第三章 函数的概念和性质 单元测试-人教A版（2019）必修第一册（含解析）

人教A版（2019）第一册函数的概念与性质单元测试
（共21题，共150分）
一、选择题（共10题，共50分）
（5分）函数 的定义域是
A． B．
C． D．
（5分）函数 的定义域为
A． B．
C． D．
（5分）已知函数 ，，则函数 的图象是
A． B． C． D．
（5分）已知函数 ，则
A． B． C． D．
（5分）下列函数中，在区间 上单调递增的是
A． B． C． D．
（5分）函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
（5分）已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立的 取值范围为
A． B．
C． D．
（5分）已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为
A． B． C． D．
（5分）函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
（5分）某公园门票单价 元，相关优惠政策如下：
① 人（含）以上团体购票 折优惠；
② 人（含）以上团体购票 折优惠；
③ 人（含）以上团体购票 折优惠；
④购票总额每满 元减 元（单张票价不优惠）．
现购买 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
二、填空题（共5题，共30分）
（6分）函数 的定义域是 ．
（6分）设函数 的定义域为 ，若存在实数 ，使得对于任意 ，都有 ；则称 为“ 单调增函数”．
对于“ 单调增函数”，有以下四个结论：
①“ 单调增函数” 一定在 上单调递增；
②“ 单调增函数” 一定是“ 单调增函数”（其中 ，且 ）；
③函数 是“ 单调增函数”（其中 表示不大于 的最大整数）；
④函数 不是“ 单调增函数”．
其中，所有正确的结论序号是 ．
（6分）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ．
（6分）已知幂函数 的图象过 ，则 ．
（6分）设在海拔 （单位：）处的大气压强为 （单位：）， 与 的函数关系可近似表示为 ，已知在海拔 处的大气压强为 ，则根据函数关系式，在海拔 处的大气压强为 ．
三、解答题（共6题，共70分）
（10分）讨论函数 的单调性．
（12分）画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域；
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
（12分）判断下列函数的奇偶性：
(1) ，；
(2) ．
（12分）已知幂函数 的图象经过点 ．
(1) 求函数 的解析式；
(2) 若函数 满足条件 ，试求实数 的取值范围．
（12分）已知幂函数 为偶函数，且在 上是偶函数．
(1) 求 的解析式；
(2) 设函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
（12分）某大理石工厂初期花费 万元购买磨大理石刀具，第一年需要各种费用 万元，从第二年起，每年所需费用比上一年增加 万元，该大理石加工厂每年总收入 万元．
(1) 到第几年末总利润最大，最大值是多少？
(2) 到第几年末年平均利润最大，最大值是多少？
答案
一、选择题（共10题，共50分）
1. 【答案】C
【解析】由题意，，解得 ，
则函数 的定义域是 ．
【知识点】函数的定义域的概念与求法
2. 【答案】C
【解析】由 得 且 ．故选C．
【知识点】函数的定义域的概念与求法
3. 【答案】D
【解析】当 时，，则 ；
当 时，，则 ，
所以 ，
函数 的图象与选项D中的对应，故选D．
【知识点】分段函数
4. 【答案】C
【解析】 ，
所以 ．
【知识点】分段函数
5. 【答案】A
【解析】函数 ，，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，
故选A．
【知识点】函数的单调性
6. 【答案】C
【解析】由函数最大值、最小值的概念知C正确．
【知识点】函数的最大（小）值
7. 【答案】D
【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性
8. 【答案】A
【解析】设幂函数 ，则由 的图象过点 得 ，解得 ，则 ．
故选A．
【知识点】幂函数及其性质
9. 【答案】B
【解析】 ，，
故答案为B．
【知识点】幂函数及其性质
10. 【答案】B
【解析】由于购票人数少于 故政策②，③不可能享受；
在合理范围内政策④比政策①要优惠；
而原价为 ，大于 ，不足 ，
所以应将 张票分为两部分购买，
其中 张门票享受政策①， 张门票享受政策④，
即 ，
故选：B．
【知识点】函数模型的综合应用
二、填空题（共5题，共30分）
11. 【答案】
【知识点】函数的定义域的概念与求法
12. 【答案】②，③，④
【知识点】函数的单调性
13. 【答案】
【解析】代入点 ，则 ，得 ，
函数为 ，．
【知识点】幂函数及其性质
14. 【答案】
【解析】设幂函数 ，
其图象过点 ，
，解得：，
，
．
【知识点】幂函数及其性质
15. 【答案】
【解析】根据题意得：，
所以 ，
所以 ．
【知识点】函数模型的综合应用
三、解答题（共6题，共70分）
16. 【答案】设 ，且 ，则 ，
因为 ，
所以 ，，．
当 时，， 在区间 上是严格减函数；
当 时，， 在区间 上是严格增函数；
当 时，， 在区间 上是常值函数．
【知识点】函数的单调性
17. 【答案】
(1) 定义域为 ，值域为 ．
(2) 定义域为 ，值域为 ．
(3) 定义域为 ，值域为 ．
(4) 定义域为 ，值域为 ．
【知识点】函数的表示方法
18. 【答案】
(1) 因为函数 的定义域为 ，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．
(2) 由 得，，
又 ，
所以 ，
所以 且 ，
所以定义域关于原点对称，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 为奇函数．
【知识点】函数的奇偶性
19. 【答案】
(1) 因为 ，
所以 ．
所以 ．
(2) 因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以满足条件 的实数 的取值范围为 ．
【知识点】函数的单调性、幂函数及其性质
20. 【答案】
(1) 幂函数 为偶函数，且在 上是增函数，则 为偶数，且 ，得 ，即 或 或 ．
当 与 时， 是奇数，不合题意；
当 时，．即 的解析式为 ．
(2) 由（）知，，
若 对任意 恒成立，则 ，即 ，
故实数 的取值范围为 ．
【知识点】幂函数及其性质、函数的奇偶性
21. 【答案】
(1) 设 年后的总利润为 万元，则 ，
所以到第 年末总利润最大，最大值是 万元．
(2) 年平均利润为 ，
当且仅当 时，即 时，上式取等号．
所以到第 年末平均利润最大，最大值是 万元．
【知识点】函数模型的综合应用