高一上学期期中考试复习材料
集合与简易逻辑用语
【知识要点汇总】
知识点一、集合的概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.
2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．
3、集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为 “”或“”．
4、集合的表示常见的有四种方法
（1）自然语言描述法，（2）列举法，（3）描述法，（4）Venn图法.
5、常见的特殊集合：
（1）非负整数集（即自然数集）（包括零）
（2）正整数集或
（3）整数集(包括负整数、零和正整数)
（4）有理数集
（5）实数集
6、空集：不含任何元素的集合
知识点二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合为集合的子集. 记作：（或），读作“含于”（或“包含”）.
2、相等集合：
3、真子集：如果，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作（或）
4、规律总结：若集合是有个元素的集合，则集合有个子集，个真子集，个非空子集，个元素的非空真子集有个.
知识点三、集合运算及简单应用
1、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集
记作：；读作：“并”
符号语言：.
2、交集：一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集
记作：；读作：“交”
符号语言：
3、全集与补集：
(1)全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.
注：通常也把给定的集合作为全集.
(2)补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.
符号语言：.
4、性质：
知识点四、充分条件与必要条件
命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
中学数学中的许多命题可以写成 “若，则” 、“如果，那么”等形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论．
1、充分条件与必要条件
一般地，“若，则”为真命题，是指由可以推出，记作，且是的充分条件，是
的必要条件.
2、充要条件
一般地，如果既有 ，又有 ，就记作 ，此时我们说是的充分必要条件，简称充要条件．
显然，是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果 ，那么与互为充要条件．
3、充分条件、必要条件、充要条件与命题的真假之间关系：
条件与结论关系 结论
且 是的充分不必要条件
且 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
知识点五、全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
1、全称量词
①短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
②全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：
③常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
2、存在量词
①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
②存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为，．
③存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
3、命题的否定
对于一个命题，它的否定原则为条件不变、结论相反.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.
含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
【期中真题训练】
1．（2021·福建师大附中高一期中）已知集合，，则=（ ）
A．[-2，0） B．（~∞，-2] C．（-∞，0] D．（-∞，0）
【答案】D
由，得，
所以，
因为
所以，
所以.
2．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）集合{1，2}的真子集有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
集合{1，2}的真子集有,{1},{2}共3个
3．（2021·福建福州·高一期中）若，则a的值为（ ）
A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2
【答案】D
因为，
所以或3或，
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
4．（2021·福建福州·高一期中）下列关系中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
A.空集是任何非空集合的真子集，故正确；
B. 的元素为，的元素为，故错误；
C. 因为，故错误；
D. 因为，故错误
5．（2021·福建师大附中高一期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由全称命题的否定为特称命题可得：
命题“”的否定是
6．（2021·福建福州·高一期中）已知命题，，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
由可得，解得，
所以，，
所以由得不出，由可得，
所以是的必要不充分条件，
7．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
由或
得或，所以
8．（2021·福建省福州格致中学高一期中）已知集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{0，1，2，3} D．{1，2，3}
【答案】C
，，故.
9．（2021·福建·福州三中高一期中）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3}，
B={3，4}，则（ ）
{1，2，5，6，7} B．{2}
C．{3} D．{1，4，5，6，7}
【答案】B
10．（2021·福建·福州三中高一期中）“”是“函数在内单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
因为函数在内单调递增，
所以，
因为是的真子集，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件
11．（2021·福建福州·高一期中）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，所以，而
即有．
12．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知命题某班所有的男生都爱打篮球，则命题P的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生打篮球 B．某班至少有一个男生不爱打篮球
C．某班所有的男生都不爱打篮球 D．某班所有的女生都不爱打篮球
【答案】B
由命题某班所有的男生都爱打篮球，
则命题P的否定是某班至少有一个男生不爱打篮球.
13．（2021·福建福州·高一期中）下列关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
对于A，因为是集合，集合与集合间的关系是包含关系，不是属于关系，所以A错误，
对于B，因为表示的是点集，所以，所以B错误，
对于C，因为是无理数，所以，所以C错误，
对于D，因为0是自然数，所以，所以D正确
14．（2021·福建福州·高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
∵“”不能推出“”， “”能推出“”，
∴“”是“”的必要不充分条件
15．（2021·福建·福州四中高一期中）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题设，知：，而，
∴.
16．（2021·福建·福州黎明中学高一期中）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，即.
17．（2021·福建省福州第八中学高一期中）
已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
，则，.
18．（2021·福建福州·高一期中）设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
19．（2021·福建省福州延安中学高一期中）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
20．（2021·福建福州·高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
由“”，解得：或，
故“”是“或”的充分不必要条件．
21．（2021·福建福州·高一期中）设、是两个集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
由集合知识得，所以“”是“”的充要条件
22．（2021·福建省福州格致中学高一期中）“”是“关于的方程无实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
当时，所给方程无实数根；
当时，若所给方程无实数根，则有，解得.
所以当无实数根时，则有.
因为是的真子集，
所以“”是“关于的方程无实根”的充分不必要条件.
24．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）以下说法正确的有（ ）
A．实数是成立的充要条件
B．对恒成立
C．命题“，使得”的否定是“，使得”
D．若，则的最小值是8
【答案】BCD
对A：由实数可推出，而由推不出，如，故实数是成立的充分不必要条件，故错误；
对B：由，可得即，对恒成立，故正确；
对C：命题“，使得”的否定是“，使得”
故正确；
对D：∵，∴，当且仅当即时取等号，故正确.
25．（2021·福建·福州三中高一期中）（多选题）图中是全集，、、是的子集，阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
在阴影部分区域内任取一个元素，则或.
故阴影部分所表示的集合为或 .
26．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）函数，满足对任意，且，都有成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
因为满足对任意，且，都有，即在定义域上单调递减，所以，解得，即在上单调递减的充要条件为，则在上单调递减的充分不必要条件可以为或
27．（2021·福建省福州第一中学高一期中）（多选题）下列命题中真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若是偶函数，则的图像关于直线轴对称
C．若，则的图像关于点中心对称
D．，使得方程有解的充要条件是
【答案】AD
对于A，由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，若是偶函数，则的图像关于轴对称，的图像是由函数向右平移1个单位得到的，所以函数的图像关于直线轴对称，故B错误；
对于C，若，所以，令，则，所以函数关于原点对称，
又是由函数向右平移1个单位得到的，所以函数的图像关于点中心对称，故C错误；
对于D，，使得方程有解，
当时，不成立，舍去，
当时，即，则，所以，
综上所述，所以，使得方程有解的充要条件是，故D正确.
28．（2021·福建省福州第一中学高一期中）（多选题）下列四个命题中，真命题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
对于A选项，当时，，故A错误； 已知，即，左右两边同时平方即可得到，故B正确.；当同号时， ，当异号时，，故C错误； ，故D正确.
29．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，，则：，.
B．函数的定义域为
C．函数的最小值为4
D．若，，且，则最小值为
【答案】ABD
对于A：命题：，，则：，，故选项A正确；
对于B：由 可得且，所以函数的定义域为，故选项B正确；
对于C：由可得，所以
，当且仅当即时等号成立，所以函数的最小值为，故选项C不正确；
对于D：，当且仅当即 时等号成立，所以最小值为，故选项D正确
30．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
因为，，，
所以由维恩图可知阴影部分表示的集合为，
也可表示为
31．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列四个选项中说法正确的有（ ）
A．
B．“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件
C．命题，，，
D．若，则
【答案】ABC
若，左右两边同乘以2,得：，移项：，整理得：，所以，所以，
当时，，两者可以互相推出，显然A选项正确；
平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分，故“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件，B选项正确；
命题，，则，，C选项正确；
当时，则，故D选项错误
32．（2021·福建省福州第八中学高一期中）（多选题）下列结论中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“是”为直角三角形“的充要条件”
C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
【答案】CD
对于A，若，则或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于B，在中，若，则为直角三角形，反之，若为直角三角形，直角为时，不成立，所以“是”为直角三角形“的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则，所以“”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；
对于D，当x为无理数，若，则为有理数，若为无理数，则x为无理数，所以“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，故D正确.
33．（2021·福建省福州格致中学高一期中）（多选题）下列判断正确的是( )
A．
B．是定义域上的减函数
C．是不等式成立的充分不必要条件
D．函数过定点
【答案】CD
对于A,因为,故A错误;
对于B,因为,根据反比例函数图象可知,在定义域上不是递减函数,故B错误;
对于C,不等式
解得:或
由可以推出,
故是不等式成立的充分条件
由不能推出,
故是不等式成立的不必要条件
故C正确;
对于D,因为函数过定点,故D正确.
三、填空题
34．（2021·福建福州·高一期中）已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．
【答案】
∵“，使得”是假命题，
∴命题“ x∈R，使”是真命题，
∴判别式，
∴.
35．（2021·福建福州·高一期中）已知命题，恒成立，则取值范围为_______________.
【答案】
因为，恒成立，当时，恒成立；
当时，，解得；
综上可得，即
36．（2021·福建·福州三中高一期中）存在量词命题，的否定是_______________
【答案】，
37．（2021·福建省福州第八中学高一期中）设集合或，，若，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
因为或，，且
所以
38．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，则____________.
【答案】
由，，
所以.
故答案为：
39．（2021·福建师大附中高一期中）已知集合，.
(1)当a=3时，求.
(2)若“”是 “x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)
(1)由题意得：当时，
可解得集合的解集为
由可解得或
故.
(2)的解集为
又
又“”是“x∈A”的充分不必要条件
解得：，故实数a的取值范围
40．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）已知集合，，，全集为实数集R.
(1)求AB，；
(2)如果，求a的取值范围.
【答案】(1)，；(2)
41．（2021·福建福州·高一期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围：若不存在，说明理由．
问题：已知集合，是否存在实数a，使得_____？
【答案】
∵，
，
当时，；
当时，；
当时，；
若选择①，则，
当时，要使，则 ，所以 ；
当时，满足题意；
当时，，不满足题意.
所以选择①，则实数的取值范围是.
若选择②，
当时，，满足题意；
当时，不满足题意；
当时，，不满足题意；
所以选择②，则实数的取值范围是.
若选择③,
当时，，
而，不满足题意；
当时，,
而，满足题意；
当时，，
而，满足题意；
所以选择③，则实数的取值范围是.
42．（2021·福建省福州第一中学高一期中）
已知全集，集合.
(1)当时，求；
(2)在①；②；③中任选一个条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)答案见解析
（1）由，即，解得，即，
由，即，所以，即或，解得或，即或
当时或
所以
（2）由（1）可知或，；
若选①，，则或，解得或，即；
若选②，若，则，解得，所以时；
若选③，因为，所以或，
因为，所以，所以，解得；
43．（2021·福建福州·高一期中）在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．
已知集合，．
(1)若，求；
(2)若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】(1)或；(2)或
(1)
当时，，所以或，
所以或.
(2)由（1）知：，
选①，
若则，
当即时，，此时符合题意，
当时，，解得：，
综上所述：实数的取值范围为.
选②，
若，则或，
当时，即，
当时，或，可得或不存在，
综上所述：实数的取值范围为或.
44．（2021·福建福州·高一期中）已知全集为R，集合，.
(1)若，求，；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，；(2)
(1)当时，又，所以，或，所以
(2)因为“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即
45．（2021·福建福州·高一期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【答案】证明见解析
充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
46．（2021·福建福州·高一期中）
（1）若命题：，是假命题，求的取值范围．
（2）解关于的不等式：．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
（1）因为命题：，是假命题，
所以，是真命题，
当时，恒成立，符合题意，
当时，由可得：，
综上所述：的取值范围为.
（2）由可得，
方程的两根为，，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
47．（2021·福建福州·高一期中）设集合，集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或；(2)
(1)当时，，.
则或，
或；
(2)若“”是“”的必要条件，
则B A ，
∵，集合，
当时，即满足题意；
当时，
则，解得
综上，实数m的取值范围是.
48．（2021·福建·福州三中高一期中）
已知集合A={x∈R|＜8}，B={y∈R|y=+5，x∈R}
(1)求A∪B
(2)集合C={x|1m≤x≤m1}，若集合C（A∪B），求实数m的取值范围．
【答案】(1)或；(2)
(1)由，得，所以，
因为，所以，所以，
所以或
(2)当时，，得，此时C（A∪B），
当时，因为C（A∪B），或，
所以或，
得或，
综上，，即实数m的取值范围为
49．（2021·福建省福州格致中学高一期中）已知集合，．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
(1)由，即，
所以，
由，即，解得
所以，
∵是的充分不必要条件，所以集合真包含于集合，
∴，解得，即；
(2)因为命题为假命题，
所以为真命题，
设，则即，解得，所以，即．
50．（2021·福建省福州格致中学高一期中）
设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)用列举法表示集合C，并求．
【答案】(1)，；(2)，.
(1)，故，.
(2).或，故.
51．（2021·福建·闽侯县第二中学高一期中）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
(1)当时，，
由得：
所以，.
(2)由，则.
①若时，则，解得；
②若，则由，得解得，
综上：的取值范围为
52．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，，.
(1)若，求集合；
(2)在B，C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题，命题 ，使p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
【答案】(1)；(2)选，m的取值范围为；选，m的取值范围为．
(1)由及得：，解得，
所以，又，所以.
(2)若选B：由，得，
∴，∴.
由p是q的必要不充分条件得，集合B是集合A的真子集，
∴，所以m的取值范围为.
若选C：由，得，∴.
由p是q的必要不充分条件得，集合C是集合A的真子集，
，所以m的取值范围为.
53．（2021·福建省福州延安中学高一期中）设全集为R，集合．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】(1)；(2)
(1)因为全集为R，
且或，
当时，，
所以.
(2)选择①：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
选择⑵：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
选择③：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
54．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，或.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
（1）因为或
当时，，
；
（2），
且或
须满足或，解得或，
的取值范围为或.
55．（2021·福建福州·高一期中）设集合，，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）.
（1）当时，
（2）①当时，，．
②当时，，
综上：．高一上学期期中考试复习材料
集合与简易逻辑用语
【知识要点汇总】
知识点一、集合的概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.
2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．
3、集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为 “”或“”．
4、集合的表示常见的有四种方法
（1）自然语言描述法，（2）列举法，（3）描述法，（4）Venn图法.
5、常见的特殊集合：
（1）非负整数集（即自然数集）（包括零）
（2）正整数集或
（3）整数集(包括负整数、零和正整数)
（4）有理数集
（5）实数集
6、空集：不含任何元素的集合
知识点二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合为集合的子集. 记作：（或），读作“含于”（或“包含”）.
2、相等集合：
3、真子集：如果，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作（或）
4、规律总结：若集合是有个元素的集合，则集合有个子集，个真子集，个非空子集，个元素的非空真子集有个.
知识点三、集合运算及简单应用
1、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集
记作：；读作：“并”
符号语言：.
2、交集：一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集
记作：；读作：“交”
符号语言：
3、全集与补集：
(1)全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.
注：通常也把给定的集合作为全集.
(2)补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.
符号语言：.
4、性质：
知识点四、充分条件与必要条件
命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
中学数学中的许多命题可以写成 “若，则” 、“如果，那么”等形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论．
1、充分条件与必要条件
一般地，“若，则”为真命题，是指由可以推出，记作，且是的充分条件，是
的必要条件.
2、充要条件
一般地，如果既有 ，又有 ，就记作 ，此时我们说是的充分必要条件，简称充要条件．
显然，是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果 ，那么与互为充要条件．
3、充分条件、必要条件、充要条件与命题的真假之间关系：
条件与结论关系 结论
且 是的充分不必要条件
且 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
知识点五、全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
1、全称量词
①短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
②全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：
③常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
2、存在量词
①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
②存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为，．
③存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
3、命题的否定
对于一个命题，它的否定原则为条件不变、结论相反.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.
含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
【期中真题训练】
1．（2021·福建师大附中高一期中）已知集合，，则=（ ）
A．[-2，0） B．（~∞，-2] C．（-∞，0] D．（-∞，0）
2．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）集合{1，2}的真子集有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·福建福州·高一期中）若，则a的值为（ ）
A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2
4．（2021·福建福州·高一期中）下列关系中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建师大附中高一期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·福建福州·高一期中）已知命题，，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
8．（2021·福建省福州格致中学高一期中）已知集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{0，1，2，3} D．{1，2，3}
9．（2021·福建·福州三中高一期中）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3}，
B={3，4}，则（ ）
{1，2，5，6，7} B．{2}
C．{3} D．{1，4，5，6，7}
10．（2021·福建·福州三中高一期中）“”是“函数在内单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
11．（2021·福建福州·高一期中）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知命题某班所有的男生都爱打篮球，则命题P的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生打篮球 B．某班至少有一个男生不爱打篮球
C．某班所有的男生都不爱打篮球 D．某班所有的女生都不爱打篮球
13．（2021·福建福州·高一期中）下列关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·福建福州·高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2021·福建·福州四中高一期中）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·福建·福州黎明中学高一期中）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·福建省福州第八中学高一期中）
已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·福建福州·高一期中）设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（2021·福建省福州延安中学高一期中）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·福建福州·高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2021·福建福州·高一期中）设、是两个集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
22．（2021·福建省福州格致中学高一期中）“”是“关于的方程无实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
24．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）以下说法正确的有（ ）
A．实数是成立的充要条件
B．对恒成立
C．命题“，使得”的否定是“，使得”
D．若，则的最小值是8
25．（2021·福建·福州三中高一期中）（多选题）图中是全集，、、是的子集，阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）函数，满足对任意，且，都有成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·福建省福州第一中学高一期中）（多选题）下列命题中真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若是偶函数，则的图像关于直线轴对称
C．若，则的图像关于点中心对称
D．，使得方程有解的充要条件是
28．（2021·福建省福州第一中学高一期中）（多选题）下列四个命题中，真命题是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，，则：，.
B．函数的定义域为
C．函数的最小值为4
D．若，，且，则最小值为
30．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列四个选项中说法正确的有（ ）
A．
B．“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件
C．命题，，，
D．若，则
32．（2021·福建省福州第八中学高一期中）（多选题）下列结论中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“是”为直角三角形“的充要条件”
C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
33．（2021·福建省福州格致中学高一期中）（多选题）下列判断正确的是( )
A．
B．是定义域上的减函数
C．是不等式成立的充分不必要条件
D．函数过定点
三、填空题
34．（2021·福建福州·高一期中）已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．
35．（2021·福建福州·高一期中）已知命题，恒成立，则取值范围为_______________.
36．（2021·福建·福州三中高一期中）存在量词命题，的否定是_______________
37．（2021·福建省福州第八中学高一期中）设集合或，，若，则实数a的取值范围是___________.
38．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，则____________.
39．（2021·福建师大附中高一期中）已知集合，.
(1)当a=3时，求.
(2)若“”是 “x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
40．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）已知集合，，，全集为实数集R.
(1)求AB，；
(2)如果，求a的取值范围.
41．（2021·福建福州·高一期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围：若不存在，说明理由．
问题：已知集合，是否存在实数a，使得_____？
42．（2021·福建省福州第一中学高一期中）
已知全集，集合.
(1)当时，求；
(2)在①；②；③中任选一个条件，求实数a的取值范围.
43．（2021·福建福州·高一期中）在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．
已知集合，．
(1)若，求；
(2)若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
44．（2021·福建福州·高一期中）已知全集为R，集合，.
(1)若，求，；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.
45．（2021·福建福州·高一期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
46．（2021·福建福州·高一期中）
（1）若命题：，是假命题，求的取值范围．
（2）解关于的不等式：．
47．（2021·福建福州·高一期中）设集合，集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
48．（2021·福建·福州三中高一期中）
已知集合A={x∈R|＜8}，B={y∈R|y=+5，x∈R}
(1)求A∪B
(2)集合C={x|1m≤x≤m1}，若集合C（A∪B），求实数m的取值范围．
49．（2021·福建省福州格致中学高一期中）已知集合，．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
50．（2021·福建省福州格致中学高一期中）
设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)用列举法表示集合C，并求．
51．（2021·福建·闽侯县第二中学高一期中）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
52．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，，.
(1)若，求集合；
(2)在B，C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题，命题 ，使p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
53．（2021·福建省福州延安中学高一期中）设全集为R，集合．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
54．（2021·福建福州·高一期中）已知集合，或.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
55．（2021·福建福州·高一期中）设集合，，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
