第三章 函数 单元测试-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（含解析）

新人教B版 必修一 函数单元检测卷
（原卷+答案）
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)
　
f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是(　　)
(3，－2) B．(3，2) C．(－3，－2) D．(2，－3)
3．函数f(x)＝－的定义域是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R
4．设f(x)＝则f(5)的值是(　　)
A．24 B．21 C．18 D．16
5．下列各组函数相等的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝1，g(x)＝x0
C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
6．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间为(　　)
A．(－2，0) B．(1，2) C．(0，1) D．(0，0.5)
7．若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(1)A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．单调性不能确定
8．设f(x)是区间[－1，1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在区间[－1，1]内(　　)
A.可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为(　　)
A．－1 B． C．1 D．3
10．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象不可能是(　　)
11．下列四个函数中，在(－∞，0)上是减函数的为(　　)
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝1－
C．f(x)＝x2－5x－6 D．f(x)＝3－x
12．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2 B．a≥2 C．－2≤a≤2 D．－2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．
14．函数f(x)＝的零点个数是________.
15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量/千瓦时 高峰电价/(元/千瓦时)
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量/千瓦时 低谷电价/(元/千瓦时)
50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)
16．对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称；
②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确结论的序号为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
18．(12分)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
19．(12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－4)，f(5)的值；
(2)画出函数f(x)的图象，并直接写出处于图象上升阶段时x的取值集合；
(3)当x∈[－2，0]时，求函数的值域．
20．(12分)已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2，6]上的最大值和最小值．
21．(12分)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
22．(12分)(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，求f(x)的解析式；
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
①求出函数f(x)在R上的解析式；
②写出函数的单调区间(写出即可，不需要证明).
参考答案
1．解析：由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．
答案：D
2．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3).
又f(－3)＝2，所以f(3)＝－2，所以点(3，－2)在函数f(x)的图象上．
答案：A
3．解析：要使函数有意义，x的取值需满足
解得x≥－1，且x≠0，
则函数的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞).
答案：C
4．解析：f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
答案：A
5．解析：选项A，B，D中两函数定义域不同，只有C项符合．
答案：C
6．解析：函数f(x)的图象在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，因为f(0)＝5>0，f(1)＝1>0，f(2)＝－9<0，
所以f(1)·f(2)<0，所以零点所在的大致区间为(1，2).
答案：B
7．解析：函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A，B，C错误，D正确．
答案：D
8．解析：由f(x)在区间[－1，1]上是增函数，且f(－)·f()<0，知f(x)在区间上有唯一的零点，∴方程f(x)＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．
答案：C
9．解析：当α＝－1时，函数y＝x－1的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，A不符合题意；当α＝时，函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，B不符合题意；当α＝1时，函数y＝x的定义域为R且为奇函数，C符合题意；当α＝3时，函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选CD.
答案：CD
10．解析：因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c<0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方．
答案：ABC
11．解析：A、C、D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B不正确．
答案：ACD
12．解析：因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选AB.
答案：AB
13．解析：当x∈[－1，0]时，y＝x＋1；当x∈(0，2]时，y＝－x，
故f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
14．解析：当x<0时，令2x＋3＝0，解得x＝－，当x≥0时，令x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以函数共有3个零点．
答案：3
15．解析：高峰时间段电费为50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元).
低谷时间段电费为50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元).
故该家庭本月应付的电费为118.1＋30.3＝148.4(元).
答案：148.4
16．解析：若f(x)为奇函数，则f(x－1)＝－f(1－x)，故①正确．
令t＝x－1，则由f(x＋1)＝f(x－1)可知，f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，其图象不一定关于直线x＝1对称．例如，函数f(x)＝－(其中[x]表示不超过x的最大整数)，其图象如图所示，满足f(x＋1)＝f(x－1)，但其图象不关于直线x＝1对称，故②不正确．
若g(x)＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴③正确．
对于④，不妨令f(x)＝x，则f(1＋x)＝1＋x，f(1－x)＝1－x，二者图象关于x＝0对称，故④错误．
答案：①③
17．解析：(1)根据题意知
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞).
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
18．解析：y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞).
19．解析：(1)因为－4<0，5>0，
所以f(－4)＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5，f(5)＝－5－3＝－8.
(2)画图如图所示，图象上升时x的取值集合为{x|－1≤x≤0}．
(3)当x∈[－2，0]时，函数的值域为[－4，－3].
20．解析：(1)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明：任取x2>x1>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在[2，6]上单调递减，
所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.
21．解析：(1)由f(0)＝1，得c＝1，
所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x.
所以所以
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1＞0，得m＜－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
22．解析：(1)令x＋1＝t，
则x＝t－1，
因为f(x＋1)＝x2－5x＋4，
所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10，
所以f(x)＝x2－7x＋10.
(2)①设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(0)＝0，
所以f(x)＝
②画出函数f(x)＝的图象，
如图：
由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为[－1，0)，(0，1].