北师大版九年级数学上册 第4章 图形的相似 单元达标测试题（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．＝，则的值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
2．如图，直线AB∥CD∥EF，直线AF与BE交于点O，直线BE，AF分别与直线CD交于点C，D，则下列各式中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，AB∥CD∥EF，若＝，BD＝9，则DF的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝4，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．
6．若（3b+d﹣2f≠0），则的值是（　　）
A．1 B． C．3 D．无法确定
7．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．已知△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，若AD：A'D′＝4：3，△ABC的周长为16，则△A'B′C′的周长是 　 　．
10．如图，直线a∥b∥c，直线AC，DF被直线a，b，c所截，若AB＝6，BC＝2，DF＝10，则EF的长为 　 　．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6．点D在线段AB上，AD＝9，点P是线段BC上的动点，连接AP，PD，当△APD是以DP为直角边的直角三角形时，BP的长为 　 　．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，3），B（﹣6，3），以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为 　 　．
13．两个相似三角形对应边上的高的比是2：3，那么这两个三角形面积的比是 　 　．
14．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20cm，到屏幕的距离为40cm，且幻灯片中图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为 　 　cm．
15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点P，且线段AB的对应边为线段EF，测得AB＝1.5，EF＝2，若四边形ABCD的面积为3，则四边形EFGH的面积为 　 　．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上一点，点F、点G分别是边AB、BC上一点，连接EF，EG，且EF∥BC，EG∥AB，若AF：FB＝2：3，BC＝20，则BG长为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
18．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
19．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB AF＝AC DF．
21．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB；
（2）若AB＝4，则BG的长是 　 　．
22．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝12，CD＝8，BD＝28，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，写出点B2的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵＝，
∴＝+1＝2×+1＝2．
故选：B．
2．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
即，
故选：D．
3．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵＝，BD＝9，
∴＝，
解得：DF＝6，
故选：C．
4．解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
5．解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝，
∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝2+4＝6，
∴＝，
故选：A．
6．解：∵（3b+d﹣2f≠0），
∴a＝3b，c＝3d，e＝3f，
∴＝＝＝3．
故选：C．
7．解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
8．解：∵点E（﹣4，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，
∴点E的对应点E′的坐标是：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，AD：A'D′＝4：3，
∴△ABC与△A'B'C′的相似比为4：3，
∴，
∵△ABC的周长为16，
∴，
解得：L△A'B'C'＝12．
故答案为：12．
10．解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
11．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴AB＝12，
∵AD＝9，
∴BD＝12﹣9＝3，
当∠ADP＝90°时，BP；
当∠APD＝90°时，过D作DE⊥BC于点E，如图，
∴DE＝，BE＝，
∵BC＝，
∴CE＝BC﹣BE＝，
∵∠APC+∠CAP＝∠APC+∠DPE＝90°，
∴∠CAP＝∠EPD，
∵∠C＝∠DEP＝90°，
∴△ACP∽△PED，
∴，，
∴PE＝或PE＝，
∴BP＝PE+BE＝或．
故答案为：2或或．
12．解：∵点A（﹣1，3），B（﹣6，3），以原点O为位似中心，在同一象限把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，点D与点B对应，
∴点D的横坐标为：﹣6×＝﹣2，纵坐标＝3×＝1，
故答案为：（﹣2，1）．
13．解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴两三角形的相似比为2：3，
∴两三角形的面积比为4：9．
故答案为：4：9．
14．解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
设屏幕上的小树高是x，
，
解得x＝18cm．
故答案为：18．
15．解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点P，线段AB的对应边为线段EF，AB＝1.5，EF＝2，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为：＝，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为：，
∵四边形ABCD的面积为3，
∴四边形EFGH的面积为：3×＝．
故答案为：．
16．解：∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴，
∵EF∥BC，EG∥AB，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∴BG＝EF，
∴，
∴BG＝EF＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．（1）证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
18．（1）证明：∵EF∥CD，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝．
（2）解：∵AD：BD＝2：1，
∴BD＝AD，
∴AD+AD＝30，
∴AD＝20，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD＝2：1，
∴AF＝2DF，
∵AF+DF＝20，
∴2DF+DF＝20，
∴DF＝．
19．解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥EO，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴，＝，
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴＝，＝
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAB＝∠ADB，
∵∠B＝∠B，
∴△CBA∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝3.6；
（2）证明：由（1）知：BD：AD＝AB：AC①，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝∠FAD＝∠BDF，
又∵∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，AB：AC＝DF：AF，
∴AB AF＝AC DF．
21．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
（2）解：∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2．
在Rt△ABE中，BE＝，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴，
即：，
∴BG＝10．
故答案为：10．
22．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝28﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当＝时，△ABP∽△CDP，即＝，
解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
BP＝28﹣＝16.8；
当＝时，△ABP∽△PDC，即＝，
解得x1＝4，x2＝24，
经检验，x＝4或24是分式方程的解，
BP＝28﹣4＝24，BP＝28﹣24＝4，
∴当BP为16.8或4或24时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
23．解：（1）如图，△A1B1C1为所求作的三角形，C1（3，3）．
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，B2（2，8）．