第二章 等式与不等式 单元质量检测卷-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（含解析）

新人教B版 必修一 等式与不等式单元质量检测卷
（原卷+答案）
(时间：120分钟　满分：150分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．a>b ac2>bc2 B．> a>b C． > D． a2b2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)
A．a>b B．a3．已知b<2a，3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
4．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)
A． B． C． D．
5．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是(　　)
A．－π<α－β<π B．－π<α－β<0 C．－<α－β< D．－<α－β<0
6．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最大值是(　　)
A． B．－ C． D．－
7．已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，则b－c的值为(　　)
A．1 B．－1 C．9 D．－9
8．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．设a，b是正实数，下列不等式中正确的是(　　)
A．> B．a>|a－b|－b C．a2＋b2>4ab－3b2 D．ab＋>2
10．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%.已知m>n>0，那么四种提价方案中，提价既不是最多也不是最少的是(　　)
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
11．若不等式ax2＋ax－4<0的解集为R，则实数a的取值可以是(　　)
A．－10 B．－8 C．0 D．2
12．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A．－2 B．－1 C．0 D．5
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如果a①< ②ab14．不等式|2x－1|＞3的解集为________．
15．已知关于x的不等式|x＋2|－|x＋3|>m，若不等式有解，则m的取值范围为________，若不等式无解，则m的取值范围为________．
16．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R).
18．(12分)解不等式组
19．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
20．(12分)
如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
21．(12分)某运输公司向抗击新型冠状病毒肺炎疫情一线运送抗疫物资，运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
22．(12分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
参考答案
1．解析：A项，c＝0时不成立；B项，c<0时不成立；C项，因为a>b，ab<0，所以<，即<，正确；D项，因为a>b，ab>0，所以a·ab>b·ab，即a2b>ab2，不成立．
答案：C
2．解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
答案：C
3．解析：由于b<2a，3d答案：C
解析：由题意得，A＝{x|1答案：D
5．解析：从题中－<α<β<可分离出三个不等式：－<α<　①，－<β<　②，α<β　③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－<－β<　④，根据同向不等式的可加性，可得－π<α－β<π.由③式得α－β<0，所以－π<α－β<0.
答案：B
6．解析：不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(x1，x2)，
根据根与系数的关系，可得：x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，
那么x1＋x2＋＝4a＋，
因为a＜0，
所以－(4a＋)≥2 ＝，即4a＋≤－，
故x1＋x2＋的最大值为－，故选D.
答案：D
7．解析：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，
∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，
∴由韦达定理知∴
∴b－c＝－4－(－5)＝1.故选A.
答案：A
8．解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，
则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，
所以≥2或≤－4(舍去)，
所以正实数a的最小值为4.
答案：B
9．解析：对于A，> 1> >，当a＝b>0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b| a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2 a2＋4b2－4ab>0 (a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2>2，故D中不等式正确，故选BD.
答案：BD
10．解析：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅱ)提价后的价格是(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅲ)提价后的价格是＝1＋(m＋n)%＋；
方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m＋n)%.所以只要比较m%·n%与的大小即可．
所以>(%)2＝m%·n%.
所以>m%·n%.
即>(1＋m%)(1＋n%)，
因此，方案(Ⅲ)提价最多，方案(Ⅳ)提价最少．故选AB.
答案：AB
11．解析：设y＝ax2＋ax－4，x∈R，
则由题意可知y<0恒成立．
当a＝0时，y＝－4<0满足题意；
当a≠0时，需满足即
解得－16答案：ABC
12．解析：因为不等式x＋0，y>0，且＋＝1，
所以x＋＝
＝＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立，
所以＝4，故m2－3m>4，
即(m＋1)(m－4)>0，
解得m<－1或m>4，
所以实数m的取值范围是{m|m>4或m<－1}，故选AD.
答案：AD
13．解析：令a＝－2，b＝－1，则＝－>＝－1，故①不成立；ab＝2>b2＝1，故②不成立．因为a0，所以－ab>－a2，故③不成立．选④.
答案：④
14．解析：由|2x－1|＞3得，2x－1＜－3或2x－1＞3，即x＜－1或x＞2.
答案：{x|x＜－1或x＞2}
15．解析：令y＝|x＋2|－|x＋3|
＝
作出图象如图所示：
由图象知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，所以m<1，故m的取值范围是(－∞，1).
若不等式的解集为 ，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值，所以m≥1，故m的取值范围是[1，＋∞).
答案：(－∞，1)　[1，＋∞)
16．解析：由题意可知，Δ>0且x1x2＝a2－1<0，故－1答案：－117．解析：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝＋3－＝＋≥>0，所以x2＋3>3x.
18．解析：≤1 ≤0 x∈[－2，6)，
6x2－x－1>0 (3x＋1)(2x－1)>0 x∈∪，
所以原不等式组的解集为x∈∪.
19．解析：(1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
所以解得a＝3.
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
所以所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，
则b2－4×3×3≤0，
所以－6≤b≤6.
20．解析：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
方法一　由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，即S≤.
当且仅当2x＝3y时等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
方法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0S＝xy＝y＝(6－y)y.
∵00.∴S≤＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
方法一　∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥2·2＝4＝48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
方法二　由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋总长最小．
21．解析：(1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50，100].
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时，等号成立．
故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
22．解析：(1)当a＝时，有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
所以(x－2)≤0，
所以原不等式的解集为.
(2)因为不等式f(x)＝(x－a)≤0，
当0a，所以不等式的解集为{x|a≤x≤}；
当a>1时，有当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}．