北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明同步练习（含答案）

北师大版九上 4.5 相似三角形判定定理的证明
一、选择题（共13小题）
1. 如图，点 ，，，，，，，， 都是 方格纸中的格点，为使 ，则点 应是 ，，， 四点中的
A. B. C. D.
2. 与 相交于 ，，， 是 上的点，， 是 上的点，且 ，，则图中与 相似的三角形（不含 ）共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 ，，，另一个三角形框架的一边长为 ，它的另外两边长分别可以为
A. ， B. ，
C. ， D. ， 或 ， 或 ，
4. 如图，在大小为 的正方形网格中，是相似三角形的是
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
5. 如图，在 中，，，，将 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
6. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似的是
A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处
7. 如图，四个 的正方形网格（每个网格中的小正方形边长都是 ），每个网格中均有一个“格点三角形”（三角形的顶点在小正方形的顶点上），是相似三角形的为
A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④
8. 如图，在 中，，， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为
A. B. C. D.
9. 如图，在 中，，，．点 是边上 一动点，过点 作 交 于点 ， 为线段 的中点，当 平分 时， 的长度为
A. B. C. D.
10. 一个三角形三边的长分别是 ，，，另一个与它相似的三角形的最长边是 ，则其他两边的和是
A. B. C. D.
11. 如图，点 、 分别在矩形 的边 ， 上，，，则甲、乙、丙三个三角形中相似的是
A. 只有甲与乙 B. 只有乙与丙 C. 只有甲与丙 D. 甲与乙与丙
12. 如图，已知 ．下列四个三角形，与 相似的是
A. B.
C. D.
13. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题）
14. 如图，如 ，则图中 ．
15. 如图，， 分别是 的边 ， 上的点，请你添加一个条件，使 与 相似，你添加的条件是 ．
16. 如图，由边长为 的 个小正方形组成的网格中有一个与 相似且面积最大的 ，且它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则 的面积为 ．
17. 如图， 中，，，点 ， 分别在 ， 上，其中 ，．当 与 相似时， 的值可能是 ．
18. 如图，已知四边形 中，，，，，点 是边 上使 的点，当 时，这样的 点只有一个．
19. 两个相似三角形的最短边分别是 和 ，它们的周长之差是 ，那么小三角形的周长为 ．
三、解答题（共7小题）
20. 已知：在 中， 比 大 ，，求 与 的度数．
21. 如图，在 中，，，， 分别是 ， 的平分线，且相交于点 ，写出与 相似的三角形．
22. 如图所示，在 中，，，点 从点 开始沿 边以 的速度向点 移动，点 从点 开始沿 边以 的速度向点 移动，如果 ， 分别从 ， 两点同时出发，经几秒后，以点 ，， 为顶点的三角形与 相似
23. 如图，在边长为 的 的正方形网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上， 与 是否相似 请说明理由．
24. 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的 及线段 ，（），以线段 为一边，在给出的图形上用尺规作出 ，使得 ，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
25. 网格图中每个方格都是边长为 的正方形．若 ，，，，， 都是格点，试说明 ．
26. 如图，在 的方格纸中， 是格点三角形（顶点在网格交点处）．在图中画出与 相似的格点 和格点 ，使 与 的相似比是 ， 与 的相似比是 ．
答案
1. C
2. C
3. D
4. C
5. B
【解析】选项A，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故A不合题意；
选项B，因为 且 ，所以阴影三角形与原三角形不相似，故B符合题意；
选项C，因为 ，，，所以阴影三角形与原三角形相似，故C不合题意；
选项D，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故D不合题意．
故选B．
6. B
【解析】设每个小正方形的边长都为 ，由网格得，“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 ，，；“车”与“炮”之间的距离为 ，“炮”与②之间的距离为 ，“车”与②之间的距离为 ，
，
“马”应该落在②的位置．
7. A
8. C
【解析】在 和 中， 是公共角，，
，
，
又 的面积为 ，
的面积为 ，
的面积为 ．
9. B
10. C
11. D
【解析】在矩形 中，
，
，，
，，
又 ，
，
，
又 ，
甲、乙、丙三个三角形相似，应选D．
12. C
13. D 【解析】设单位正方形的边长为 ，给出的三角形三边长分别为 ，，．
A．三角形三边分别是 ，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B．三角形三边 ，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C．三角形三边 ，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D．三角形三边 ，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．
14.
15. 答案不唯一，如 或 等
16.
17. 中的任意实数
【解析】，，，，
，，
若 ，则 ，即 ，解得 为任意实数，
又 ，
；
若 ，则 ，即 ，解得 （舍）；
综上， 的值可能是 中的任意实数．
18.
【解析】，，，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
整理得 ，
点只有一个，
，
解得 ．
19.
【解析】 两个相似三角形的最短边分别是 和 ，
两个三角形的相似比为 ，
设大三角形的周长为 ，则小三角形的周长为 ，
由题意得，，
解得，，
则 ，
故答案为：．
20. ，．
21. ， ，
.
， 分别是 ， 的平分线，
.
.
；；；．
22. 根据已知条件可得 ，．
①设经过 后 ，
，
，
解得 ．
②设经过 后 ，
，
，
解得 ．
故经过 或 后，以点 ，， 为顶点的三角形与 相似．
23. 与 相似．理由：
，，，，，，
，，，
，
．
24. （）
就是所求作的三角形．
（）已知：如图，，，，．求证：．
证明：
因为 ，，
所以 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ，．
在 和 中，
，且 ，
所以 ，
所以 ．
25. ，，，，，，
，
．
26. 的边长分别为 ，，；
的边长分别为 ，，．
图略．