(共10张PPT)
1、一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn .
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … Pn
复习引入
则称 为随机变量X的方差(variance)，
并称其算术平方根 为随机变量X的标准差（standard deviation）.
方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
1、期望定义性质：
2、方差定义性质：
有关公式：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
【例1】有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
例题选讲
例2、设 是一个离散型随机变量，其分布列如下，求q值，并求E ，D 。
-1 0 1
p q2
例3、一批产品共100件，其中有3件次品，为检查其质量，从中任意抽取5件，求在所选5件产品中次品 的分布列，并计算E 。
类比异同1：
变式：一批数量很大的产品,次品率为3%，为检查其质量，从中任意抽取5件，求在所选5件产品中次品 的分布列，并计算E 。
超几何分布
二项分布
例4、某厂每天生产大批产品，其次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取4件产品检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。以 ξ表示一天中调整设备的次数，试求 ξ的分布列及E ξ，Dξ 。（结果保留四个有效数字）
变式：一台设备有3大部件组成，在设备运转种，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以 ξ表示同时需要调整的部件数，试求 ξ的数学期望和方差。
类比异同2：
例5.已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（ Ⅰ ）表示依方案乙所需化验次数，求ξ的分布列．
（ Ⅱ ）求方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率；
类比异同3：
例7.袋中装着标有1,2,3,4,5的小球各2个.从袋中任取3个球,按3个小球上最大数字的9倍记分,每个小球被取出的可能性相等,用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率
(2)随机变量ξ的概率分布和期望
(3)记分介于20分到40分之间的概率
例7.袋中装着标有1,2,3,4,5的小球各2个.从袋中任取3个球,按3个小球上最大数字的9倍记分,每个小球被取出的可能性相等,用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率
(2)随机变量ξ的概率分布和期望
(3)记分介于20分到40分之间的概率(共22张PPT)
第十章 计数原理与古典概率
事件A是否发生, 对事件B发生的概率没有影响
这样两个事件叫做相互独立事件。
若 A,B为两个事件相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)(共25张PPT)
第十章 计数原理与古典概率
×
×
√
√
×
×
一个试验满足下述条件称为随机试验：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行.
（2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个.
（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
3.随机试验
1.随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.
试验的每一个可能的结果称为基本事件.
2.基本事件(共28张PPT)
2.1.1 离散型随机变量
一个试验满足下述条件称为随机试验：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行.
（2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个.
（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
3.随机试验
1.随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.
知识回顾
试验的每一个可能的结果称为基本事件.
2.基本事件
下列随机试验的可能结果分别是什么？
（1）某100件产品中有3件次品，从中任取4件产品可能出现的次品件数；
（2）从4名男生和3名女生中任选4人，这4人中男生的可能人数；
（3）先后两次抛掷一枚硬币可能出现的结果？
（1）0，1，2，3；
（2）1，2，3，4；
（3）（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）.
用数1表示正面向上，数0表示反面向上.
新课引入
我们可以设置一个对应关系，使得随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，那么，先后两次抛掷一枚硬币，如何用数字表示可能出现的结果？
1表示（正，正），2表示（正，反），
3表示（反，正），4表示（反，反）.
知识探究
像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。随机变量常用字母X、Y、ξ、η、…表示.
随机变量ξ或η的特点：
（1）可以用数表示；
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；
（3）在试验之前不可能确定取何值。
概念形成
结论：本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系，使得每一个实验结果都用一个确定的数字表示，在这个对应关系下，数字随着实验结果的变化而变化。
随机变量和函数有类似的地方吗？
随机变量与函数的联系与区别
（1）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。
例如：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量。其值域是什么？
概念形成
{0,1,2,3,4}
（1）{x<3}在这里表示什么事件？
（2）“抽出3件以上次品”如何用X表示？
（2）在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
练习1：将一颗骰子掷两次，判断下列是否是随机事件，如果是写出随机事件变量的取值范围
（1）两次出现的点数之和
（2）两次掷出的最大点数
（3）第一次减去第二次的点数差
（4）抛掷的次数
随堂练习
1. 某人射击一次可能命中的环数X是一个随机变量，某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个随机变量，这两个随机变量的值域分别是什么？
答：X∈{0，1，2，…，10}；
Y∈{0，1，2，…，n}.
2. 一只合格灯泡连续照明的时间ξ(h)是一个随机变量；某林场最高的树木为30m，该林场任意一棵树木的高度η（m）也是一个随机变量，这两个随机变量的值域分别是什么？
ξ∈（0，＋∞）；
η∈（0，30].
思考：上述随机变量X,Y与ξ,η有什么不同之处？
X,Y的取值是离散的，ξ,η的取值是连续的.
知识探究
1.离散型随机变量
2.连续型随机变量
概念形成
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量（discrete random variable）.
在某个区间内任意取值的随机变量，称为连续型随机变量（Continuous random variable） .
随堂练习
X是连续型随机变量，
Y是离散型随机变量.
练习1：设电灯泡的使用寿命为X，定义 ，
则X，Y分别是哪种类型的随机变量？
练习2：①某座大桥一天经过的车辆数为ξ；②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为ξ；③一天之内的温度为ξ；④一射手对目标射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的ξ是离散型随机变量的是（ ）
A、①②③④ B、①②④
C、①③④ D、②③④
B
随堂练习
[点评] 判断一个随机变量是否是离散型随机变量的依据是：随机变量的所有取值是否可以一一地列举出来，如果可以就是离散型随机变量；否则就不是离散型随机变量．
（2）X∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，{X＝4}表示得到的点数和为4.
【例2】写出下列随机变量X的值域，并指出{X＝4}所表示的随机试验结果.
（1）从装有4个红球和5个白球的口袋里任取6个球，所含红球的个数为X；
（2）先后抛掷两个骰子，所得点数之和为X.
答：（1）X∈{1，2，3，4}，{X＝4}表示取出的6个球中有4个红球和2个白球.
[点评] 解此类题主要是运用离散型随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．随机变量X满足三个特征：①可以用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定取何值．
例题选讲
抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数，那么随机变量X的值域是什么？X取各个不同值的概率为多少？
X∈{1，2，3，4，5，6}
我们可以将随机变量X的可能取值，以及X取这些值的概率用下列表格表示
X 1 2 3 4 5 6
P
利用上表，分别求：
随机事件{X＜3}，{X为偶数}的概率。
知识探究
一般地，若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … Pn
上表称为离散型随机变量X的概率分布列(probability distrubution series)，简称为X的分布列( distrubution series ).
有时为了简便起见，也用等式
P(X=xi)=pi，i ＝1，2，…，n
表示X的分布列
概念形成
设离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则每个pi的取值范围是什么？所有pi之间有什么关系？
（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … Pn
注：分布列的构成
（1）列出了随机变量X的所有取值；
（2）求出了X的每一个取值的概率.
基本性质
练习1：某人射击训练所得环数X的分布列如下：
求表中字母a的值和该射手射击一次不小于8环的概率.
0.22
0.29
a
0.09
0.06
0.04
0.02
P
10
9
8
7
6
5
4
X
a＝0.28.
P(X≥8)＝0.79.
随堂练习
【例3】在抛掷一枚图钉的随机试验中，令
若针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列？
p
1－p
P
1
0
X
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布（two-point distribution），称p=P(X=1)为成功概率。
两点分布又称为0-1分布。由于只有两个可能结果的随机实验叫伯努利实验，所以两点分布又称为伯努利分布。
例题选讲
例2.一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．
解：
表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小
∴
∴
∴
∴
∴
随机变量
的分布列为：
6
5
4
3
的所有取值为：3、4、5、6．
表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小
表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小
表示其中一个球号码等于“6”，另两个都比“6”小
解：
【例5】在含有5件次品的100件产品中,任取3件,
（1）求取到的次品数X的分布列；
（2）求至少取到1件次品的概率.
（2）P(x≥1) ≈0.14400
例题选讲
注：⑴超几何分布的模型是不放回抽样
⑵超几何分布中的参数是M,N,n
概念形成
求离散型随机变量的分布列的步骤：
2、求出各取值的概率
3、列成表格。
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值
题后小结
例4.盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量,求X的分布列。
例6.数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好在地k个位置上，则称有一个巧合，求巧合数的分布列。
例5.已知随机变量ξ的分布列如下：
－2
－1
3
2
1
0
分别求出随机变量⑴ (2) 的分布列．
解：
⑴由
可得
的取值为－1、
、0、
、1、
且相应取值的概率没有变化
∴
的分布列为：
－1
1
0
⑵由
可得
的取值为0、1、4、9
解：
∴
的分布列为：
0
9
4
1
例5.已知随机变量ξ的分布列如下：
－2
－1
3
2
1
0
分别求出随机变量⑴ (2) 的分布列．
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会
公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学
生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数
恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参
加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列
1
2
3
10
20
30
40
50
参加人数
活动次数
归纳小结
2.离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。本章只研究取有限个值的离散型随机变量。
1.随机变量: 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
随机变量常用字母X ,Y ,ξ,η表示。(共16张PPT)
2.3.1离散型随机变量的均值
1、离散型随机变量X的分布列
若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下列表格称为X的分布列.
2、离散型随机变量分布列的性质：
（1）pi≥0，i＝1，2，…；
（2）p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … Pn
复习引入
3、两点分布与二项分布
两点分布：随机变量X只有0和1两个取值，其分布列为：
二项分布：每次试验的结果只有A发生和A不发生两种可能，其分布列为：
p
1－p
P
1
0
X
，k＝0，1，2，…，n.
复习引入
某商场将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3︰2︰1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
X 18 24 36
P
思考：每1kg混合糖果的合理定价与这个分布列有什么关系？
把3种糖果的价格看成随机变量X的概率分布列：
合理定价＝随机变量的每个取值×其对应的概率
问题提出
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值（mean）或数学期望（mathematical expectation）.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … Pn
离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
概念生成
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的分布列是什么？
思考：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
已知离散型随机变量X的分布列为
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
（2） EY=
探究新知
【例1】已知离散型随机变量 ξ的分布列为：
求η1=3ξ+2与 η2=ξ2 的分布列和期望。
ξ
P
0
1/4
1/2
1/4
例题选讲
期望的运算只能用于线性关系的情况
【例2】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
例题选讲
1、若随机变量X服从两点分布，则
EX=p
2、若X～B(n，p)，则
EX＝np
基本结论
【例3】一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错得0分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率都为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求甲、乙两个学生在这次测验中所得成绩的期望值。
解:设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是 ξ 和 η ，
则 ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，
所以，
Eξ＝20×0.9＝18，
Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，则学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
例题选讲
【例4】根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元.
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水.
方案3：不采取措施，希望不发生洪水.
试比较哪一种方案好.
例题选讲
【例5】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是0.5，且面试是否合格互不影响，求：
（1）至少有1人面试合格的概率；
（2）签约人数ξ的分布列和数学期望.
Eξ＝1
例题选讲
【例6】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程，民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的1/2，1/3，1/6，现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列和数学期望.
Eξ＝2
例题选讲
【例7】一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝ｘ＋ｙ，求η的分布列和数学期望.
Eη＝8
例题选讲
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数ξ的分布列为：
1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元,
分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5期付款，
其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润。
（1）求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有一位
采用1期付款” 的概率P(A)；
（2）求η的分布列及期望Eη.
x
随堂练习
1、离散型随机变量的分布列只反映随机变量在各取值点的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.
2、离散型随机变量的均值由随机变量的分布列所惟一确定，且随机变量的均值与随机变量有相同的单位.
3、离散型随机变量的均值是常数，样本数据的平均值随着样本的不同而变化，它是一个随机变量.样本数据均值随着样本容量的增加而趋近于随机变量的均值，即总体的均值（如抛掷骰子所得点数的均值）.
归纳小结(共16张PPT)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
26＋10＝36
4＋32＝36
2. 从宁波到上海旅游,可以乘火车，也可以乘汽车。若一天中火车有4列,汽车有32辆。那么一天中乘坐这些交通工具从宁波到上海有多少种不同的走法
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有
种不同的方法.
分类加法计数原理
N＝m+n
完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1 种不同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法 …… 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法, 那么完成这件事共有
种不同的方法.
适用条件：这n类办法彼此相互独立, 彼此互斥, 不管哪一类办法中的哪一种方法都可独立完成这件事情
N＝m1+m2+…+mn
5＋4＝9（种）
【例1】 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
如果这名同学只能选一个专业，求他共有多少种不同的选择方法？
1. 用A～F六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
6×9＝54
2.从宁波到西安旅游, 因为某种原因，选择从宁波先乘火车(一天中有4班)到上海，再于次日从上海乘飞机(一天中有5班)到西安。那么两天中乘坐这些交通工具从宁波到西安有多少种不同的走法
4×5＝20
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
分步乘法计数原理
N＝m×n
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有 mn种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
N＝m1×m2×…×mn
适用条件: 这n个步骤不可缺少, 相互依存, 需要依次完成所有步骤,才能完成这件事情.
回答的都是有关完成一件事情的不同方法总数的问题
在于完成一件事情的方式不同：
1、分类加法计数原理是“分类完成”,即任何一类办法中用任何一个方法都能独立完成这件事；
2、分步乘法计数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步骤顺次相依完成,且只有每一个步骤都完成了,才能完成这件事情．
共同点
不同点
两个原理的比较
简单地说即是: “分类互斥,分步互依”
【例2】书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第一，二，三层各取1本书，有多少种不同的取法？
(1)4＋3＋2＝9（种）
(2)4×3×2＝24（种）
（3）若从这些书中取不同科目的书两本，有多少种不同的取法？
(3)4×3+4×2+3×2＝26（种）
请按以下要求回答各问题：
1、事情是什么？
2、怎样才算完成这件事？
3、你需要用到什么原理？
4、怎样算？
【例3】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，求共有多少种不同的挂法？
3×2＝6（种）
【例4】镇海区的部分电话号码是05748629××××, 后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码
1. 若要求最后4个数字不重复，则有多少个不同的电话号码？
2. 用0 ～ 9这10个数字能组成多少个没有重复数字的四位整数？
3. 用0 ～ 9这10个数字能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
变式:
【例5】若A={a1,a2,a3,a4},B={b1,b2,b3}则从集合A到 集合B可建立____个不同映射,从集合B到集合A可建立____个不同映射。
34
43
练习：
(1)4封不同的信，投入3个邮箱，共有____种投法？
(2)4名运动员报名参加跳高、跳远、游泳比赛，每名运动员限报一项，则有_____不同的报名方法？
(3)4名运动员争夺三项冠军，不允许并列冠军，则共有______种冠军获得情况？
34
34
43
拓展延伸 深化认识
探究与发现
拓展延伸 深化认识
探究与发现
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是解决完成一件事的方法数的计数问题，其不同之处在于，前者是针对“分类”问题的计数方法，后者是针对“分步”问题的计数方法.
2.在“分类”问题中，各类方案中的每一种方法相互独立，选取任何一种方法都能完成这件事；在“分步”问题中，各步骤中的方法相互依存，只有各步骤各选一种方法才能完成这件事.
3.在应用分类加法计数原理时，分类方法不惟一，但分类不能重复，也不能遗漏. 在应用分步乘法计数原理时，分步方法不惟一，但分步不能重叠，也不能缺少.(共14张PPT)
两个基本原理的应用
1.分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为N＝m1＋m2＋…＋mn
2.分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为 N＝m1×m2×…×mn
【例1】 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？
13×9 ×9=1053
【例2】 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的RNA分子？
4100个
U
U
U
A
A
A
C
C
C
G
G
G
第1位
第2位
第3位
第100位
4种
4种
4种
4种
…
…
【例3】 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
256个
2个
（2）计算机汉字国际码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
第1位
第2位
第3位
第8位
2种
2种
2种
2种
…
…
如00000000，
10000000，
11111111.
【例4】在区间[400，800]上，有多少个能被5整除且数字允许重复的整数？有多少个能被5整除且数字不重复的整数？
81
56
【例5】求2520的正约数共有多少个？
练习：甲乙两个自然数的最大公约数为720，问两个数的正的公约数共有多少个？
【例6】如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上四种颜色中 的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为_________.
①
③
④
②
图一
若图变为图二呢
有4种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有A，B，C，D,E号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有 种。
【例7】 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
【例8】三人传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有多少种？
例9、下图中共有多少个不同的矩形？
0
【作业】考点解析107-108(共21张PPT)
§3.2.1 古典概型（1）
情境探究
探求新知
探求新知
用集合观点解释古典概型的概率:
把一次试验中等可能出现的结果组成集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合,则事件A
是集合I的一个子集,则有
基本事件I
事件A
对于古典概型，任何事件的概率为：
P（A）=A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
例:下列事件的概率,能否作为等可能性事件概率来求,为什么
1.抛一个各面分别为数字1,2,3,4,5,6的长方体,正面出
现3的概率.
2.甲,乙两棋手比赛,甲胜.
（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗 为什么？
（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？
因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。
不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。
例题选讲
假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定的知识的可能性大？
可用极大似然法的思想解决。假设他每道题都是随机选择答案的，可以估计出他答对17道题的概率为
可发现这个概率是很小的；如果掌握了一定的知识，绝大多数的题他是会做的，那么他答对17道题的概率会比较大，所以他应该掌握了一定的知识。
答：他应该掌握了一定的知识
思考探究
变式拓展
4
6
4
1
探求新知
（1）判断是否为等可能性事件；
（2）计算所有基本事件的总结果数n．
（3）计算事件A所包含的结果数m．
（4）计算
例题选讲
1点 2点 3点 4点 5点 6点
1点 2 3 4 5 6 7
2点 3 4 5 6 7 8
3点 4 5 6 7 8 9
4点 5 6 7 8 9 10
5点 6 7 8 9 10 11
6点 7 8 9 10 11 12
(1,2)和(2,1)有区别吗？
例题选讲
例题选讲
检测听数 1 2 3 4 5 6
概 率 0.6 0.8 1 1
检测的听数和不合格产品的概率如下表
巩固练习
例题选讲
例题选讲
例题选讲
1、从1，2 ， 3，4，6五个数字中，可重复选取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是______。
课堂练习
2、一次发行10000张社会福利奖券，其中有1张特等奖，
2张一等奖，10张二等奖，100张三等奖，其余的不得
奖，则购买1张奖券能中奖的概率是________
3、在10支铅笔中，有8支正品和2支次品。从中任取2支，
恰好都取到正品的概率是__________
4、从分别写上数字1, 2，3，…，9的9张卡片中，任取
2张，则取出的两张卡片上的“两数之和为偶数”的
概率是_________
1、古典概型
(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
2、古典概率
归纳小结
3、注意点
(1)在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.
(2)在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要
重复计数，也不要遗漏.
1.列举基本事件空间；
2.利用互斥对立事件求解概率；
3.原理使用中的顺序性的把握；
4.简化问题，突出重点；
5.对称原理的使用；
6.至少至多问题中的分类原则。(共14张PPT)
3，6，
9，12
1，2，4，5，7，8，10，11
I
A
基本事件
基本事件的特点：
任何两个基本事件是互斥的
任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2） 每个基本事件出现的可能性相等。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
对于古典概型，任何事件的概率为：
P（A）=A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
用集合观点解释古典概型的概率:
把一次试验中基本事件的空间组成集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合,则事件A
是集合I的一个子集,则有
基本事件I
事件A
例1.某班星期一要上数学、物理、历史、技术、体育各一节共5节课，求体育课不排第一节且技术课与体育课不相邻的概率。
【例2】一个小停车场只可以停12辆成一
排的车，当8辆车已停好后，则剩
下四个空位恰好连在一起的概率。
比较：
15名新生中有3名优秀生，将他们抽签分成三组, 试求：
三个组中各有一个优秀生的概率；
（2）3个优秀生集中在某一组的概率。
【例3】15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班级
（1）每班分配到一名优秀生的概率为多少？
（2）3名优秀生分配到同一班级的概率是多少？
例4.现有4个球投入5个盒子中,求：
(1)每个盒子最多1个球的概率；
(2)恰有一个盒子放2个球,其余盒子最多放1个球的概率
(3)第一、二号盒子各有两个球的概率
练习：
生日问题 (1) n个人生日各不相同的概率(n<365)；
(2)n个人中至少有两个人生日不同的概率
例5.为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该种食品5袋,能获奖的概率为( )
D
例6、从52张扑克牌中（不含两个Joker）任取4张，求下列事件的概率：
（1）、抽出的是J，Q，K，A；
(2)、抽出的是4张同花牌。
例7.将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数
依次成等差数列的概率为（ ）
B
例8、甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，
假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个
队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，
则甲、乙相遇的概率为（ ）
D
例9. 电子钟一天显示的时间是从00:00到
23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一
时刻的四个数字之和为23的概率为( )
C
例10.甲从正方形四个顶点中任意选择两个
顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两
个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率
是( )
C(共16张PPT)
2.1.2离散型随机变量的分布列
1. 离散型随机变量
2. 离散型随机变量的分布列及性质
复习
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … Pn
⑴
⑵
3. 两点分布列
p
1－p
P
1
0
X
注：⑴超几何分布的模型是不放回抽样
⑵超几何分布中的参数是M,N,n
求离散型随机变量的分布列的步骤：
2、求出各取值的概率
3、列成表格。
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值
练习1：设随机变量ξ的分布列为
则a的值为 ．
随堂练习
练习2： 设随机变量ξ只能取5,6,7,···,16这12个值，且取每一
个值的概率均相等，则 ,
若 ，则实数x的取值范围是 ．
【例1】已知随机变量ξ的分布列如下：
－2
－1
3
2
1
0
（1）求随机变量 的分布列
解：⑴由 可得X的取值范围为-1， ，0， ，1，
∴X的分布列为：
－1
1
0
例题选讲
若ξ是随机变量，则η=aξ+b(a,b是常数)也是随机变量
【例1】已知随机变量ξ的分布列如下：
－2
－1
3
2
1
0
（2）求随机变量 的分布列
解：Y的取值范围：0，1，4，9
0
9
4
1
∴Y的分布列为：
例题选讲
例2.数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合，求巧合数的分布列。
例题选讲
【例3】 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，每次取出的产品都不放回，求直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列．
解：ξ的所有取值为：1、2、3、4．
4
3
2
1
随机变量ξ的分布列：
【例4】一盒中放有大小相同的4个红球、1个绿球、2个黄球，现从该盒中随机取出2个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中取出两个球所得分数ξ的分布列。
例题选讲
【例6】在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任取2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列.
例题选讲
例题选讲
变式：某彩票的开奖是从1,2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码的个数多少中奖的等级为：
含有的基本号码数 4 5 6 7
中奖等级 4等奖 3等奖 2等奖 1等奖
求至少中三等奖的概率.
例题选讲
【例7】一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，求试验次数X的分布列.
变式1：一串钥匙有5枚，其中2把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，求试验次数X的分布列.
变式2：一串钥匙有5枚，其中2把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到2把钥匙全部找到为止，求试验次数X的分布列.
(1)已知箱子中有50件产品，其中10件次品，从箱子中取球，每次取一个，取后不放回，共取8次，求其中次品个数ξ1的分布列
(2)已知箱子中有50件产品，其中10件次品，从箱子中取球，每次取一个，取后放回，共取8次，求其中次品个数ξ2的分布列
(3)已知箱子中有50件产品，其中10件次品，从箱子中取球，每次取一个，取后放回，直到取到次品时，试验停止，求所取球个数ξ3的分布列
超几何分布
二项分布
1
2
3
10
20
30
40
50
参加人数
活动次数
【例5】（北京理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列
例题选讲
