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单元质量评估（三）
第三章
（120分钟 150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（ ）
①恰有一件次品和恰有两件次品；
②至少有一件次品和全是次品；
③至少有一件正品和至少有一件次品；
④至少有一件次品和全是正品.
（A）①② （B）①④ （C）③④ （D）①③
2.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率为（ ）
（A）0.005 （B）0.004 （C）0.001 （D）0.002
3.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3，则（ ）
（A）P1=P2
（C）P14.（2012·德州高一检测）抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（ ）
（A）至多两件次品 （B）至多一件次品
（C）至多两件正品 （D）至少两件正品
5.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
（A）对立事件 （B）互斥但不对立事件
（C）不可能事件 （D）必然事件
6.（易错题）分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，两数之积为完全平方数的概率是（ ）
7.小莉与小明一起用A,B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为（ ）
8.（2012·银川高一检测）甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是（ ）
9.从标有1，2，3，4的卡片中先后抽出两张卡片，则号码4“在第一次被抽到的概率”、“在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
10.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为（ ）
11.如图，大正方形靶盘的边长为，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影区域．较短的直角边长为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
12.（易错题）如图，圆C内切于扇形AOB，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）
13.如图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_________.
14.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=__________（结果用最简分数表示）.
15.（2011·江西高考）小波用做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_________.
16.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的均匀随机数，a=rand（ ），b=rand （ ）；②做变换，令x=2a，y=2b；③产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，N1=332，则据此可估计S的值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
18.（12分）投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.
（1）求点P落在区域C:x2+y2≤10上的概率；
（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.
19.（12分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲胜，否则算乙胜.
（1）求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由.
20.（12分）（能力题）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率.
21.（12分）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r22.（12分）（能力题）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
答案解析
1.【解析】选B.∵从一批产品中任取两件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于两件，∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，∴①④是互斥事件，故选B．
2.【解析】选A.由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即
3.【解题指南】我们列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个数，再分别求出点数之和是12,11,10的基本事件个数，进而求出点数之和是12,11,10的概率P1,P2,P3，即可得到它们的大小关系．
【解析】选B.先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共36种，其中点数之和是12的有1种，故；点数之和是11的有2种，故；点数之和是10的有3种，故，故P1＜P2＜P3，故选B.
4.【解析】选B.事件A的对立事件是至多一件次品，故选B.
5.【解析】选B.根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
6.【解析】选A.从1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张共有36种取法，其中两数之积为完全平方数的有1×9,4×9,1×4,2×8共4个，故所求概率为.
7.【解析】选C.根据题意，两人各掷骰子一次，每人都有六种可能性，则（x，y）的情况有6×6=36（种），即P点有36种可能，而y=-x2+4x=-（x-2）2+4，即（x-2）2+y=4，易得在抛物线上的点有（2，4），（1，3），（3，3）共3个，因此满足条件的概率为．
8.【解析】选C.甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为.
9.【解析】选C.第一次抽，每张卡片被抽到的概率相同，
∴号码4在第一次被抽到的概率为；号码4在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为；号码4在整个抽样过程中被抽到的概率为.
10.【解析】选D.由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形，若设大正方形的边长是3，则大正方形的面积是9，满足条件的事件是三个小正方形，面积和是3，∴落在图中阴影部分中的概率是．
11.【解析】选C.根据题意，图中四个全等的直角三角形直角边分别是3和2，则阴影区域的正方形的边长为1，面积为1；大正方形的边长为，面积为13，故飞镖落在阴影区域的概率为.
12.【解析】选C.设圆O的半径为1，圆C的半径为r,如图所示，∠COB=,
∴OC=2r,∴2r+r=1,∴r=,∴S圆C=.
又
∴所求概率，故选C.
13.【解析】由题图可知，小正方形的面积为大正方形面积的，故所求的概率为.
答案：
14.【解析】考查互斥事件概率公式.
答案：
15.【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率.
【解析】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B，“不在家看书”为事件C.
∴
答案：
16.【解题指南】先由计算器做模拟试验结果估计满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积求解．
【解析】根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是，矩形的面积为4，则有，∴S=1.328.
答案：1.328
17.【解析】如图，在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜AC′）=
18.【解析】（1）点P的坐标有：（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4）共9种，其中落在区域C：x2+y2≤10上的点P的坐标有（0，0），（0，2），（2，0），（2，2）共4种，
故点P落在区域C:x2+y2≤10上的概率为
（2）区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.
19.【解析】（1）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个.
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，所以．
（2）这种游戏规则不公平．
设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率，从而乙胜的概率，由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平．
20.【解题指南】首先将所有情况一一列举出来，共有10种情况，结合题意可得此人被评为优秀及被评为良好及以上的概率.
【解析】将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
（1）.
（2）.
21.【解析】记事件A：“硬币不与任一条平行线相
碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最
近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图，这样线段
OM长度（记作|OM|）的取值范围是［0，a］，只有
当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，所以
22.【解题指南】（1）由等级系数为4和5的件数可求得频率b,c的值，再由频率和为1求得a的值;
（2）此问属于求古典概型的概率问题，用列举法可求.
【解析】（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1，
从而a=0.35-b-c=0.1，
所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.
（2）从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，所有可能情况为：{x1,x2},{x1,x3}，{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1, y2}.
设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个.
又基本事件的总数为10,故所求的概率P（A）==0.4.
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单元质量评估（三）
第三章
（120分钟 150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（ ）
①恰有一件次品和恰有两件次品；
②至少有一件次品和全是次品；
③至少有一件正品和至少有一件次品；
④至少有一件次品和全是正品.
（A）①② （B）①④ （C）③④ （D）①③
2.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率为（ ）
（A）0.005 （B）0.004 （C）0.001 （D）0.002
3.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3，则（ ）
（A）P1=P2（C）P14.（2012·德州高一检测）抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（ ）
（A）至多两件次品 （B）至多一件次品
（C）至多两件正品 （D）至少两件正品
5.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
（A）对立事件 （B）互斥但不对立事件
（C）不可能事件 （D）必然事件
6.（易错题）分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，两数之积为完全平方数的概率是（ ）
7.小莉与小明一起用A,B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为（ ）
8.（2012·银川高一检测）甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是（ ）
9.从标有1，2，3，4的卡片中先后抽出两张卡片，则号码4“在第一次被抽到的概率”、“在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
10.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为（ ）
11.如图，大正方形靶盘的边长为，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影区域．较短的直角边长为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
12.（易错题）如图，圆C内切于扇形AOB，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）
13.如图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_________.
14.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=__________（结果用最简分数表示）.
15.（2011·江西高考）小波用做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_________.
16.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的均匀随机数，a=rand（ ），b=rand （ ）；②做变换，令x=2a，y=2b；③产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，N1=332，则据此可估计S的值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
18.（12分）投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.
（1）求点P落在区域C:x2+y2≤10上的概率；
（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.
19.（12分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲胜，否则算乙胜.
（1）求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由.
20.（12分）（能力题）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率.
21.（12分）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r22.（12分）（能力题）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
答案解析
1.【解析】选B.∵从一批产品中任取两件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于两件，∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，∴①④是互斥事件，故选B．
2.【解析】选A.由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即
3.【解题指南】我们列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个数，再分别求出点数之和是12,11,10的基本事件个数，进而求出点数之和是12,11,10的概率P1,P2,P3，即可得到它们的大小关系．
【解析】选B.先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共36种，其中点数之和是12的有1种，故；点数之和是11的有2种，故；点数之和是10的有3种，故，故P1＜P2＜P3，故选B.
4.【解析】选B.事件A的对立事件是至多一件次品，故选B.
5.【解析】选B.根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
6.【解析】选A.从1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张共有36种取法，其中两数之积为完全平方数的有1×9,4×9,1×4,2×8共4个，故所求概率为.
7.【解析】选C.根据题意，两人各掷骰子一次，每人都有六种可能性，则（x，y）的情况有6×6=36（种），即P点有36种可能，而y=-x2+4x=-（x-2）2+4，即（x-2）2+y=4，易得在抛物线上的点有（2，4），（1，3），（3，3）共3个，因此满足条件的概率为．
8.【解析】选C.甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为.
9.【解析】选C.第一次抽，每张卡片被抽到的概率相同，
∴号码4在第一次被抽到的概率为；号码4在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为；号码4在整个抽样过程中被抽到的概率为.
10.【解析】选D.由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形，若设大正方形的边长是3，则大正方形的面积是9，满足条件的事件是三个小正方形，面积和是3，∴落在图中阴影部分中的概率是．
11.【解析】选C.根据题意，图中四个全等的直角三角形直角边分别是3和2，则阴影区域的正方形的边长为1，面积为1；大正方形的边长为，面积为13，故飞镖落在阴影区域的概率为.
12.【解析】选C.设圆O的半径为1，圆C的半径为r,如图所示，∠COB=,
∴OC=2r,∴2r+r=1,∴r=,∴S圆C=.
又
∴所求概率，故选C.
13.【解析】由题图可知，小正方形的面积为大正方形面积的，故所求的概率为.
答案：
14.【解析】考查互斥事件概率公式.
答案：
15.【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率.
【解析】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B，“不在家看书”为事件C.
∴
答案：
16.【解题指南】先由计算器做模拟试验结果估计满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积求解．
【解析】根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是，矩形的面积为4，则有，∴S=1.328.
答案：1.328
17.【解析】如图，在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜AC′）=
18.【解析】（1）点P的坐标有：（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4）共9种，其中落在区域C：x2+y2≤10上的点P的坐标有（0，0），（0，2），（2，0），（2，2）共4种，
故点P落在区域C:x2+y2≤10上的概率为
（2）区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.
19.【解析】（1）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个.
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，所以．
（2）这种游戏规则不公平．
设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率，从而乙胜的概率，由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平．
20.【解题指南】首先将所有情况一一列举出来，共有10种情况，结合题意可得此人被评为优秀及被评为良好及以上的概率.
【解析】将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
（1）.
（2）.
21.【解析】记事件A：“硬币不与任一条平行线相
碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最
近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图，这样线段
OM长度（记作|OM|）的取值范围是［0，a］，只有
当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，所以
22.【解题指南】（1）由等级系数为4和5的件数可求得频率b,c的值，再由频率和为1求得a的值;
（2）此问属于求古典概型的概率问题，用列举法可求.
【解析】（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1，
从而a=0.35-b-c=0.1，
所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.
（2）从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，所有可能情况为：{x1,x2},{x1,x3}，{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1, y2}.
设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个.
又基本事件的总数为10,故所求的概率P（A）==0.4.
课件33张PPT。第三章 阶段复习课 互斥事件与对立事件的概念辨析及应用
【技法点拨】
1.互斥事件与对立事件的联系与区别
（1）不可能同时发生的事件称为互斥事件.
（2）对立事件要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是必有一个发生. （3）在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生.
（4）对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.
2.互斥事件与对立事件的概率计算
（1）若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P（A1∪A2∪…An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.
（2）设事件A的对立事件是A,则3.求复杂事件的概率通常有两种方法
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式 求解. 【典例1】1.（2012·洛阳高一检测）一个袋中有10个小球，其中8个红球，2个白球，从中任取3个小球.给出下列几种说法：
（1）事件“至少有1个红球”是必然事件；
（2）事件“恰有1个红球”是随机事件；
（3）事件“至少有1个红球”与事件“恰有1个红球”是互斥事件；（4）事件“至少有1个白球”与事件“全是红球”是对立事件.
其中正确的是（ ）
（A）（1）（2）（3）（4） （B）（1）（2）（4）
（C）（1）（3）（4） （D）（2）（3）（4）2.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．【解析】1.选B.（1）中，∵共有2个白球，取3个球则至少有1个红球，为必然事件；（2）中可能有2个、3个红球，故事件为随机事件；（3）中至少1个红球包含恰有1个红球的情况，不是互斥事件；（4）中两事件互斥且其和事件为必然事件，故是对立事件，故选B. 2.（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，∴取出的球的编号之和不大于4的概率
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有4×4=16种，而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，∴n提示:（1）区别对立事件与互斥事件的关键点：一是不能同时发生，则是互斥事件；二是是否必有一个发生，必有一个发生则是对立事件.
（2）没有区分好是放回抽取还是不放回抽取，易发生此类失误. 与古典概型相关的问题
【技法点拨】
1.古典概型综述
（1）古典概型的基本特征:有限性、等可能性.
（2）古典概型的计算公式 其中n为试验的基本事件
总数,m为事件A包含的基本事件数. 2.古典概型问题的解题方法
（1）采取适当的方法,按照一定的顺序,把试验的所有结果一一列举出来,正确理解基本事件与事件A的关系.应用公式
计算概率.
（2）若所求概率的事件比较复杂,可把它分解成若干个互斥的事件,利用概率的加法公式求解;或利用求其对立事件,利用对立事件的概率求解.（关键词：互斥、对立事件的应用） 【典例2】1.在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 那么袋中球的总个数为（ ）
（A）10 （B）11 （C）12 （D）13
2.在一盒子里装有i号球i个（i=1，2，3），现从盒子中每次取一球，记完号码放回，两次取出的球的号码积为6的概率是______． 3.小王制定一个玩飞行棋的游戏规则为：抛掷两枚均匀的正四面体骰子（四面依次标上数字1，2，3，4），掷得点数之和为5时才“可以起飞”，请你根据规则计算“可以起飞”的概率为_______．
【解析】1.选C.设袋中共有x个球，根据概率的定义， 则x=12．故袋中球的总个数为12．故选C． 2.由题意可得，盒子中共有小球6个，从盒子中每次取一球，记完号码放回，两次取出的球的号码的所有可能的情况有6×6=36种，每种结果等可能出现，属于古典概型,记“两次取出的球的号码积为6”为事件A，则A包含的结果有12种.由古典概型的概率计算公式可得
答案：
3.列表得：
∴一共有16种情况，掷得点数之和为5时的情况有4种，
∴“可以起飞”的概率为
答案：
【归纳】试总结解决古典概型问题的关键点是什么？
提示：解决古典概型问题的关键点是求所有基本事件的总数，理解所求事件的意义，以便求出所含的基本事件数. 与几何概型相关的问题
【技法点拨】
1.几何概型综述
（1）几何概型的基本特征:基本事件的无限性、每个事件发生
的等可能性.
（2）几何概型的概率计算公式:2.几何概型问题的解题方法
（1）解决几何概型问题的关键是借助相关的公式计算出相关长度、面积、体积的值.
（2）解几何概型问题时,常常需要寻找不等关系.要找不等关系,需先找等量关系,再借助图形分析寻找不等关系,最后利用公式计算. 【典例3】1.在区间［-5，5］内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为______.
2.（2012·吉林一中高一检测）已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球，两人都在9：30～11：30的任意时刻到达，若两人的到达时刻相差20分钟以内，两人可以一起打球，否则先到者就和别人在一起打球，求甲、乙两人没在一起打球的概率. 【解析】1.由题意1∈{x|2x2+ax-a2＞0}，故有2+a-a2＞0，解得-1＜a＜2，由几何概型的知识知，总的测度即区间［-5，5］的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax-a2＞0}这个事件的测度为3,故在区间［-5，5］内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为0.3.
答案：0.3 2.设甲的到达时刻为x，乙的到达时刻为y,
由（x,y）构成的区域Ω={（x,y）|0≤x≤2,0≤y≤2}，
此区域面积S=2×2=4，令两人没在一起打球的事件为A，则事件A构成区域 区域A的面积为
∴【思考】与几何概型相关的问题的难点是什么？
提示：解决与几何概型相关的问题的难点是准确画出相关的图象，其中画出所求事件对应的图形尤为重要. 1.如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为
的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在
这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为
P1,P2,则P1,P2的大小关系是（ ） （A）P1=P2 （B）P1>P2
（C）P1【解析】选A.由题意知正方形的边长为2a.左图中圆的半径为正方形边长的 故四个圆的面积和为πa2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa2，故P1=P2. 2.某人向平面区域 内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选A.平面区域 的面积为4，圆的面积为π，故所求概率为
3.把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______．
【解析】将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于 木棒长度的区域内，故所求概率为
答案：4.正三角形ABC的内切圆为圆O，则△ABC内的一点落在圆O外部的概率为_______.
【解析】设正三角形的边长为1，则其内切圆的半径为 故正三角形的面积为 内切圆的面积为 故落入圆内的概率为
所求概率为
答案：5.已知集合A={（x,y）|x2+y2=1}，集合B={（x,y）|x+y+a=0}，若A∩B≠?的概率为1，则a的取值范围是_______.
【解析】由题意，直线与圆有交点，故
解得
答案：