水库中捕出500尾，观察到有40尾有记号，
由概率的统计定义知： ②
由①②两式，得
解得n≈25 000，
所以，估计水库中约有鱼25 000尾. 【易错误区】考虑不全面导致游戏公平性的判断错误
【典例】下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球.若从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是（ ）
（A）游戏1和游戏3 （B）游戏1
（C）游戏2 （D）游戏3
【解题指导】【解析】选D.游戏1中，取两球的所有可能情况是（黑1，
黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3）（黑1，白）（黑2，
白）（黑3，白）①，
∴甲胜的概率为 游戏是公平的.
游戏2中，显然甲胜的概率为 游戏是公平的.
游戏3中，取两球的所有可能情况是（黑1，黑2）（黑1，
白1）（黑2，白1）（黑1，白2）（黑2，白2）（白1，
白2）①，甲胜的概率为 游戏是不公平的.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①见解析过程）【即时训练】下列说法
①某袋中装有大小均匀的3个红球、2个黑球、1个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
②从-4，-3，-2，-1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；
③分别从3个男同学，4个女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同；
④5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号的可能性肯定不同，其中不正确的是（ ）
（A）②③④ （B）①②
（C）①②③ （D）①②③④
【解析】选D.以上命题均不正确．这是因为：
①中摸到红球的可能性为 摸到黑球的可能性为 摸到
白球的可能性为 ②中取到小于0的数的可能性为 取
到不小于0的数的可能性为 ③中男同学当选的可能性为
女同学当选的可能性为 ④中抽签有先有后，但每人抽到
某号的可能性是相同的． 1.下列说法正确的是（ ）
（A）某事件A发生的概率为0＜P（A）＜1
（B）不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1
（C）小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
（D）某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 【解析】选B.∵事件A发生的概率为0≤P（A）≤1,∴A错;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,几乎不发生.大概率事件发生的可能性较大,但并不是一定发生.∴C错;某事件发生的概率为一个常数,不随试验的次数变化而变化,∴D错;B正确.2.在天气预报中，有“降水概率预报”.例如,预报“明天降水概率为85%”，这是指（ ）
（A）明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
（B）明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
（C）气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
（D）明天该地区降水的可能性为85%
【解析】选D.概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确.3.成语“千载难逢”意思是说某事（ ）
（A）一千年中只能发生一次
（B）一千年中一次也不能发生
（C）发生的概率很小
（D）为不可能事件，根本不会发生
【解析】选C.根据概率的意义可知选项A，B，D都错.4.先后抛掷两枚均匀的一分、贰分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大______.
（1）至少一枚硬币正面向上；
（2）只有一枚硬币正面向上；
（3）两枚硬币都是正面向上；
（4）两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上.【解析】抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大.
答案：（1）5.元旦就要到了，某校将举行联欢活动，每班派一人主持节目，高二（1）班的小明、小华和小丽实力相当，都争着要去，班主任决定用抽签的方法来决定.小强给小华出主意要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎么认为的？说说看.
【解析】我们取三张卡片，上面标有1，2，3，抽到1就表示中签，假设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把所有的情况填入下表：从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二种情况，甲中签；第三、五种情况，乙中签；第四、六种情况，丙中签.由此可知，甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙中签的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的.课件61张PPT。3.1.3 概率的基本性质1.能够说出事件的包含、并、交,相等事件,互斥事件,以及对立事件的概念.
2.能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系.
3.会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率. 1.本课重点是事件的关系与运算，概率的几个基本性质和加法公式及其应用.
2.本课难点是互斥事件与对立事件的关系.1. 事件的关系与运算一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥B?A（或
A?B）若A∩B=?,
则A与B互
斥若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件若A∩B=?,且A∪B=U,则A与B对立 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B
（或A+B）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B
（或AB）2.概率的基本性质
（1）概率的取值范围是0～1之间,即_____________.
（2）必然事件的概率是__.
（3）不可能事件的概率是__.
（4）概率的加法公式：当事件A与事件B互斥时,P（A∪B）=
______________.
（5）当事件A与事件B互为对立事件时,P（A）=_________.0≤P（A）≤110P（A）+P（B）1-P（B）1.互斥事件能否同时不发生？
提示：可以.互斥事件是指两个事件在一次试验中不会同时发生，但可以同时不发生.
2.对立事件与互斥事件是什么关系？
提示：对立事件是互斥事件的特殊情形.3.在同一试验中，对任意两个事件A,B，P（A∪B）=P（A）+
P（B）一定成立吗？
提示：不一定.只有A与B互斥时，P（A∪B）=P（A）+P（B）才成立. 4.从1,2，…，9中任取两个数，其中：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．是对立事件的是__________.
【解析】从1,2，…，9中任取两个数字包括一奇一偶、两奇、两偶共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．
答案：③ 1.利用集合间的关系掌握事件间的关系
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B=? ；
②事件A与B对立，即集合A∩B=?，且A∪B=I（I为全集），
也即A= IB或B= IA.2.概率加法公式的推广
如果事件A1,A2,…,An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生
（即A1,A2,…,An中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分
别发生的概率的和，即P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）
+…+P（An） . 事件间关系的判断
【技法点拨】
1.判断事件是否互斥的两步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的.2.判断事件对立的两步骤
第一步，判断是互斥事件;
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只是互斥，但不对立.【典例训练】
1.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
（A）A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
（B）B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
（C）A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
（D）A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件2.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品.【解析】1.选D.由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2.依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：
（1）中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断.
（2）中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.
（3）中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.【互动探究】题2中事件“至少有1件次品”和“全是正品”间的关系是什么？
【解析】是互斥事件，也是对立事件.【总结】互斥事件与对立事件的不同.
互斥事件一定不会同时发生，但可以同时不发生；对立事件不但不能同时发生，也不能同时不发生.【变式训练】从一批产品中取出三件产品，设A表示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（ ）
（A）A与B互斥且为对立事件
（B）B与C互斥且为对立事件
（C）A与C存在包含关系
（D）A与C不是对立事件【解题指南】从事件包含的产品情况分析,并且注意对立事件与互斥事件的区别与联系.
【解析】选A.事件A中三件全是正品，事件B中三件全是次品，事件C中可能全是正品，也可能既有次品，又有正品，但一定不能全是次品，所以B，C，D都正确，A不正确. 概率加法公式的应用
【技法点拨】
概率加法公式的应用注意点
（1）应用公式时要保证事件互斥；
（2）复杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简；注意不重不漏. 【典例训练】
1.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比
赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 那么中
国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．2.（2012·湖南高考）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示:已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）试确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）【解析】1.设事件A为“甲夺得冠军”，事件B为“乙夺得冠
军”，则 因为事件A和事件B是互
斥事件．
∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
答案：2.（1）由已知得
∴
顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计为
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，将频率视为概率，由互斥事件的概率加法公式得
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分种的概率为 【想一想】本题1,2中如何判断事件是互斥的？
提示：根据实际意义：题1中冠军只有一个，甲获得则乙不能获得；题2中结算时间的标准很明确，达到标准即可确定是哪一时间段的.【变式训练】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
（1）求年降水量在［100，200）（mm）范围内的概率；
（2）求年降水量在［150，300）（mm）范围内的概率．【解析】（1）年降水量在［100，200）（mm）范围内可分为［100,150）（mm）和［150,200）（mm）两种情况，所求概率为0.12+0.25=0.37.
（2）同（1），年降水量在［150，300）（mm）范围内的概率为0.25+0.16+0.14=0.55. 对立事件的应用
【技法点拨】
应用对立事件解题的注意点
（1）找准对立事件；
（2）要有应用对立事件的意识：当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果很少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则反”的思想.【典例训练】
1.一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，…,9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是__________.
2.由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
求至少有2人排队的概率是多少?【解析】1.从9张票中任取2张，有
（1，2），（1，3），…，（1，9）；
（2，3），（2，4），…，（2，9）；
（3，4），（3，5），…，（3，9）；…
（7，8），（7，9），（8，9），共计36种取法.记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2，4，6，8的四张票中任取2张有（2，4），（2，6），（2，8），（4，6），（4，8），（6，8）共6种取法.
由对立事件的性质得P（B）=1-P（C）
答案：2.“至少有2人排队”包含“2人，3人，4人，5人以上”四种情况，较复杂，而对立事件只包含“0人，1人”两种情况，所以可以利用对立事件得所求概率为1-（0.1+0.16）=0.74.【思考】题1中如何列举所有取法？
提示：应该按照一定的顺序来列举：从1开始，依次向后取，取完后，再从2开始向后取，这样就可以不重不漏.【变式训练】某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
（A）0.40 （B）0.30 （C）0.60 （D）0.90
【解析】选A.依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40. 事件的运算
【技法点拨】
1.事件间运算的类型2.事件间运算方法
（1）利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
（2）利用韦恩图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.【典例训练】
1.同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3,4,…，11,12中的一个，记事件A为“点数之和是2,4，7或12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为（ ）
（A）A∩B （B）A∩B∩C
（C） （D）2.在某大学数学系图书室中任选一本书.设A=｛数学书｝；B=｛中文版的书｝；C=｛2010年后出版的书｝.问：
（1） 表示什么事件？
（2）在什么条件下有A∩B∩C=A?
（3） 表示什么意思？
（4）若 是否意味着图书室中数学书都不是中文版的？【解析】1.选C.事件A∩B为“点数之和是2,4或12”，而事件C
为“点数之和大于8”，所以事件“点数之和为2或4”可记为
2.（1） ={2010年或2010年前出版的中文版的数学书}.
（2）在“图书室中所有的数学书都是2010年后出版的且为中
文版”的条件下才有A∩B∩C=A.（3） 表示2010年或2010年前出版的书全是中文版的.
（4）是. 意味着图书室中非数学书都是中文版的，而且
所有的中文版的书都不是数学书.同时 又可等价成
因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，
而且所有外文版的书都是数学书. 【规范解答】 概率加法公式及对立事件的应用
【典例】（12分）（2012·沈阳高一检测）某校射击队的队员经过训练，某队员射击一次，命中7环～10环的概率如下表所示：
求该射击队员射击一次
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；
（3）命中不足8环的概率．【解题指导】【规范解答】记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥①． ………………………3分
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生②，由互斥事件的概率加法公式得
P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0.32＋0.28＝0.60.
………………………………………………………………6分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．
由互斥事件的概率加法公式得
P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）
＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. ………………………9分
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射
击一次，至少命中8环”的对立事件③，即 表示事件“射击
一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得
1－P（B）＝1－0.78＝0.22. ………………………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】（12分）某省是高中新课程改革试验省份之一，
按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及格才能毕
业，不及格的可进行补考.某校有50名同学参加物理、化学、
生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为 只补考
化学的概率为 只补考生物的概率为 随机选出一名同
学，求他不止补考一门的概率． 【解题设问】（1）事件“只补考物理，只补考化学，只补
考生物”间的关系是什么？_____.
（2）事件“不止补考一门”包含的情况是什么？_______________.
（3）如何联系已知事件与待求事件？_____________.互斥补考两门或三门利用对立事件【规范答题】设“不止补考一门”为事件E，“只补考一门”为事件F，…………………………………………………2分
“只补考物理”为事件A，则 “只补考化学”
为事件B，则 “只补考生物”为事件C，则
P（C） 这三个事件为互斥事件，…………………5分
所以P（F）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
………………………………………………8分又因为事件E和事件F互为对立事件．
所以P（E）＝1－P（F）＝1－0.6＝0.4…………………10分
即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4.
………………………………………………………………12分1.把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是（ ）
（A）对立事件 （B）不可能事件
（C）互斥但不对立事件 （D）以上答案均不对
【解析】选C.根据互斥事件和对立事件的定义，由题设易知两事件互斥但不对立．2.设A,B为两个事件，且P（A）=0.3，则当______时一定有
P（B）=0.7（ ）
（A）A与B互斥 （B）A与B对立
（C）A?B （D）A不包含B
【解析】选B.∵P（A）+P（B）=1，∴当A与B对立时，结论成立.3.一个人连续射击2次，则下列各事件中，与事件“恰中一次”互斥但不对立的事件是（ ）
（A）至多射中一次 （B）至少射中一次
（C）第一次射中 （D）两次都不中
【解析】选D.记射中为1，不中为0，用（x，y）表示第一次射击结果为x，第二次射击结果为y，则所有可能结果有：（1,0），（1,1），（0,1），（0,0），恰中一次包括（1,0）和（0,1）．当（1,0）发生时，A，B，C都发生了，故选D.4.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是_______.
【解析】P＝0.3＋0.5＝0.8.
答案：0.85.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，求抽验一件是正品（甲级品）的概率.
【解析】∵由题意知本产品包含正品和次品两种情况，“一件产品是正品”和“一件产品是次品”，这两个事件是对立事件，产品是次品的概率为0.05+0.03=0.08，∴产品是正品的概率是1-0.08=0.92.课件55张PPT。3.2.1 古典概型1.了解基本事件的特点.
2.理解古典概型的定义.
3.会用古典概型的概率公式解决简单的古典概型问题. 1.本节课的重点是利用古典概型的概率公式解决古典概型问题.
2.本节课的难点是理解古典概型的相关概念.1.基本事件及古典概型的概念互 斥的 有限个基本事件的和相等2.古典概型的概率公式
对于古典概型，任何事件A的概率为
P(A)=_______________________.1.在区间［0,1］上任取一个实数的试验，是不是古典概型？
提示：不是.因为在区间［0,1］上任取一个实数的试验结果有无限个，不符合古典概型的定义.
2.若一个古典概型的基本事件数为n，那么每一个基本事件出现的概率是多少？
提示： 古典概型的基本事件出现的可能性相等，故均为 3.一副扑克牌共54张，小明从中摸出一张，摸到大王的概率
是______.
【解析】从54张牌中摸出一张，每一张牌被摸到的可能性相
等，故摸到大王的概率是
答案：
4.投掷一枚骰子，恰好数字6正面向上的概率是_______.
【解析】由于骰子每一个面向上的可能性相等，故数字6正
面向上的概率是
答案：1.对基本事件的三点认识
（1）基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他的事件可以用基本事件表示.
（2）所有的基本事件都是有限个.
（3）每一个基本事件的发生都是等可能的.2.古典概型的判断方法
（1）有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型.
（2）等可能性：其次考察基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型.
只有同时具备了上述两个特征，试验才是古典概型. 基本事件的计数问题
【技法点拨】
基本事件的两个探求方法
（1）列表法： 将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法（关键词：基本事件的总数）.（2）树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段.树状图法适合于较复杂的试验的题目（关键词：结构关系）.【典例训练】
1.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，所有的基本事件数是_______.
2.口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求出这个试验的基本事件个数.【解析】1.所有的基本事件有（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白），共8个.
答案：8
2.把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1，2，把两黑球也编上序号1，2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如下：白1白2黑1黑2黑2黑1黑1黑2白2白2白2白2黑2黑2黑1黑1甲乙丙丁从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.【互动探究】题2中，试写出第2个人摸到白球的所有基本事件.
【解析】由题2的解析可知，第2个人摸到白球的基本事件有12个.【归纳】写试验的所有基本事件的关键点和易错点.
写试验的基本事件的关键点是恰当地利用树状图、表格按照一定顺序书写；易错点是容易弄乱顺序而遗漏某种情况.【变式训练】从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,试写所有的基本事件.
【解析】设从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,组成实数对（a,b）,有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,共15种. 利用古典概型的概率公式求概率
【技法点拨】
使用古典概型的概率公式的两个关键点
（1）审读题干:对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键（关键词：不重不漏）.（2）编号:分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧（关键词：简单的数字和字母）.【典例训练】
1.（2011·江苏高考）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_______.
2.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．（1）请再写出2个可看成轴对称图形的汉字；
（2）小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明．【解析】1.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有
可能的取法有6种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所
有可能的结果有（1,2）,（2,4）共2种取法,所以其中一个数
是另一个的两倍的概率是
答案：2.（1）如田、日等；
（2）这个游戏对小慧有利．
每次游戏时，所有可能出现的结果如下（列表）：共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上
下结构的汉字的结果有4种：（土，土）“圭”，（口，口）
“吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆”或
“杏”．所以小敏获胜的概率为 小慧获胜的概率为
所以这个游戏对小慧有利.【思考】解决题2的思维误区是什么？
提示：对谁有利实质是谁获胜的概率大，要从概率的角度解释实际的问题，解决实际问题，这样的转化在解题中起着重要的作用.【变式训练】（2012·江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_______．
【解析】这10个数是1,-3，（-3）2,（-3）3,（-3）4,
（-3）5,（-3）6,（-3）7,（-3）8,（-3）9,所以它小于
8的概率等于
答案： 求较复杂的古典概型的概率
【技法点拨】
较复杂的古典概型问题常涉及的两个方面
（1）综合知识点：在古典概型中往往结合其他章节的知识点综合命题，如向量、几何、抽样等知识.因此知识点的转化是解题的关键，最终要转化成利用古典概型知识解题.（2）利用事件关系：若所求的事件是包含了两个或多个互斥的子事件，则要分别求出各个子事件的概率，再利用互斥事件概率的加法公式求所求事件的概率；若所求事件直接求情况比较多，则可以先求其对立事件的概率.【典例训练】
1.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现
的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m=（a,b）,n=
（1,-2），则向量m与向量n垂直的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D） 2.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，先依次有放回地随机摸取三次，每次摸取一个球.
（1）试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
（2）若摸到红球得2分,摸到黑球得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率;
（3）求3次摸球中,至少2次摸到红球的概率.【解析】1.选B.m·n=0?a=2b，所以有（2，1），（4，2），
（6，3）三种情况，故概率为
2.（1）一共有8种不同的结果,列举如下:
（红、红、红）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、
（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、
（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）.（2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A，事件A包含的基
本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、
红）,事件A包含的基本事件数为3.
由（1）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为
P（A）（3）记“至少2次摸到红球”为事件B，则事件B包含的基本
事件为（红、红、红）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、
（黑、红、红）,故【思考】解答本题2的关键点是什么?
提示：解答本题2的关键点是理解“有放回”的含义，准确地列出所有的基本事件.【变式训练】现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．求C1被选中的概率．
【解题指南】可按照一定顺序来列举,防止出现遗漏情况.【解析】从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件Ω={（A1,B1,C1）,（A1,B1,C2）,（A1,B2,C1）,（A1,B2,C2）,（A2,B1,C1）,（A2,B1,C2）,（A2,B2,C1）,（A2,B2,C2）,（A3,B1,C1）,（A3,B1,C2）,（A3,B2,C1）,（A3,B2,C2）}，
由12个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则
M={（A1,B1,C1），（A1,B2,C1），（A2,B1,C1），（A2,B2,C1），（A3,B1,C1），（A3,B2,C1）}，
事件M由6个基本事件组成，因而【规范解答】古典概型的综合应用
【典例】（12分）（2011·四川高考）编号分别为A1，A2，
…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
（2）从得分在区间［20，30）内的运动员中随机抽取2人,
（i）用运动员编号列出所有可能的抽取结果;
（ii）求这2人得分之和大于50的概率.【解题指导】【规范解答】（1）4,6,6①………………………………2分
（2）（i）得分在区间［20，30）内的运动员编号为A3，A4，
A5，A10，A11，A13②，从中随机抽取2人, ………………4分
所有可能的抽取结果有:
（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，
A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），
（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），
（A10，A13），（A11，A13），共15种③. ………………8分（ii）“从得分在区间［20，30）内的运动员中随机抽取2
人,这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有:
（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，
A11）,共5种③. ……………………………10分
所以 ……………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】（2012·天津高考）（12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率.【解题设问】
（1）分层抽样的抽取比例是多少？___.
（2）计算所求的概率的步骤是什么？
____________________________________________________，_____________.先求总的基本事件数，再求2所学校均为小学的基本事件数最后计算概率【规范答题】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
（2）①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1，A2,A3，
2所中学分别记为A4,A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的
所有可能结果为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），
（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），
（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），
（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），
共15种.……………………………………………………8分②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所
有可能结果为（A1，A2）,（A1，A3）,（A2，A3）,共3种.………………………………………………………10分
所以 …………………………………12分1.掷一枚骰子,则掷得奇数点的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选B.掷一枚骰子可能出现奇数点,也可能出现偶数点,
故概率为2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选C.从4张卡片中随机取2张共有6种取法，取得2张
卡片上数字之和为奇数，即（1,2），（1,4），（3,2），（3,4），4种，故其概率为 故选C.3.三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_______.
【解析】三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE共3种，则恰
好排成英文单词BEE的概率为
答案：4.甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的
概率是_____.
【解析】甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，
甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间
房的概率为
答案：5.从-3，-2，-1，0，5，6，7这七个数中任取两个数相乘得
到的积中，求：（1）积为零的概率；（2）积为负数的概率.
【解析】从七个数中任取两个数相乘，共有 个基本
事件.
（1）从七个数中任取两个数相乘，积为零时，共有6个基本
事件，因此，积为零的概率为
（2）从七个数中任取两个数相乘，积为负数时，共有3×3=
9个基本事件，因此，积为负数的概率为课件61张PPT。3.2.2 （整数值）随机数
（random numbers）的产生1.了解随机数的意义.
2.会用模拟方法（包括计算器产生随机数进行模拟）估计概率.
3.理解用模拟方法估计概率的实质. 1.本节课的重点是用随机数估计概率.
2.本节课的难点是了解随机数的意义及理解用模拟方法估计概率的实质.1.随机数的产生
（1）标号：把n个___________相同的小球分别标上
1,2,3,…,n；
（2）搅拌：放入一个袋中，把它们_________；
（3）摸取：从中摸出_____.
这个球上的数就称为从1 n之间的随机整数，简称随机数.充分搅拌一个大小，形状2.伪随机数的产生
（1）规则：依照确定算法；
（2）特点：具有周期性（周期很长）；
（3）性质：它们具有类似_______的性质；
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数,我们称
为_________.随机数伪随机数3.利用计算器产生随机数的操作方法
用计算器的随机函数RANDI（a,b）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（a,b）可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.
例如,用计算器产生1到25之间的取整数值的随机数,方法如下:4.利用计算机产生随机数的操作程序
每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：
（1）选定A1格，键入“=RANDBETWEEN（0,1）”,按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1.
（2）选定A1格，按Ctrl+C快捷键，然后选定要随机产生0，1的格，比如A2至A100，按Ctrl+V快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验.（3）选定C1格，键入频数函数“=
FREQUENCY（A1∶A100,0.5）”,按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数.
（4）选定D1格，键入“=1-C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率.1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于什么？
提示：准确程度决定于产生的随机数的个数.
2.用计算机模拟试验来代替大量的重复试验有什么优点?
提示：用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法真正进行.因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法,它可以在短时间内多次重复地来做试验,不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.3.一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，给出下列步骤：
①统计甲的编号出现的个数m；
②将6名同学编号1，2，3，4，5，6；
③利用计算机或计算器产生1到6之间的整数随机数，统计个数为n；④则甲被选中的概率近似为
其正确步骤顺序为________（写出序号）.
【解析】正确步骤顺序为②③①④.
答案：②③①④ 应用模拟试验估计概率的突破方法
用整数随机数模拟试验估计概率时，要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑：
（1）当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数字代表一个基本事件.（2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
（3）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复. 随机数的产生方法
【技法点拨】
1.随机数产生的方法及比较 2.产生随机数需要注意的两个问题
（1）利用抽签法时,所设计的试验要切实保证任何一个数被抽到的可能性是相等的,这是试验成功的基础（关键词：等可能）.
（2）利用计算器或计算机产生随机数时,由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同,故需特别注意操作步骤与顺序的正确性,具体操作需严格参照其说明书（关键词：步骤与顺序）.【典例训练】
1.用随机模拟的方法估计概率时,其准确程度决定于（ ）
（A）产生的随机数的大小
（B）产生的随机数的个数
（C）随机数对应的结果
（D）产生随机数的方法
2.用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，产生计算机统计这100次试验中“出现正面朝上”随机数.【解析】1.选B.用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高，故选B.
2.利用计算机统计频数和频率，用Excel演示.
（1） 选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY（A1：A100，0.5）”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数；
（2）选定D1格，键入“＝1-C1／100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率．【思考】用计算机或计算器产生随机数时的注意点是什么？
提示：利用计算机或计算器产生随机数时一是要按照操作程序和步骤进行，否则产生的随机数不具有随机性，从而影响估计概率值的准确性.【变式训练】某校高一年级共20个班,1 200名学生,期中考试时如何把学生分配到40个考场上去?
【解析】要把1 200人分到40个考场,每个考场30人,可用计算机完成.
（1）按班级、学号顺序把学生档案输入计算机.
（2）用随机函数按顺序给每个学生一个随机数（每人都不相同）.
（3）使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列,可得到
1 200名学生的考试号0001,0002,…,1200,然后0001～0030为第一考场,0031～0060为第二考场,依次类推. 用随机模拟法估计概率
【技法点拨】
1.随机模拟估计概率的三个步骤
（1）建立模拟概型;
（2）进行模拟试验,可用计算机或计算器进行;
（3）统计试验结果.
2.应用随机模拟法估计概率的试验设计
（1）应用条件 对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题我们都可采用随机模拟方法；（2）试验设计 根据具体题目的含义,设计产生随机数的个
数,并赋予这些随机数相应的含义.然后应用抽签法或用计算
器、计算机产生随机数,数出所有随机数中代表所求概率的事
件的随机数的个数m,m 与所有随机数n 的比值 就是所求
概率的近似值；
（3）试验局限 用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的.【典例训练】
1.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
（A）0.35 （B）0.25 （C）0.20 （D）0.152.通过模拟试验,产生了20组随机数:
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标,问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________.3.种植某种树苗，成活率为0.9，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生30组随机数：69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为__________,【解析】1.选B.由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟
产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有
两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，
∴所求概率为 故选B．
2.因为表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,
共5个数,随机总数为20个,因此所求的概率为
答案：3.由题意知模拟5次种植的结果，经随机模拟产生了30组随机
数，在30组随机数中表示种植5棵恰好4棵成活的有：69801，
66097，74130，27120，61017，92201，70362，30334，
01117,共9组随机数，∴所求概率为
答案：0.30【互动探究】在题3中,若树苗成活的概率是0.8,则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少?
【解析】利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0和1代表不成活,2到9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵,所以每5 个随机数作为一组.例如，产生20 组随机数： 23065 37052 89021 34435 77321 33674
01456 12346 22789 02458 99274 22654
18435 90378 39202 17437 63021 67310
20165 12328
这就相当于做了20次试验,在这些数组中,如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活,共有15组,于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20=75%.【思考】解答此类题目的难点是什么？
提示：解答此类题目的难点是试验设计，即怎样用随机数表示概率问题.【变式训练】假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35，据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（ ）
（A）0.50 （B）0.45 （C）0.40 （D）0.35 【解析】选A.由题意知模拟两次投掷飞镖的结果，经随机模
拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示两次投掷飞镖恰
有一次命中的有：93 28 45 25 73 93 02 48 30 35，共10
组随机数，∴所求概率为 用随机模拟法估计较复杂事件的概率
【技法点拨】
较复杂模拟试验的设计及产生随机数的方法
（1）解决此类问题的第一个关键是设计试验.首先需要全面理解题意，在理解题意的基础上，根据题目的本身特点来设计试验，应把设计试验的重点放在确定哪个或哪些数字代表哪些试验结果上，并确保符合题意与题目要求（关键词：试验结果）.（2）在试验方案正确的前提下，要使模拟试验所得的估计概率值与实际概率值更接近，则需使试验次数尽可能的多，随机数的产生更切合实际（关键词：试验次数尽可能多）.（3）用计算器或计算机产生随机数的方法有两种：
①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；
②利用计算机软件产生随机数，例如用Excel软件产生随机数.
对上述两种方法，我们需严格按照其操作步骤与顺序来进行.【典例训练】
1.甲、乙两个棋手下棋，甲获胜的概率是 二人和棋的概
率是 乙获胜的概率是 若甲乙两人连下三局，则甲连
胜三局的概率大约是________.
2.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.【解题指南】（1）设计试验时，要产生0～5的随机数，把不同的试验结果用不同的数字来表示，即可估算其概率.
（2）可设计1～7取整数值的随机数，通过随机数来估计概率.【解析】1.利用计算器或计算机可以产生0到5之间取整数值的
随机数，我们用0，1和2代表棋手甲获胜，3和4代表二人和
棋，5代表棋手乙获胜，这样可以体现甲获胜的概率是
二人和棋的概率是 乙获胜的概率是 因为是连下三
局，所以每3个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：239 345 347 489 349 217 032
123 034 348 365 652 113 887
391 037 329 654 071 981 053
218 229 219 037 376这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果数组中的三
个数都是0，1或2，则甲连胜三局，共有4组，于是我们得到
甲连胜三局的概率近似为
答案：0.132.用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组.例如，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 622就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，第
三个数字恰好是7，就表示第一次，第二次摸的是白球，第三
次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此恰好第三
次摸到红球的概率约为【易错误区】随机模拟的易错点
【典例】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907 966
191 925
271 932
812 458
569 683
631 257
393 027
556 488
730 113
137 989则这三天中恰有两天下雨的概率约为（ ）
（A） （B） （C） （D）【解题指导】【解析】选B.由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随
机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两
天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7组随
机数，∴所求概率为 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下： 【即时训练】已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
（A） 0.85 （B） 0.819 2 （C）0.8 （D）0.75【解析】选D.该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事
件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含
有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为 选D.1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率
为（ ）
（A） （B） （C） （D）1
【解析】选C.从三人中任选两名代表有三种选法，其中含有
甲的有两种，故甲被选中的概率是2.在两个袋子中,分别装着写有1,2,3,4四个数字的4张卡片,从每个袋中任取一张卡片,则两数之和等于4的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选B.所有的基本事件共有16个:（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,其中两数之和等于4的事件有3个,所以两
数之和等于4的概率为3.一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两
刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红
色的概率是_________.
【解析】恰有一个面涂有红色在每一个侧面上只有一个，共有
6个，故所求概率为
答案：4.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________.
【解析】从5个数中任取两个，共有10种取法，两个数相差1
的有1，2;2，3;3，4;4，5四种，故所求概率为
答案：5.小明与同学都想知道每6个人中有2个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟试验来估计6个人中恰有2个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗?【解析】用12个完全相同的小球分别编上号码1～12，代表12个生肖，放入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次试验，重复上述试验过程多次，统计恰出现2个相同号码的试验次数除以总的试验次数，得到试验频率，可估计每6个人中有2个人生肖相同的概率等于该频率． 课件51张PPT。3.3.1 几何概型 1.理解几何概型的定义及其特点.
2.会用几何概型的概率公式求几何概型的概率.
3.应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过程. 1.本节课的重点是利用几何概型的概率公式求概率.
2.本节课的难点是理解几何概型的定义及其特点． 几何概型
（1）定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或
体积）_______,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何
概型.
（2）特点：
①无限性:试验中所有可能出现的结果（基本事件）有_____个;
②等可能性:每个基本事件出现的可能性_____. 成比例无限相等（3）概率公式：
P（A）=
_________________________________________________.
1.几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？
提示：几何概型的概率只与构成事件的区域的长度（面积或体积）有关，而与构成事件的区域形状无关.2.概率为0的事件是否一定是不可能事件？
提示:不一定．设Ω={（x,y）|x2+y2≤4}，A={（x,y）|x2+y2=4}，Ω为圆域，而A为圆周，向区域Ω内投点，则点落在A上的概率
而点落在圆周上的情况是可能发生
的．故概率为0的事件不一定是不可能事件．3.概率为1的事件是不是一定会发生？
提示:不一定．如题2解析中的例子，设点落在圆的内部为事件B，则 而点落在圆的内部不一定发生，点也可能落在圆周上． 4.为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是_______.
【解析】本题中向正方形内随机投掷800个点，相当于800个点均匀分布在正方形内，而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面积
答案：9 古典概型与几何概型的区别与联系
与长度有关的几何概型问题
【技法点拨】
1.与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概
率的计算公式为:
2.与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤
（1）找到几何区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D的长度；
（2）找到事件A发生时对应的区域d,确定d的边界点是问题的关键；
（3）利用几何概型概率公式求概率． 【典例训练】
1.在区间[-1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.已知直线y=x+b的横截距在[-2，3]内，则直线在y轴上的截
距b大于1的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）【解析】1.选D.由|x|≤1得-1≤x≤1，所以|x|≤1的概率为
故选D.
2.选A．所有的基本事件构成的区间长度为 3-（-2）=5，
∵直线在y轴上的截距b大于1，
∴直线横截距小于-1，
∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为-1-（-2）=1，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为 故选A．
【归纳】解答本题1，2需注意的问题.
解答本题1注意准确求解不等式|x|≤1；
解答本题2注意理解截距的意义. 【变式训练】（2012·内蒙古高一检测）已知函数f（x）=x2-x-2,x∈［-5,5］,那么满足f（x0）≤0,x0∈［-5,5］的x0取值的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选A.由f（x0）≤0,即x02-x0-2≤0,解得-1≤x0≤2, ∴x0取值的概率为 与面积有关的几何概型问题
【技法点拨】
1.与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示,则其
概率的计算公式为:
2.解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
（1）根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
（2）找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的
几何特征计算相关面积；
（3）套用公式，从而求得随机事件的概率.【典例训练】
1.（2011·福建高考）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）
（A） （B） （C） （D）2.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖.小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ） 【解析】1.选C.这是一几何概型,所求概率为
故选C.
2.选A.各选项中奖的概率依次为 故选A. 【互动探究】题2中,条件不变,若小明有一次去掉一个最小中奖机会的游戏盘的机会,则应选择哪一个?
【解析】选B.由图象可得各选项中奖概率中B最小为 故选B. 【总结】试总结求不规则图形面积的步骤．
首先将不规则图形放入一个规则图形中，再向规则图形中投点，并求出落入不规则图形的点的个数，再用落入不规则图形的点的个数除以所投点的总数，即点落入不规则图形的概率，最后用概率值乘以规则图形的面积即为不规则图形的面积．【变式训练】如图，边长为2a的正方形及其内切圆.随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为________. 【解题指南】求解本题需计算阴影部分的面积及总面积,而阴影部分的面积可由正方形与圆的面积的差来求.
【解析】易知豆子落在阴影部分的概率可用面积的比来度量.即
答案： 与体积有关的几何概型问题
【技法点拨】
1.解与体积有关的几何概型的概率公式
如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基本事件所占的体积及事件A所占的体积.其概率的计算公式为:
2.解决与体积有关的几何概型的关键点
解决此类问题的关键是注意几何概型的条件,分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关,不要将二者混淆（关键词：分清类型）. 【典例训练】
1.在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.已知正方体 内有一个内切球O，则在正方体
内任取点M，点M在球O内的概率是_______.【解析】1.选D．
解题流程 2.设正方体的棱长为2.
正方体 的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为
则点M在球O内的概率是
答案：【思考】解答题1的难点和题2的关键点是什么？
提示：解答题1的难点是找出正方体的棱长与球的半径之间的关系.解答题2的关键点是求出正方体内切球的体积． 【变式训练】有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.3升的水，则小杯水中含有这个细菌的概率
____________.
【解析】代入计算公式
即
答案：0.15 【规范解答】几何概型与其他知识的综合应用
【典例】（12分）（2011·湖南高考改编）已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.
（1）求圆C的圆心到直线l的距离.
（2）求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率.【解题指导】【规范解答】（1）由点到直线l的距离公式可得
…………………………………………… 4分
（2）由（1）可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1,其方程为4x+3y=15.则符合题意的点应在l1:4x+3y=15与圆相交所得劣弧上，……………………………………………………………6分
由半径为 圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为
……………………………………………………………10分
故所求概率为 ……………………………………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示及解题启示总结如下：（注：此处的①②见规范解答过程）【规范训练】（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.
求AM
（2）本题所求概率与什么因素有关? ___________________. 几何概型与∠ACM的大小有关【规范答题】这是几何概型问题且射线
CM在∠ACB内部………………………2分
在AB上取AC′=AC,则
设A={在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM则所有可能结果的区域角度为90°,事件A的区域角度
为67.5°,……………………………………………………10分
∴ …………………………………………12分1.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）【解析】选B.正方形的面积为4，由 知阴影区域的面积为 故选B.
2.如图，在平面直角坐标系中，射线OT为
60°角的终边，在任意角集合中任取一个
角，则该角终边落在∠xOT内的概率是（ ）
（A） （B）
（C） （D）【解析】选A．如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角， 该角终边落在∠xOT内的概率 故选A．
3.方程x2+x+n=0（n∈（0，1））有实根的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选C.由于方程x2+x+n=0（n∈（0，1））有实根，
∴Δ≥0，即1-4n≥0，∴
又n∈（0，1），∴有实根的概率为 故选C．
4.若a是从区间［0，10］中任取的一个实数，则方程x2-ax+1 =0无实解的概率是______.
【解析】若方程x2-ax+1=0无实解，
则Δ=a2-4＜0，
即（a-2）（a+2）＜0，∴-2＜a＜2，
又a≥0，∴0≤a＜2，其构成的区域长度为2，从区间［0，10］中任取的一个实数a构成的区域长度为10，
则方程x2-ax+1=0无实解的概率是
答案：5.小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中 其游戏规则是：将毽子投入阴影部分为胜，否则为输．求某小朋友投毽子获胜的概率． 【解析】观察图形可看出阴影部分面积占总面积的一半，投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件（记为事件A）的概率为课件56张PPT。3.3.2 均匀随机数的产生 1.能够利用随机模拟试验估计事件的概率；
2.了解把未知量的估计问题转化为随机模拟问题；
3.会根据题目条件合理设计简单的随机模拟试验. 1.本节课的重点是利用随机模拟试验估计事件的概率；
2.本节课的难点是理解随机模拟的思想和设计随机模拟试验. 1.均匀随机数的产生
（1）计算器上产生区间［0,1］上的均匀随机数的函数是_____.
（2）Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为
“__________”. RANDrand（ ）2.用模拟方法近似计算某事件概率的方法
（1）_____模拟法.
制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果,进行近似
计算.
（2）_______模拟法.
用______软件产生[0,1]上的均匀随机数进行模拟,注意操作步骤. 试验计算机Excel1.一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分种，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？
提示:X在区间[a，b]上等可能取任意一个值；X的取值是连续的. 2.计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？
提示:首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换： Y=X*（b-a）＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数. 3.已知b1是［0,1］上的均匀随机数,b=3（b1-3）,则b是区间________上的均匀随机数.
【解析】因为b1-3是［-3,-2］上的均匀随机数,所以b是区间［-9,-6］上的均匀随机数.
答案：［-9,-6］ 应用模拟试验近似计算概率的方法的要点分析
用均匀随机数模拟试验时，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下三个方面考虑：
（1）由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数，如长度型、角度型只用一组，面积型需要两组.
（2）由所有基本事件总体对应的区域确定产生随机数的范围.
（3）由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式，求事件A的概率. 用随机模拟方法估计长度型几何概型
【技法点拨】
用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的四个步骤
（1）利用计算器或计算机产生一组［0，1］上的均匀随机数a1=RAND；
（2）经过伸缩变换y=（b-a）x+a，得到一组［a,b］上的均匀随机数；（3）统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1；
（4）计算频率 即为所求概率的近似值. 【典例训练】
1.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过
大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在 附近，那么
点A和点C到直线BD的距离之比约为_______. 2.取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
【解析】1.设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2,
点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2,
根据题意：
又
答案：2.设剪得两段的长都不小于2 m为事件A.
方法一：（1）利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND;
（2）作伸缩变换：y＝x*（5－0），转化为[0,5]上的均匀随机数; （3）统计出[2,3]内均匀随机数的个数m;
（4）则概率P（A）的近似值为
方法二：（1）做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0,5]（这里5和0重合）;
（2）固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3]内（表示剪断绳子位置在[2,3]范围内）的次数m及试验总次数n;
（3）则概率P（A）的近似值为
【互动探究】若将题2改为“取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，利用随机模拟法求剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？”
【解析】（1）利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND.
（2）经过伸缩变换，a＝a1*3.
（3）统计出[1,2]内均匀随机数的个数N1和[0,3]内均匀随机数的个数N.
（4）计算频率 即为概率P（A）的近似值. 【思考】解决题2的难点是什么？
提示：解决题2的难点是如何将实际问题转化为用均匀随机数进行估计的概率问题，即试验设计是此类问题的难点. 用随机模拟方法估计面积型的几何概型
【技法点拨】
用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与
区别
（1）联系:二者模拟试验的方法和步骤基本相同,都需产生随
机数;
（2）区别:长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可,所
求事件的概率为表示事件的长度之比,对面积型几何概型问题,一般需要确定点的位置, 而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的,故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标,从而确定点的位置,所求事件的概率为点的个数比. 【典例训练】
1.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1=RAND，b1=RAND，然后进行平移与伸缩变换a=a1·4-2，b=b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1=0.3，b1=0.8及a1=0.4，b1=0.3，那么本次模拟得出的面积为_______. 2.在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了一个以正方形的中心为圆心的圆，半径为6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：投在圆内的概率是多少？ 【解析】1.由a1=0.3，b1=0.8得:a=-0.8，b=3.2，
（-0.8，3.2）落在y=x2与y=4围成的区域内，
由a1=0.4，b1=0.3得：a=-0.4，b=1.2，（-0.4，1.2）落在y=x2与y=4围成的区域内,
所以本次模拟得出的面积为
答案：10.72 2.解题流程 【思考】解决此类问题的关键是什么？
提示：解决此题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、纵坐标，从而确定点的位置． 【变式训练】解放军某部进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m，2 m，5 m.若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格.若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.
【解题指南】本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置. 【解析】设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”.
（1）利用计算器或计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数，
a1=RAND，b1=RAND.
（2）经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=14b1-7，得到［-8,8］
与［-7,7］上的均匀随机数.
（3）统计满足-8＜a＜8，-7＜b＜7的点（a,b）的个数N.满足
1＜a2+b2＜4的点（a,b）的个数N1.
（4）计算频率 即为所求概率的近似值. 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积
【技法点拨】
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积方法揭秘
（1）用随机模拟试验估计不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.（关键词:构造）（2）解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的近似值.（关键词:分别求几何概率）
（3）对于较复杂的问题通常需要设计一个图形，使其面积与某个常数有关，进而就可以设计一个概率模型，然后设计适当的试验并通过这个试验结果来确定所求面积的近似值.（关键词:设计） 【典例训练】
1.已知如图所示的矩形，其长为12,宽
为5,在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，
数得落在阴影部分的黄豆为150颗，则
可以估计出阴影部分的面积约为______. 2.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分（曲线y＝9－x2与x轴和y＝x围成的图形）的面积． 【解析】1.
∴
答案：92.设事件A为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
（1）利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数，
x1＝RAND，y1＝RAND；
（2）经过伸缩平移变换，x＝6（x1－0.5），y＝9y1；
（3）统计出试验总次数N和满足条件y<9-x2及y>x的点（x,y）
的个数N1;
（4）计算频率 即为概率P（A）的近似值.
设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6＝54.由几何概型
的概率公式得P（A）＝
所以，阴影部分面积的近似值为：【归纳】 解决此类问题应特别注意哪几点?
提示:应特别注意两点:一是选取适当的对应图形,二是由几何概型的概率公式正确地计算概率.【变式训练】利用随机模拟方法计算图中阴影部分（y=x3和x=2以及x轴所围成的部分）的面积.
【解题指南】解答本题可先计算与之相对应的规则图形的面积，然后利用随机模拟的方法求出几何概率，并对阴影部分的面积进行估算. 【解析】在坐标系中画出矩形（x=0，x=2，y=0，y=8所围成的图形），利用面积比与概率、频率的关系进行求解.
（1）利用计算器或计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND；
（2）经过伸缩变换，a=2a1，b=8b1；
（3）统计出试验总次数N和落在阴影部分（满足b＜a3）点（a,b）的个数N1； （4）计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值；
（5）设阴影部分的面积为S.由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为 所以 所以 即为阴影部分面积的近似值. 【规范解答】用随机模拟的方法解决应用问题的思路
【典例】（12分）在正方形中随机撒一把豆子，通过考察落在其内切圆内黄豆的数目，用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值. （1）用两个均匀随机数x，y构成的一个点的坐标（x，y）代替一颗豆子，请写出随机模拟法的方案；
（2）以下程序框图用以实现该模拟过程，请将它补充完整．（注：rand是计算机在Excel中产生[0，1］区间上的均匀随机数的函数）
【解题指导】
【规范解答】（1）具体方案如下:
①利用计算机产生两组区间[0，1]上的均匀随机数，x=RAND，y=RAND.………………………………………………………2分
②统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1（满足条件x2+y2≤1①的点（x，y）的个数）.……………………………4分
③计算频率 即为点落在圆内的概率的近似值.
…………………………………………………………………6分
④设圆的面积为S，由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为∴ 即为圆的面积的近似值．………………………8分
又
即为圆周率π的近似值．……………………………………9分
（2）由题意,得
第一个判断框中应填x2+y2≤1?①,…………………………10分
其下的处理框中应填m=m+1,
退出循环体后的处理框中应填 ………………………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②见规范解答过程） 【规范训练】（12分）利用随机模拟方法计算下图中阴影部分的面积（曲线为 ）.
【解题设问】解答本题的依据是什么?_____________________
___________.
【规范答题】（1）利用计算机（或器）产生两组0至1间的均
匀随机数,a1=RAND,b1=RAND……………………………………3分
（2）进行平移和伸缩变换,a=（a1-0.5）*4,b=（b1-0.5）
*2………………………………………………………………6分
数出落在阴影内的样本点数N1（即满足 的点（a,b）用均匀随机数估计几何概型的概率的个数）, 用几何概型计算阴影部分的面积，如做500次试验,即N=500,模拟得到N1=387,
…………………………………………………………………10分
所以 ……………………………12分
1.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决（ ）
（A）只能求几何概型的概率,不能解决其他问题
（B）不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积
（C）不但能估计几何概型的概率 ,还能估计图形的面积
（D）最适合估计古典概型的概率
【解析】选C.均匀随机数进行模拟试验的应用很多，可以处理如概率、面积、长度、体积等问题，故选C. 2.在线段AB上任取三个点x1,x2,x3，则x2位于x1与x3之间的概率
是（ ）
（A） （B） （C） （D）1
【解析】选B.因为x1,x2,x3是线段AB上任意的三个点,任何一个
数在中间的概率相等且都是3.设b1是[0,1]上的均匀随机数,b=（b1-0.5）×6,则b是区间_____上的均匀随机数.
【解析】设b为区间[m,n]内的随机数,则b=b1（n-m）+m,而b=（b1-0.5）*6.
答案：[-3,3]4.向面积为S的△ABC内任投一点P ,则△PBC的面积小于
的概率是______.
【解析】如图，过BC边上的高的中点
作DE∥BC,交AB于D ,交AC于E,则P点
应落在梯形DECB内,又
所以 所以△PBC的
面积小于 的概率是
答案：5.利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数，具体如何操作？
【解析】（1）在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；
（2）选定B1格，键入“＝A1*4+2”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[2，6]上的均匀随机数;
（3）选定B1格，拖动至B100，则在B1～B100的数都是[2，6]上的均匀随机数.