四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学（理）试题（PDF版含答案）

德阳五中高 2021级高二上期入学考试
数学试卷（理科）
（总分 150分 答题时间 120分钟）
1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1至 12题，第
Ⅱ卷 13——22题，共 150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答
案涂写在答题卷上，答在试卷上的无效。考试结束后，只将答题卷和机读卡交回。
一.选择题：(每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求，请将答案填涂在答题卡上)
x y
1. 直线 1的倾斜角为（ ）
3 3
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2. 已知 sin cos 6 ，则 sin2 的值为（ ）
2
1
A. 12 B. C.
3 D. 3
2 2 2
x
3. 不等式 0的解集为（ ）
x 1
A. 1,0 B. 0,1 C. , 1 0, D. ,0 1,
4．若非零实数 a,b满足 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． B． a b 2 ab C． lg a2 lgb2 D． a3 b3
a b
5. 下列函数中最小值为 4的是（ ）
4
A. y x2 2x 4 B. y sin x sin x
C. y 2x 22 x D. y ln x
4

ln x
6. 已知直线 l1 : ax y 1 0， l2 : ax (a 2)y 1 0．若 l1 l2 ，则实数a （ ）
A. 1或1 B. 0或1 C. 1或 2 D. 3或 2
理科数学 1
x 1 0
7. 若实数 x, y
1
满足约束条件 x y 0 ，则 z x y 的最小值是（ ）
2
2x 3y 1 0
3 1 1
A. 2 B. C. D.
2 2 10
8. 已知在递减等比数列 an 中， a2 a5 18， a3 a4 32，若 an 1，则 n （ ）
A. 9 B. 6 C. 8 D. 7
9. 方程 x 1 ln x2 y2﹣1 ＝0所表示的曲线的图形是（ ）
A. B. C. D.
10. 设 ABC的内角 A,B,C ,所对的边分别为 a,b,c，若三边的长为连续的三个正整数，且
A B C，3b 20acos A，则 sin A : sin B : sinC为（ ）
A. 6∶5∶4 B. 5∶6∶7 C. 5∶4∶3 D. 4∶3∶2
11. 如图，在矩形 ABCD中， AB 1， AD 2，点 P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上，
3 uuur uuur uuur
BCP .若 AP AB AD，则 的值为（ ）4
A. 2 B. 2 10 10 C. 3 D. 3
10 10
12. 在锐角 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，S为 ABC的面积，且 a2 2S (b c)2，
2sin2 B sin2 C
则 的取值范围为（ ）
sin B sinC
43 , 59 43 59 A. 15 15
B. 2 2, C. 2 2,15 15
D. 2 2,

理科数学 2
二.填空题：共 4小题，每小题 5分，共 20分.将答案填在答题卡上.
13. 等差数列 an 中， a3 a4 a5 a6 a7 150，则 a2 a8 ______.
14. 已知 ABC是边长为 2的正三角形，D是 AC的中点，则 BD (AB AC ) _____．
15. 若直线 y x b与曲线 y 3 4x x2 有公共点，则b的取值范围是______.
BC
16. 已知 ABC中，点 D在边 AC上，CD BD 2AD，则 的取值范围为______．
BA
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
17. 已知向量 | a | 1,a b ,a 2b与
3 a b
垂直.

（1）求 b 的值；

（2）求向量b与a b夹角的余弦值.
18. 已知 ABC的三个顶点坐标为 A 3,1 ，B 3, 3 ，C 1,7 .
（1）求 BC的中线所在直线方程的一般式方程；
（2）求 ABC的面积.
19. 设函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x．
（1）求 f (x)的最小正周期和最值；

（2）已知 a,b,c分别是 ABC内角 A,B,C的对边， f (B) 1，a 4，b 2 7 ，2BD DA，
求线段CD的长．
理科数学 3
20．已知数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 1，且 Sn 2Sn 1 1 n N * ,n 2 ．
(1)求 an 的通项公式；
(2)设bn nan，求数列 bn 的前 n项和Tn ．
21. 已知以点 A 1,2 为圆心的圆与直线 l1： x 2y 7 0相切，过点B 2,0 的动直线 l与
圆 A相交于M 、N 两点，Q是MN的中点.
（1）求圆 A的方程；
（2）当 MN 2 19 时，求直线 l的方程.
22. 数学家研究发现，音叉发出的声音（音叉附近空气分子的振动）可以用数学模型
y Asin t 0, t 0 来刻画．1807年，法国数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了任
何周期性声音的公式是形如 Asin t 的简单正弦函数之和．若某种声音的模型是函数
f t sin2t t 0 ， g t 2 f 2 t af t , t 0 .
（1）求函数 f (t) 0, 7π 在 上的值域；
12
7π
（2）研究函数 g(t)在 0,
12
上的零点个数，并说明理由．

理科数学 4
德阳五中高 2021 级高二上期入学考试
数学答案（理科）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D D C C B B D A B C
13. 60 14. 3 15.[1 2 2,3] 16. (0,4)
1
17.解：（1）因为 a 1， a b 且a 2b与 a b垂直，3

所以 a 2b 2 2 2 2a b a a b 2b 0 a a b 2 b 0 12 1 2，即 ，即 2 b 0，3

b 6解得 .
3
2 2 2 2 2
（2） a b a b a 2a b b a 2a b b
2
2 1 6 21 1 2 ，3 3 3
2 2 2 a b b 1 6 a b b a b b 1，3 3

a b b
cos 1 3 14
a b b 21 6 14
设向量b与 a b的夹角为 ，所以 3 3 .
x 3 1 2
18.解（1）设 BC的中点D x, y 2，则 ，即D 2,2 .
y 3 7 2
2
k 2 1 1AD 2 3 5，
1
所以 BC的中线所在直线方程为 y 2 x 2 ，即 x 5y 8 0 .
5
k 7 1 3 3 1 2（2） AC 1 3 2，
kAB 3 3 3，
所以 kAC kAB 1，即 AC AB .
AC 1 3 2 7 1 2 2 13 AB 3 3 2 3 1 2， 2 13，
1
所以 S△ABC 2 13 2 13 26 .2

19.解（1）∵ f (x) 3 sin 2x cos 2x 2
3 1
sin 2x cos 2x2 2
2sin 2x ，
6
2
∴T ，∴ f (x)max 2， f (x)min 2；2
（2）

∵ f (B) 2sin 2B

1， B (0, )

，∴ B ，
6 3
∵b2 a2 c2 2accosB，
∴ c2 4c 12 0，
∴ c 6（ c 2舍）．
1
∵ 2BD DA，∴ BD c 2，3
∴CD2 42 22 2 4 2cos 12，
3
∴CD 2 3；
综上， f x 的最小正周期为 ，最大值为 2，最小值为 2，CD 2 3 .
20．(1) *解法一：因为 Sn 2Sn 1 1 n N ,n 2 ①，
所以 Sn 1 2Sn 1②，
② ①得 Sn 1 Sn 2Sn 1 2Sn 1 1 即 an 1 2an，
a3 a 4
a
所以
5 2
a a a ，2 3 4
a
又当 n 2 S 2时， 2 2S1 1，又 a1 1，所以 a2 2，所以 2a ，1
an 1
所以 2(n N
*)
a ，所以数列{an}是以1为首项， 2为公比的等比数列，n
所以 an = 2
n-1
．
解法二： n 2时，Sn 2Sn 1 1 Sn 1 2(Sn 1 1)
S1 1 2 0 {Sn 1}是以2为首项，2为公比的等比数列
Sn 1 2 2
n 1 2n Sn 2
n 1
n 2 a S S 2n 2n 1当 时， n n n 1 2
n 1
a 1 a 2n 1(n N*由 1 n )
(2)解：由（1）可得bn na n 2
n 1
n ，
T 1 20 2 21 2 3 1所以 n 3 2 4 2 (n 1) ( )
n 2 n 2n 1，
2
则 2Tn 1 2
1 2 22 3 23 4 24 (n 1) 2n 1 n 2n
n
两式相减得， Tn 2
0 21 22 23 2n 1 n 2n 1 2 n 2n 1 (n 1) 2n
1 2
n
所以Tn (n 1) 2 1.
21.解（1）设圆 A的半径为 R，由于圆 A与直线 l1 : x 2y 7 0相切，
R | 1 4 7 | 2 5，
5
圆 A的方程为 (x 1)2 (y 2)2 20；
（2）①当直线 l与 x轴垂直时，易知 x 2符合题意；
②当直线 l与 x轴不垂直时，
设直线 l的方程为y k(x 2)，即 kx y 2k 0，
连接 AQ，则 AQ MN
|MN | 2 19 ， | AQ | 20 19 1，
则由 | AQ |
| k 2 |
1 3
2 ，得 k ， 直线 l : 3x 4y 6 0．1 k 4
故直线 l的方程为 x 2或3x 4y 6 0 .
7 7
22.解:(1)因为 t 0, π ，所以 2t 12
0, π ，
6
所以 sin 7π sin2t sin π 1，即 sin2t 1，
6 2 2
7 1
所以函数 f (t)在 0, π 上的值域为 12 ,1 ． 2
a
(2)因为 2 f 2 (t) af (t) 0，所以 f (t) f (t) 0．
2
①当 a 0 时， f (t) 0，因为 2t 0, 7 π π ，所以 2t π，解得 t ， 6 2
g(t) 7 所以 在 0, π 上只有一个零点． 12
②当 a 0 时， f (t) 0或 f (t) a ．令 u 2u2 au,u 1
2
,1 ，则 2
a 1 min
a ,1 b u 1ⅰ若 ，记 则 在 ,b 1上单调递减，且 2 0, b 0， 4 2 2
所以 f (t) 0 π 7 ，由①得 t ，所以 g(t)在 0, π 上只有一个零点．2 12
a u 1 , a a ,1 1 ⅱ若 1 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，且 0, 1 0 ，2 2 4 4 2
所以 f (t) 0 π 7，由①得 t f (t) 1 2t π； ，因为 0, π ，所以 2t ，解得 t
π
；
2 6 2 4
所以 g(t) 在 0, 7 π 上有两个零点． 12
a 1 u 1 a , a 1 ⅲ若 ，则 在 上单调递减，在 ,1 上单调递增，且 0, 1 0 ，2 2 4 4 2
f (t) 0，由①得 t π π ； f (t) a 0,1 ，当 t 0,

时，令 h(t) sin 2t
a 7
,t 0, π ，2 2 2 2 12
h(π) sin 2t a a 7π a 1 a则 1 0,h( ) sin 2t 0 ，根据零点存在定理，
4 2 2 12 2 2 2
π 7π
所以连续函数 h t 在 , 上存在零点， 4 12
h t π , 7π π 7π 因为 在 上单调递减，所以连续函数 h t 在 , 4 12 4 12 上只有一个零点．
π
同理，连续函数 h t 在 0,
4
上只有一个零点．

所以 g(t) 0, 7在 π 上有三个零点． 12
7
③当 1 a 0时， g(t) 在 0, π 上有两个零点； 12
④当 a 1 7时， g(t)在 (0, ]上有一个零点；
12
综上，当 a 0 或 a 2

或 a< 1时， g(t)在 0, 7 π 上只有一个零点； 12
当 a 2 1
7
或 a 0时， g(t)在 0, π 上有两个零点； 12
7
当 012