第二章 函数 单元质量检测卷-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（含解析）

新北师大版 必修一　函数单元质量检测卷
（原卷+答案）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列结论正确的是(　　)
A．y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)
B．y＝f(x)在其定义域上为减函数
C．y＝f(x)是偶函数
D．y＝f(x)是奇函数
3．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0,1) B．[0,1]
C．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
4．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋1，则f(10)＝(　　)
A．30 B．19
C．6 D．20
5．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1)
6．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋m，则f(－2)等于(　　)
A．－2 B．2
C．－8 D．8
7．已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．[1,2]
C．[0,2] D．[2,4]
8．已知定义域为R的函数y＝f(x)在(0,4)上是减函数，又y＝f(x＋4)是偶函数，则(　　)
A．f(2)C．f(7)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
10．某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图，下列五种说法中正确的是(　　)
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
11．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)
A．f(－3.9)＝f(4.1)
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)的最小值为0
D．方程f(x)－＝0有无数个根
12．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则m的值可能是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝在[－1,1]上是奇函数，则f(x)的解析式为________．
14．已知函数f(x)满足f(3x＋1)＝2x－3且f(a)＝1，则实数a的值为________．
15．已知函数f(x)是定义域R的奇函数，且f(x)＝f(4－x)，当－2≤x<0时，f(x)＝，则f＝________.
16．已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(－5)＝0，则不等式(x－3)f(x)>0的解集为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
18.(12分)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
19．(12分)已知函数f(x)＝是定义域为R的奇函数．
(1)求实数a和b；
(2)判断并证明函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
20．(12分)已知函数f(x)＝，
(1)若该函数在区间(－2，＋∞)上是减函数，求a的取值范围．
(2)若a＝－1，求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
21．(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋4.
(1)设g(x)＝，根据函数单调性的定义证明g(x)在区间[2，＋∞)上单调递增；
(2)当a>0时，解关于x的不等式f(x)>(1－a)x2＋2(a＋1)x.
参考答案
1．解析：选项A中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；选项B中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意；选项C中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意；选项D中，如图所示：函数为奇函数，且在R上为增函数，符合题意．故选D.
答案：D
2．解析：设幂函数f(x)＝xn，点代入得，2n＝，解得n＝－，∴f(x)＝x，根据幂函数的性质可得，选项B正确．
答案：B
3．解析：由题意知：x2－x>0，解得x<0或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案：D
4．解析：令x＝3得f(10)＝32＋3×3＋1＝19.
答案：B
5．解析：由于f(x)＝|x＋a|的零点是x＝－a，且在直线x＝－a两侧左减右增，要使函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则－a≥－1，解得a≤1.故选A.
答案：A
6．解析：由题意知f(0)＝0＋m＝0
∴m＝0
∴f(x)＝x3
∴f(－2)＝(－2)3＝－8.
故选C.
答案：C
7．解析：∵函数f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5.又f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2,4]，故选D.
答案：D
8．解析：因为y＝f(x＋4)是偶函数，所以f(x＋4)＝f(－x＋4)，因此f(5)＝f(3)，f(7)＝f(1)，因为y＝f(x)在(0,4)上是减函数，所以f(3)答案：B
9．解析：当α＝－1时，幂函数y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A不符合；当α＝1时，幂函数y＝x，符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选BD.
答案：BD
10．解析：由题中函数图象可知，在区间[0,3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误；在[3,8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C正确，D错误，故选AC.
答案：AC
11．解析：f(－3.9)＝(－3.9)－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正确；显然x－1<[x]≤x，因此0≤x－[x]<1，∴f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错，C正确；方程f(x)－＝0的解为x＝k＋(k∈Z)，D正确，故选ACD.
答案：ACD
12.
解析：函数y＝x2－4x－4的部分图象如图，f(0)＝f(4)＝－4，f(2)＝－8.因为函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，所以m的取值范围是[2,4]，故选ABC.
答案：ABC
13．解析：∵f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝0，
∴f(x)＝，又f(－1)＝－f(1)，∴＝－，解得b＝0，∴f(x)＝.
答案：f(x)＝
14．解析：令3x＋1＝t，则x＝，∴f(t)＝2×－3＝t－，∴f(x)＝x－，∴f(a)＝a－＝1，∴a＝7.
答案：7
15．解析：因为f＝f＝f，又f＝＝－2.∵函数f(x)为奇函数，∴f＝－f＝2.
答案：2
16．解析：根据题意，函数f(x)是R上的奇函数，且f(－5)＝0，则f(5)＝－f(－5)＝0，又由函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则在区间(0,5)上，f(x)>0，在区间(5，＋∞)上，f(x)<0，又由函数为奇函数，则在区间(－5,0)上，f(x)<0，在区间(－∞，－5)上，f(x)>0，不等式(x－3)f(x)>0 或则3答案：(－5,0)∪(3,5)
17．解析：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
18．解析：(1)由题意得m2－5m＋7＝1，
即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3.
又f(x)为偶函数，所以m＝3，此时f(x)＝x2.
(2)由(1)知，g(x)＝x2－ax－3，因为g(x)＝x2－ax－3在[1,3]上不是单调函数，所以1<<3，解得219．解析：(1)∵f(x)＝为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝恒成立．∴a＝b＝0，∴f(x)＝.
(2)f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，x1x2－1>0，(x＋1)(x＋1)>0，∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
20．解析：(1)因为函数f(x)＝＝＝a＋在区间(－2，＋∞)上是减函数，所以1－2a>0，解得a<，所以a的取值范围.
(2)当a＝－1时，f(x)＝＝－1＋，则f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递减，因为[1,4] (－2，＋∞)，所以f(x)在[1,4]的最大值是f(1)＝＝0，最小值是f(4)＝＝－，所以该函数在区间[1,4]上的最大值为0，最小值为－.
21．解析：(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x>0，则－x<0，
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)
∴f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为：x＝a＋1，
当a＋1≤1时，g(1)＝1－2a为最小；
当1当a＋1>2时，g(2)＝2－4a为最小．
综上有：g(x)的最小值为
22．解析：(1)由题意得，g(x)＝x＋， x1，x2∈[2，＋∞)，且x1则g(x1)－g(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝.
由x2>x1≥2，得x1－x2<0，x1x2－4>0.
于是g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)所以函数g(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．
(2)原不等式可化为ax2－2(a＋1)x＋4>0.
因为a>0，故(x－2)>0.
①当<2，即a>1时，得x<或x>2.
②当＝2，即a＝1时，得到(x－2)2>0，所以x≠2；
③当>2，即0.
综上所述，
当0当a＝1时，不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a>1时，不等式的解集为∪(2，＋∞)．