第一章 空间向量与立体几何 期末试题汇编（北京名校）-人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 期末试题汇编（北京名校）-人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 678.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-29 06:08:58 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何 期末试题汇编（北京名校）
一．选择题
1．（2021秋 怀柔区期末）已知向量＝（3，0，﹣4），则||＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2021秋 石景山区期末）若＝（2，﹣3，1），＝（2，0，3），＝（0，2，2），则 （+）的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．15
3．（2021秋 顺义区期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．不确定
4．（2021秋 昌平区期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，则＝（ ）
A．﹣﹣﹣ B．﹣﹣ C．﹣+﹣ D．﹣+
5．（2022春 延庆区期末）下列命题错误的是（ ）
A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线
B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行
C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角
6．（2021秋 西城区校级期末）已知平面α，β的法向量分别为＝（3，﹣1，4），＝（﹣2，3，﹣5），则（ ）
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．α，β的位置关系不确定
7．（2021秋 顺义区期末）在空间直角坐标系中，若M（0，1，3），N（2，1，1），则＝（ ）
A．（﹣2，0，2） B．（2，0，﹣2） C．（2，2，0） D．（2，2，﹣1）
8．（2021秋 大兴区期末）已知向量＝（1，0，1），＝（﹣2，2，1），＝（3，4，z），若，，共面，则z等于（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9
9．（2022春 大兴区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB的中点．令直线D1M与AA1所成的角为θ1，直线D1M与平面A1B1C1D1所成的角为θ2，二面角D1﹣AM﹣C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1＞θ2＝θ3 B．θ1＞θ3＞θ2 C．θ1＝θ2＜θ3 D．θ1＜θ3＜θ2
10．（2021秋 西城区校级期末）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春 丰台区校级期末）若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春 通州区期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，则下列结论：
①直线AD1与直线BB1所成的角为60°；
②直线BC1与平面CC1D1D所成的角为60°；
③平面ABC1D1与平面ABCD所成的二面角为60°；
④平面ABC1D1与平面ADD1A1所成的二面角为直二面角．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
13．（2021秋 昌平区期末）已知＝（x，﹣2，6）是直线l1的方向向量，＝（1，y，﹣3）是直线l2的方向向量，若直线l1∥l2，则x+y＝ ．
14．（2021秋 顺义区期末）已知向量＝（2，m，﹣4），＝（﹣1，4，2），且∥，则实数m＝ ．
15．（2022春 海淀区校级期末）如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的动点，给出以下四个命题：
①直线PC1与直线B1C所成角的大小为定值；
②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；
③若Q是对角线AC1，上一点，则PQ+QC长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1C有可能平行．
其中真命题有 ．
16．（2022春 顺义区期末）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则二面角A1﹣BD﹣A的正弦值为 ．
三．解答题
17．（2022春 丰台区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是AA1，CC1的中点．
（1）求证：BE∥平面AFD1；
（2）若N为CD的中点，求直线AN与平面AFD1所成角的正弦值．
18．（2022春 大兴区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱BB1上，且B1E＝2BE，点F是棱DD1上的一个动点．
（1）点F在什么位置时，B1F∥平面AEC，并说明理由；
（2）若直线B1C与平面AFC所成角为60°，求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
19．（2022春 北京期末）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，，CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝2．
（Ⅰ）若E是PA的中点，求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求BC与平面PAC所成角的正弦值．
20．（2022春 通州区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面A1DCB1；
（Ⅱ）求证：BC1⊥平面A1DCB1；
（Ⅲ）求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
21．（2021秋 平谷区期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．
（Ⅰ）求点A1到平面AEC1的距离；
（Ⅱ）求平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值；
第一章 空间向量与立体几何 期末试题汇编（北京名校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 怀柔区期末）已知向量＝（3，0，﹣4），则||＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：因为向量＝（3，0，﹣4），
则||＝＝5．
故选：A．
2．（2021秋 石景山区期末）若＝（2，﹣3，1），＝（2，0，3），＝（0，2，2），则 （+）的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．15
【解答】解：依题意 ，所以．
故选：A．
3．（2021秋 顺义区期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．不确定
【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，
则A（2，0，0），P（0，2，x）（0≤x≤2），O（1，1，0），
∴＝（﹣2，2，x）（0≤x≤2），＝（﹣1，1，0），
∴．
故选：A．
4．（2021秋 昌平区期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，则＝（ ）
A．﹣﹣﹣ B．﹣﹣ C．﹣+﹣ D．﹣+
【解答】解：如图，
∵＝，＝，＝，
∴＝＝＝．
故选：B．
5．（2022春 延庆区期末）下列命题错误的是（ ）
A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线
B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行
C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角
【解答】解：对于A，若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故正确，
对于B，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与这个平面平行，也可能包含于这个平面，故错误，
对于C，如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故正确，
对于D，一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角，故正确，
故选：B．
6．（2021秋 西城区校级期末）已知平面α，β的法向量分别为＝（3，﹣1，4），＝（﹣2，3，﹣5），则（ ）
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．α，β的位置关系不确定
【解答】解：平面α，β的法向量分别为＝（3，﹣1，4），＝（﹣2，3，﹣5），
对于A，∵，∴α，β不平行，故A错误；
对于B，＝﹣6﹣3﹣20＝﹣29≠0，∴α，β不垂直；
对于C，由A，B得α，β相交但不垂直，故C正确；
对于D，α，β相交但不垂直，故D错误．
故选：C．
7．（2021秋 顺义区期末）在空间直角坐标系中，若M（0，1，3），N（2，1，1），则＝（ ）
A．（﹣2，0，2） B．（2，0，﹣2） C．（2，2，0） D．（2，2，﹣1）
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，M（0，1，3），N（2，1，1），
∴＝（2，0，﹣2）．
故选：B．
8．（2021秋 大兴区期末）已知向量＝（1，0，1），＝（﹣2，2，1），＝（3，4，z），若，，共面，则z等于（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9
【解答】解：∵＝（1，0，1），＝（﹣2，2，1），＝（3，4，z），，，共面，
∴存在实数x，y满足＝x+y，
∴（1，0，1）＝（﹣2x+3y，2x+4y，x+yz），
∴ ，
故选：D．
9．（2022春 大兴区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB的中点．令直线D1M与AA1所成的角为θ1，直线D1M与平面A1B1C1D1所成的角为θ2，二面角D1﹣AM﹣C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1＞θ2＝θ3 B．θ1＞θ3＞θ2 C．θ1＝θ2＜θ3 D．θ1＜θ3＜θ2
【解答】解：取A1B1的中点N，连接如图，
易得AA1∥MN，故直线D1M与AA1所成的角θ1＝∠D1MN，
又直线D1D⊥平面A1B1C1D1，
故直线D1M与平面A1B1C1D1所成的角为θ2＝∠D1MD，
又AB⊥平面AA1D1D，
故二面角D1﹣AM﹣C的平面角为θ3＝∠D1AD＝45°，
因为，
故tanθ1＞tanθ3＞tanθ2，
又θ1，θ2，θ3均为锐角，故θ1＞θ3＞θ2．
故选：B．
10．（2021秋 西城区校级期末）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（4，0，2），B（4，4，0），C1（0，4，2），
∴＝（0，4，﹣2），＝（﹣4，4，0），
设平面A1BC1的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝2，则＝（1，1，2），
平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为θ，
则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为：
cosθ＝＝＝．
故选：A．
11．（2022春 丰台区校级期末）若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，AC∩BD＝O，H为AD中点，
在正四棱锥P﹣ABCD中，易知∠PHO为侧面与底面所成角，
又，则，
∴．
故选：B．
12．（2022春 通州区期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，则下列结论：
①直线AD1与直线BB1所成的角为60°；
②直线BC1与平面CC1D1D所成的角为60°；
③平面ABC1D1与平面ABCD所成的二面角为60°；
④平面ABC1D1与平面ADD1A1所成的二面角为直二面角．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BB1∥AA1，
∴∠A1AD1为直线AD1与直线BB1所成的角，
又AA1＝1，A1D1＝，∴在Rt△A1AD1中，tan∠A1AD1＝＝，
∴∠A1AD1＝60°，故①正确；
由BC⊥平面CC1D1D，所以∠BC1C为直线BC1与平面CC1D1D所成的角，
在Rt△C1BC中，tan∠BC1C＝＝，
∴∠BC1C＝60°，故②正确；
∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠CBC1为二面角C1﹣BA﹣C的平面角，
由②知∠BC1C＝60°，∴∠CBC1＝30°，故③错误；
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AB∥AA1，AB∥AD，
又AD∩AA1＝A，∴AB⊥面ADD1A1，又AB 面ABC1D1，
∴面ABC1D1⊥面ADD1A1，
∴平面ABC1D1与平面ADD1A1所成的二面角为直二面角．故④正确．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋 昌平区期末）已知＝（x，﹣2，6）是直线l1的方向向量，＝（1，y，﹣3）是直线l2的方向向量，若直线l1∥l2，则x+y＝ ﹣1 ．
【解答】解：＝（x，﹣2，6）是直线l1的方向向量，＝（1，y，﹣3）是直线l2的方向向量，
若直线l1∥l2，则，
∴，则x＝﹣2，y＝1．
∴x+y＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（2021秋 顺义区期末）已知向量＝（2，m，﹣4），＝（﹣1，4，2），且∥，则实数m＝ ﹣8 ．
【解答】解：∵向量＝（2，m，﹣4），＝（﹣1，4，2），且∥，
∴，
解得实数m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
15．（2022春 海淀区校级期末）如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的动点，给出以下四个命题：
①直线PC1与直线B1C所成角的大小为定值；
②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；
③若Q是对角线AC1，上一点，则PQ+QC长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1C有可能平行．
其中真命题有 3个 ．
【解答】解：对于①，由正方体的性质可知，B1C⊥平面ABC1D1，又PC1 平面ABC1D1，
故B1C⊥PC1，异面直线PC1与直线B1C的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面PBC1即为平面ABC1D1，平面ABC1D1与平面BC1D所成的二面角为定值，
而这两个平面位置固定不变，故二面角P﹣BC1﹣D为定值，②正确；
对于③，将平面ACC1沿直线AC1翻折到平面ABC1D1内，平面图如下，
过C点做CP⊥AD1，CP∩AC1＝Q，CP∩BC1＝E，
此时，PQ+QC的值最小，
由题可知，，
，
则C1AC﹣1＝，
故，又PE＝AB＝1，
故PQ+QC的最小值为，故③错误；
对于④，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中易证A1C⊥平面BDC1，
设AC∩BD＝O，则∠A1OC1即为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，
又正方体棱长为1，故，则，
由余弦定理得，故，同理，
故在AA1上必然存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣C1为，
即平面EBD⊥平面BDC1，平面EBD与平面ADD1A1的交线为ED，
则ED∩AD1＝P，过P点作BD的垂线PR，此时PR⊥平面BDC1，
又A1C⊥平面BDC1，故PR∥A1C，故④正确．
故答案为：3个．
16．（2022春 顺义区期末）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则二面角A1﹣BD﹣A的正弦值为 ．
【解答】解：如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O，
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角A1﹣BD﹣A的平面角．
在Rt△AlOA中，．
即截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1﹣BD﹣A的正弦值等于．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
17．（2022春 丰台区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是AA1，CC1的中点．
（1）求证：BE∥平面AFD1；
（2）若N为CD的中点，求直线AN与平面AFD1所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
由题得B（2，2，0），E（2，0，2），∴，
A（2，0，0），D1（0，0，4），F（0，2，2），∴，
设平面AFD1的法向量为，
所以，∴，
所以，
因为BE 平面AFD1，所以BE∥平面AFD1．
（2）解：由题得A（2，0，0），N（0，1，0），∴，
设直线AN与平面AFD，所成角为α，
所以．
所以直线AN与平面AED1所成角的正弦值为．
18．（2022春 大兴区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱BB1上，且B1E＝2BE，点F是棱DD1上的一个动点．
（1）点F在什么位置时，B1F∥平面AEC，并说明理由；
（2）若直线B1C与平面AFC所成角为60°，求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
【解答】解：（1）点F位于DD1的三等分点（靠近D点）时，B1F∥平面AEC，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为3a，
则A（0，0，0），E（3a，0，a），C（3a，3a，0），B1（3a，0，3a），
＝（3a，3a，0），＝（3a，0，a），
设F（0，3a，t），
设平面ACE的法向量为＝（x，y，z），
则，令x＝1得：y＝﹣1，z＝﹣3，
所以，
因为，
令，
解得：t＝a，
所以当点F位于DD1的三等分点（靠近D点）时，B1F∥平面AEC；
（2）设点F（0，3a，b），直线B1C与平面AFC所成角为60°，
设平面ACF的法向量为，＝（0，3a，a），
则，令y1＝1得：，
则，
所以，
解得：，
则＝（﹣1，1，﹣2），
所以，
设二面角E﹣AC﹣F的大小为θ，显然θ为钝角，
则．
19．（2022春 北京期末）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，，CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝2．
（Ⅰ）若E是PA的中点，求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求BC与平面PAC所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点M，连接ME，MC，
∵E是PA的中点，∴EM∥CAB，且ME＝AB＝1，
∵AB∥CD，CD＝1，∴ME∥CD且ME＝CD，
∴四边形MEDC是平行四边形，∴ED∥MC，
∵CM 平面PBC，DE 平面PBC，
∴DE∥平面PBC；
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD 面ABCD，
∴BD⊥PA，
Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝，
∴tan∠ABD＝tan∠DAC，结合∠ABD、∠DAC都是锐角，
得∠ABD＝∠DAC＝90°﹣∠ADB，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，得BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（Ⅲ）解：记BD∩AC于N，由（Ⅱ）知BD⊥平面PAC，
∴∠BCN为BC与平面PAC所成角，
由Rt△BAD，可得BD＝＝，
∵BD×AN＝AB×AD，解得AN＝＝，
∴BN＝，∵AC＝＝，∴CN＝，
∴BC＝＝，
∴sin∠BCN＝＝．
∴BC与平面PAC所成角的正弦值．
20．（2022春 通州区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面A1DCB1；
（Ⅱ）求证：BC1⊥平面A1DCB1；
（Ⅲ）求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
【解答】（I）证明：∵AB∥A1B1，AB 平面A1B1CD，A1B1 平面A1B1CD，
∴AB∥平面A1B1CD．
（II）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得CD⊥平面BCC1B1，
又BC1 平面BCC1B1，∴CD⊥BC1，
由四边形BCC1B1是正方形，可得BC1⊥B1C，
又B1C∩CD＝C，B1C，CD 平面A1DCB1，
∴BC1⊥平面A1DCB1；
（III）解：连接BC1交B1C于O，连接OA1，
∵四边形BCC1B1是正方形，∴OB⊥B1C，
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥OB，
又A1B1∩B1C＝B1，
∴OB⊥平面A1B1CD，
∴∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，
设正方体棱长为1，则A1B＝，OB＝，
∴sin∠OA1B＝＝，
∴∠OA1B＝30°，
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．
21．（2021秋 平谷区期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．
（Ⅰ）求点A1到平面AEC1的距离；
（Ⅱ）求平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值；
【解答】解：（I）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A1（0，0，2），E（1，1，0），C1（0，2，2），
＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2），
设平面AEC1的法向量为＝（x，y，z），
则，
取y＝﹣1，得＝（1，﹣1，1），
∴点A1到平面AEC1的距离d＝||＝＝．
∴点A1到平面AEC1的距离为．
（Ⅱ）解由（I）可得：B（2，0，0），B1（2，0，2），
所以＝（﹣2，0，﹣2）
由（I）平面AEC1的一个法向量为＝（1，﹣1，1），
因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），
所以cos＜，＞＝＝﹣，
平面AEC1与平面ABB1A1所成夹角的余弦值为．
一．选择题
1．（2021秋 怀柔区期末）已知向量＝（3，0，﹣4），则||＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2021秋 石景山区期末）若＝（2，﹣3，1），＝（2，0，3），＝（0，2，2），则 （+）的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．15
3．（2021秋 顺义区期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．不确定
4．（2021秋 昌平区期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，则＝（ ）
A．﹣﹣﹣ B．﹣﹣ C．﹣+﹣ D．﹣+
5．（2022春 延庆区期末）下列命题错误的是（ ）
A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线
B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行
C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角
6．（2021秋 西城区校级期末）已知平面α，β的法向量分别为＝（3，﹣1，4），＝（﹣2，3，﹣5），则（ ）
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．α，β的位置关系不确定
7．（2021秋 顺义区期末）在空间直角坐标系中，若M（0，1，3），N（2，1，1），则＝（ ）
A．（﹣2，0，2） B．（2，0，﹣2） C．（2，2，0） D．（2，2，﹣1）
8．（2021秋 大兴区期末）已知向量＝（1，0，1），＝（﹣2，2，1），＝（3，4，z），若，，共面，则z等于（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9
9．（2022春 大兴区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB的中点．令直线D1M与AA1所成的角为θ1，直线D1M与平面A1B1C1D1所成的角为θ2，二面角D1﹣AM﹣C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1＞θ2＝θ3 B．θ1＞θ3＞θ2 C．θ1＝θ2＜θ3 D．θ1＜θ3＜θ2
10．（2021秋 西城区校级期末）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春 丰台区校级期末）若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春 通州区期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，则下列结论：
①直线AD1与直线BB1所成的角为60°；
②直线BC1与平面CC1D1D所成的角为60°；
③平面ABC1D1与平面ABCD所成的二面角为60°；
④平面ABC1D1与平面ADD1A1所成的二面角为直二面角．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
13．（2021秋 昌平区期末）已知＝（x，﹣2，6）是直线l1的方向向量，＝（1，y，﹣3）是直线l2的方向向量，若直线l1∥l2，则x+y＝ ．
14．（2021秋 顺义区期末）已知向量＝（2，m，﹣4），＝（﹣1，4，2），且∥，则实数m＝ ．
15．（2022春 海淀区校级期末）如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的动点，给出以下四个命题：
①直线PC1与直线B1C所成角的大小为定值；
②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；
③若Q是对角线AC1，上一点，则PQ+QC长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1C有可能平行．
其中真命题有 ．
16．（2022春 顺义区期末）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则二面角A1﹣BD﹣A的正弦值为 ．
三．解答题
17．（2022春 丰台区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是AA1，CC1的中点．
（1）求证：BE∥平面AFD1；
（2）若N为CD的中点，求直线AN与平面AFD1所成角的正弦值．
18．（2022春 大兴区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱BB1上，且B1E＝2BE，点F是棱DD1上的一个动点．
（1）点F在什么位置时，B1F∥平面AEC，并说明理由；
（2）若直线B1C与平面AFC所成角为60°，求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
19．（2022春 北京期末）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，，CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝2．
（Ⅰ）若E是PA的中点，求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求BC与平面PAC所成角的正弦值．
20．（2022春 通州区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面A1DCB1；
（Ⅱ）求证：BC1⊥平面A1DCB1；
（Ⅲ）求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
21．（2021秋 平谷区期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．
（Ⅰ）求点A1到平面AEC1的距离；
（Ⅱ）求平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值；
第一章 空间向量与立体几何 期末试题汇编（北京名校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 怀柔区期末）已知向量＝（3，0，﹣4），则||＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：因为向量＝（3，0，﹣4），
则||＝＝5．
故选：A．
2．（2021秋 石景山区期末）若＝（2，﹣3，1），＝（2，0，3），＝（0，2，2），则 （+）的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．15
【解答】解：依题意 ，所以．
故选：A．
3．（2021秋 顺义区期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．不确定
【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，
则A（2，0，0），P（0，2，x）（0≤x≤2），O（1，1，0），
∴＝（﹣2，2，x）（0≤x≤2），＝（﹣1，1，0），
∴．
故选：A．
4．（2021秋 昌平区期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，则＝（ ）
A．﹣﹣﹣ B．﹣﹣ C．﹣+﹣ D．﹣+
【解答】解：如图，
∵＝，＝，＝，
∴＝＝＝．
故选：B．
5．（2022春 延庆区期末）下列命题错误的是（ ）
A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线
B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行
C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角
【解答】解：对于A，若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故正确，
对于B，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与这个平面平行，也可能包含于这个平面，故错误，
对于C，如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故正确，
对于D，一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角，故正确，
故选：B．
6．（2021秋 西城区校级期末）已知平面α，β的法向量分别为＝（3，﹣1，4），＝（﹣2，3，﹣5），则（ ）
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．α，β的位置关系不确定
【解答】解：平面α，β的法向量分别为＝（3，﹣1，4），＝（﹣2，3，﹣5），
对于A，∵，∴α，β不平行，故A错误；
对于B，＝﹣6﹣3﹣20＝﹣29≠0，∴α，β不垂直；
对于C，由A，B得α，β相交但不垂直，故C正确；
对于D，α，β相交但不垂直，故D错误．
故选：C．
7．（2021秋 顺义区期末）在空间直角坐标系中，若M（0，1，3），N（2，1，1），则＝（ ）
A．（﹣2，0，2） B．（2，0，﹣2） C．（2，2，0） D．（2，2，﹣1）
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，M（0，1，3），N（2，1，1），
∴＝（2，0，﹣2）．
故选：B．
8．（2021秋 大兴区期末）已知向量＝（1，0，1），＝（﹣2，2，1），＝（3，4，z），若，，共面，则z等于（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9
【解答】解：∵＝（1，0，1），＝（﹣2，2，1），＝（3，4，z），，，共面，
∴存在实数x，y满足＝x+y，
∴（1，0，1）＝（﹣2x+3y，2x+4y，x+yz），
∴ ，
故选：D．
9．（2022春 大兴区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB的中点．令直线D1M与AA1所成的角为θ1，直线D1M与平面A1B1C1D1所成的角为θ2，二面角D1﹣AM﹣C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1＞θ2＝θ3 B．θ1＞θ3＞θ2 C．θ1＝θ2＜θ3 D．θ1＜θ3＜θ2
【解答】解：取A1B1的中点N，连接如图，
易得AA1∥MN，故直线D1M与AA1所成的角θ1＝∠D1MN，
又直线D1D⊥平面A1B1C1D1，
故直线D1M与平面A1B1C1D1所成的角为θ2＝∠D1MD，
又AB⊥平面AA1D1D，
故二面角D1﹣AM﹣C的平面角为θ3＝∠D1AD＝45°，
因为，
故tanθ1＞tanθ3＞tanθ2，
又θ1，θ2，θ3均为锐角，故θ1＞θ3＞θ2．
故选：B．
10．（2021秋 西城区校级期末）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（4，0，2），B（4，4，0），C1（0，4，2），
∴＝（0，4，﹣2），＝（﹣4，4，0），
设平面A1BC1的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝2，则＝（1，1，2），
平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为θ，
则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为：
cosθ＝＝＝．
故选：A．
11．（2022春 丰台区校级期末）若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，AC∩BD＝O，H为AD中点，
在正四棱锥P﹣ABCD中，易知∠PHO为侧面与底面所成角，
又，则，
∴．
故选：B．
12．（2022春 通州区期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，则下列结论：
①直线AD1与直线BB1所成的角为60°；
②直线BC1与平面CC1D1D所成的角为60°；
③平面ABC1D1与平面ABCD所成的二面角为60°；
④平面ABC1D1与平面ADD1A1所成的二面角为直二面角．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BB1∥AA1，
∴∠A1AD1为直线AD1与直线BB1所成的角，
又AA1＝1，A1D1＝，∴在Rt△A1AD1中，tan∠A1AD1＝＝，
∴∠A1AD1＝60°，故①正确；
由BC⊥平面CC1D1D，所以∠BC1C为直线BC1与平面CC1D1D所成的角，
在Rt△C1BC中，tan∠BC1C＝＝，
∴∠BC1C＝60°，故②正确；
∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠CBC1为二面角C1﹣BA﹣C的平面角，
由②知∠BC1C＝60°，∴∠CBC1＝30°，故③错误；
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AB∥AA1，AB∥AD，
又AD∩AA1＝A，∴AB⊥面ADD1A1，又AB 面ABC1D1，
∴面ABC1D1⊥面ADD1A1，
∴平面ABC1D1与平面ADD1A1所成的二面角为直二面角．故④正确．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋 昌平区期末）已知＝（x，﹣2，6）是直线l1的方向向量，＝（1，y，﹣3）是直线l2的方向向量，若直线l1∥l2，则x+y＝ ﹣1 ．
【解答】解：＝（x，﹣2，6）是直线l1的方向向量，＝（1，y，﹣3）是直线l2的方向向量，
若直线l1∥l2，则，
∴，则x＝﹣2，y＝1．
∴x+y＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（2021秋 顺义区期末）已知向量＝（2，m，﹣4），＝（﹣1，4，2），且∥，则实数m＝ ﹣8 ．
【解答】解：∵向量＝（2，m，﹣4），＝（﹣1，4，2），且∥，
∴，
解得实数m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
15．（2022春 海淀区校级期末）如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的动点，给出以下四个命题：
①直线PC1与直线B1C所成角的大小为定值；
②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；
③若Q是对角线AC1，上一点，则PQ+QC长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1C有可能平行．
其中真命题有 3个 ．
【解答】解：对于①，由正方体的性质可知，B1C⊥平面ABC1D1，又PC1 平面ABC1D1，
故B1C⊥PC1，异面直线PC1与直线B1C的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面PBC1即为平面ABC1D1，平面ABC1D1与平面BC1D所成的二面角为定值，
而这两个平面位置固定不变，故二面角P﹣BC1﹣D为定值，②正确；
对于③，将平面ACC1沿直线AC1翻折到平面ABC1D1内，平面图如下，
过C点做CP⊥AD1，CP∩AC1＝Q，CP∩BC1＝E，
此时，PQ+QC的值最小，
由题可知，，
，
则C1AC﹣1＝，
故，又PE＝AB＝1，
故PQ+QC的最小值为，故③错误；
对于④，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中易证A1C⊥平面BDC1，
设AC∩BD＝O，则∠A1OC1即为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，
又正方体棱长为1，故，则，
由余弦定理得，故，同理，
故在AA1上必然存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣C1为，
即平面EBD⊥平面BDC1，平面EBD与平面ADD1A1的交线为ED，
则ED∩AD1＝P，过P点作BD的垂线PR，此时PR⊥平面BDC1，
又A1C⊥平面BDC1，故PR∥A1C，故④正确．
故答案为：3个．
16．（2022春 顺义区期末）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则二面角A1﹣BD﹣A的正弦值为 ．
【解答】解：如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O，
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角A1﹣BD﹣A的平面角．
在Rt△AlOA中，．
即截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1﹣BD﹣A的正弦值等于．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
17．（2022春 丰台区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是AA1，CC1的中点．
（1）求证：BE∥平面AFD1；
（2）若N为CD的中点，求直线AN与平面AFD1所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
由题得B（2，2，0），E（2，0，2），∴，
A（2，0，0），D1（0，0，4），F（0，2，2），∴，
设平面AFD1的法向量为，
所以，∴，
所以，
因为BE 平面AFD1，所以BE∥平面AFD1．
（2）解：由题得A（2，0，0），N（0，1，0），∴，
设直线AN与平面AFD，所成角为α，
所以．
所以直线AN与平面AED1所成角的正弦值为．
18．（2022春 大兴区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱BB1上，且B1E＝2BE，点F是棱DD1上的一个动点．
（1）点F在什么位置时，B1F∥平面AEC，并说明理由；
（2）若直线B1C与平面AFC所成角为60°，求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
【解答】解：（1）点F位于DD1的三等分点（靠近D点）时，B1F∥平面AEC，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为3a，
则A（0，0，0），E（3a，0，a），C（3a，3a，0），B1（3a，0，3a），
＝（3a，3a，0），＝（3a，0，a），
设F（0，3a，t），
设平面ACE的法向量为＝（x，y，z），
则，令x＝1得：y＝﹣1，z＝﹣3，
所以，
因为，
令，
解得：t＝a，
所以当点F位于DD1的三等分点（靠近D点）时，B1F∥平面AEC；
（2）设点F（0，3a，b），直线B1C与平面AFC所成角为60°，
设平面ACF的法向量为，＝（0，3a，a），
则，令y1＝1得：，
则，
所以，
解得：，
则＝（﹣1，1，﹣2），
所以，
设二面角E﹣AC﹣F的大小为θ，显然θ为钝角，
则．
19．（2022春 北京期末）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，，CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝2．
（Ⅰ）若E是PA的中点，求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求BC与平面PAC所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点M，连接ME，MC，
∵E是PA的中点，∴EM∥CAB，且ME＝AB＝1，
∵AB∥CD，CD＝1，∴ME∥CD且ME＝CD，
∴四边形MEDC是平行四边形，∴ED∥MC，
∵CM 平面PBC，DE 平面PBC，
∴DE∥平面PBC；
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD 面ABCD，
∴BD⊥PA，
Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝，
∴tan∠ABD＝tan∠DAC，结合∠ABD、∠DAC都是锐角，
得∠ABD＝∠DAC＝90°﹣∠ADB，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，得BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（Ⅲ）解：记BD∩AC于N，由（Ⅱ）知BD⊥平面PAC，
∴∠BCN为BC与平面PAC所成角，
由Rt△BAD，可得BD＝＝，
∵BD×AN＝AB×AD，解得AN＝＝，
∴BN＝，∵AC＝＝，∴CN＝，
∴BC＝＝，
∴sin∠BCN＝＝．
∴BC与平面PAC所成角的正弦值．
20．（2022春 通州区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面A1DCB1；
（Ⅱ）求证：BC1⊥平面A1DCB1；
（Ⅲ）求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
【解答】（I）证明：∵AB∥A1B1，AB 平面A1B1CD，A1B1 平面A1B1CD，
∴AB∥平面A1B1CD．
（II）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得CD⊥平面BCC1B1，
又BC1 平面BCC1B1，∴CD⊥BC1，
由四边形BCC1B1是正方形，可得BC1⊥B1C，
又B1C∩CD＝C，B1C，CD 平面A1DCB1，
∴BC1⊥平面A1DCB1；
（III）解：连接BC1交B1C于O，连接OA1，
∵四边形BCC1B1是正方形，∴OB⊥B1C，
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥OB，
又A1B1∩B1C＝B1，
∴OB⊥平面A1B1CD，
∴∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，
设正方体棱长为1，则A1B＝，OB＝，
∴sin∠OA1B＝＝，
∴∠OA1B＝30°，
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．
21．（2021秋 平谷区期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．
（Ⅰ）求点A1到平面AEC1的距离；
（Ⅱ）求平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值；
【解答】解：（I）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A1（0，0，2），E（1，1，0），C1（0，2，2），
＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2），
设平面AEC1的法向量为＝（x，y，z），
则，
取y＝﹣1，得＝（1，﹣1，1），
∴点A1到平面AEC1的距离d＝||＝＝．
∴点A1到平面AEC1的距离为．
（Ⅱ）解由（I）可得：B（2，0，0），B1（2，0，2），
所以＝（﹣2，0，﹣2）
由（I）平面AEC1的一个法向量为＝（1，﹣1，1），
因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），
所以cos＜，＞＝＝﹣，
平面AEC1与平面ABB1A1所成夹角的余弦值为．