第五章 三角函数 单元测试-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

人教A版（2019）第一册三角函数单元测试
（共21题，共150分）
一、选择题（共10题，共50分）
（5分） 的弧度数是
A． B． C． D．
（5分）若角 的终边经过点 ，则
A． B． C． D．
（5分）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边经过点 ，则
A． B． C． D．
（5分）已知 ， 是第三象限的角，则
A． B． C． D．
（5分）
A． B． C． D．
（5分）在 内使 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
（5分）若 ，，则
A． B． C． D．
（5分）若角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则
A． B． C． D．
（5分）函数 的图象关于
A．原点对称 B．直线 对称
C． 轴对称 D．直线 对称
（5分）一个半径为 的水轮，水轮圆心 距离水面 ，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向） 圈，当水轮上的点 从水中浮现时开始计时，即从图中点 开始计算时间．当时间 秒时，点 离水面的高度为
A． B． C． D．
二、填空题（共5题，共30分）
（6分）设扇形的弧长为 ，半径为 ，则该扇形的圆心角为 ．
（6分）已知点 在角 的终边上，则 ．
（6分）函数 图象的一条对称轴为直线 ，则 ．
（6分）化简 ．
（6分）如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方 处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是 ，每经过 小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移 （假设向上为正）与振动时间 的关系式可以是 ．
三、解答题（共6题，共70分）
（10分）已知函数 ，．
(1) 求函数 的最小正周期；
(2) 若函数 有零点，求实数 的取值范围．
（12分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 进行改造，如图所示，平行四边形 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 在围墙 弧上，点 和点 分别在道路 和道路 上，且 米，，设 ．
(1) 当 时，求停车场的面积（精确到 平方米）；
(2) 写出停车场面积 关于 的函数关系式，并求当 为何值时，停车场面积 取得最大值．
（12分）解决问题．
(1) 已知角 终边上有一点 的坐标是 ，其中 ，求 的值；
(2) 证明恒等式：．
（12分）已知 ，且满足 ．
(1) 求证：；
(2) 求 的最大值，并求当 取得最大值时 的值．
（12分）如图，点 ， 分别是角 ， 的终边与单位圆的交点．
(1) 证明：；
(2) 设 ，，求 的值．
（12分）已知函数 ．
(1) 化简 的表达式，并用“五点作图法”作出 在 上的图象；（要求先列表后作图）
(2) 指出函数 图象的单调递减区间及对称轴方程；
(3) 若 ，，且 满足 ，求 的值．
答案
一、选择题（共10题，共50分）
1. 【答案】D
【知识点】弧度制
2. 【答案】C
【知识点】任意角的概念
3. 【答案】C
【知识点】任意角的三角函数定义
4. 【答案】C
【解析】因为 ， 是第三象限的角，
所以其正弦值为负，则 ，
故选C．
【知识点】同角三角函数的基本关系
5. 【答案】D
【解析】 ．
【知识点】诱导公式
6. 【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ．
在同一坐标系中作出函数 与 的图象，如图．
观察图象易得， 的 ．
【知识点】正弦函数的图象、余弦函数的图象
7. 【答案】A
【知识点】两角和与差的正切
8. 【答案】D
【解析】因为角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，
所以 ，，
因此 ．
【知识点】二倍角公式
9. 【答案】D
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
10. 【答案】B
【解析】 秒时，水轮转过角度为 ，此时 点与 恰好在直径的两端点，因为水轮圆心 距离水面 ，所以 秒时，点 离水面的高度为 ．
【知识点】三角函数模型的应用
二、填空题（共5题，共30分）
11. 【答案】
【知识点】弧度制
12. 【答案】
【知识点】任意角的三角函数定义
13. 【答案】
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
14. 【答案】
【知识点】二倍角公式
15. 【答案】 （答案不唯一）
【解析】不妨设 （其中 ，）．
由题知 ，周期 ，
所以 ．
当 时，，且小球开始向上运动，
所以 ，，
不妨取 ，
故所求关系式可以为 ．
【知识点】三角函数模型的应用
三、解答题（共6题，共70分）
16. 【答案】
(1)
所以周期 ．
(2) 令 ，即 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以，若 有零点，则实数 的取值范围是 ．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
17. 【答案】
(1) 停车场的面积为 平方米．
(2) ，当 时，停车场面积 取得最大值．
【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
18. 【答案】
(1) 当 时，点 到原点的距离为 ，
由三角比的定义可得：，，
．
(2)
【知识点】任意角的三角函数定义、二倍角公式
19. 【答案】
(1) 证明略
(2) 的最大值为 ，当 取得最大值时 ．
【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦
20. 【答案】
(1) 证明略．
(2) ．
【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦
21. 【答案】
(1)
因为 ，，列表如下：
(2) 由题意得：，．
解得 ，，
所以函数 图象的单调递减区间为 ，．
令 ，，解得 ，，
所以函数 图象的对称轴方程为 ，．
(3) 因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．
又 ，所以 ．
当 时，
当 时，
综上， 的值为 或 ．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、两角和与差的正弦