第一章 预备知识 单元检测卷-数学北师大版（2019）必修第一册（含解析）

新北师大版 必修一 预备知识单元检测卷
（原卷+答案）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－22．已知集合A＝{0,1，a2}，B＝{1,0,2a＋3}，若A＝B，则a等于(　　)
A．－1或3 B．0或1
C．3 D．－1
3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M4．若集合A＝{x|x2＋2x>0}，B＝{x|x2＋2x－3<0}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－3B．{x|－3C．R
D．{x|－35．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1 B．a≤1
C．－16．已知命题p： x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0，若命题p是假命题，则a的取值范围为(　　)
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．17．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，则a＋b＝(　　)
A．－3 B．1
C．－1 D．3
8．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
10．已知下列说法：
①命题“ x∈R，x2＋1>3x”的否定是“ x∈R，x2＋1<3x”；
②命题“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”；
③“a>2”是“a>5”的必要不充分条件；
④命题：对任意x∈R，总有x2>0.
其中说法正确的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
11．下列说法错误的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若－2C．若a>b>0，m>0，则<
D．若a>b，c>d，则ac>bd
12．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x>0，y>0时，＋≥2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．命题“ x>0,2x＋1≥0”的否定是________．
14．若“|x|≤2”是“x≤a”的充分不必要条件，则a的最小值是________．
15．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝________，c＝________.
16．若正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值等于________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|－218．(12分)正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
19．(12分)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围．
20．(12分)请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．
21．(12分)已知y＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式y≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式y≤0.
22．(12分)(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
(2)当－1参考答案
1．解析：M∩N＝{x|－2答案：C
2．解析：由A＝B有a2＝2a＋3，解得a＝－1，a＝3.当a＝－1时，A＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，舍去．当a＝3时，A＝{0,1,9}＝B，满足题意．
答案：C
3．解析：M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝2＋>0，∴M>N，故选A.
答案：A
4．解析：A＝{x|x2＋2x>0}＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|x2＋2x－3<0}＝{x|－3答案：D
5．解析：命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的否定为：对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0恒成立，下面先求对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0恒成立时a的取值范围：
(1)当a＝0时，不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不符合题意；
(2)当a≠0时，有解得a≥1，
所以存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的实数a的取值范围是a<1.
答案：A
6．解析：由题意知：命题p是假命题，其否定： x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0为真命题，即Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.
答案：B
7．解析：A＝{x|－1答案：A
8．解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.
答案：B
9．解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
10．解析：对于①命题“ x∈R，x2＋1>3x”的否定是“ x∈R，x2＋1≤3x”，故错误；对于②命题“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”，正确；对于③，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，正确；对于④，当x＝0时，x2＝0，故错误．故选BC.
答案：BC
11．解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2× ＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确．故选AD.
答案：AD
13．答案： x>0,2x＋1<0
14．解析：由|x|≤2得－2≤x≤2，
∵“|x|≤2”是“x≤a”的充分不必要条件，
∴{x|－2≤x≤2} {x|x≤a}，∴a≥2.
即a的最小值是2.
答案：2
15．解析：由题意知a<0，且不等式对应方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系得，解得
答案：－6　－1
16．解析：∵x＋y＝xy，∴＋＝1，∴x＋4y＝(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝时取等号．
答案：9
17．解析：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2B＝{x|－3∴ UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－318．解析：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
19．解析：根据题意，要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，
得2×100×≥3 000，整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
解得x≥3或x≤－，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
20．解析：若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得m≥5，
所以，实数m的取值范围是[5，＋∞)．
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有，解得0所以，实数m的取值范围是(0,3]．
若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，
所以，不存在满足条件的实数m.
21．解析：(1)当a＝时，y＝x2－x＋1≤0，
即(x－2)≤0，解得≤x≤2.
故原不等式的解集为.
(2)由y≤0得，(x－a)≤0，
当0a，所以原不等式的解集为
；
当a>1时，有；
当a＝1时，原不等式的解集为{1}．
综上所述，当0；
当a>1时，原不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式的解集为{1}．
22．解析：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2所以2,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根且a<0.
所以由韦达定理有：即
则不等式cx2＋bx＋a>0化为6ax2－5ax＋a>0.
即6x2－5x＋1<0，即(2x－1)(3x－1)<0.则所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为：.
(2)设f(x)＝x2－mx＋(m－7)．
不等式x2－mx＋(m－7)<0恒成立，即f(x)max<0(－1函数f(x)＝x2－mx＋(m－7)的开口向上，对称轴为x＝.
当≥1，即m≥2时，f(x)max＝f(－1)＝1＋m＋m－7<0，
则m<3，所以2≤m<3.
当<1，即m<2时，f(x)max＝f(3)＝9－3m＋m－7<0，
则m>1，所以1综上，1