第一章 空间向量与立体几何 单元测试-人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

高中数学人教A版（2019）选择性必修一空间向量与立体几何单元测试
一、单选题
1．已知点 ， ，则线段 的中点 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．如果向量 ， ， 共面，则实数 的值是（　　）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
3．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 = ，向量 ，则不能与 构成空间的一个基底的是（　　）
A． B．
C． D． 或
4．已知向量 和 分别是直线 和 的方向向量，则直线 与 所成的角为(　　)
A． B． C． D．
5．若向量 ， 且 与 的夹角余弦为 ，则λ等于（　　）
A． B． C． 或 D．2
6．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝ A1B1，则 等于(　　)
A． B． C． D．
7．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （　　）
A． B．3 C． D．4
8．已知正四面体 的各棱长为1，点 是 的中点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（　　）
A．(3，5，-2) B．(-4，-5，6)
C．( ， ， ) D．(0，3，2)
10．空间直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）
A．点 关于坐标平面 的对称点的坐标为
B．点 在平面 面上
C． 表示一个与坐标平面 平行的平面
D． 表示一条直线
11．在长方体 中， ， ，以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　）
A． 的坐标为(2，2，3)
B． =(-2，0，3)
C．平面 的一个法向量为(-3，3，-2)
D．二面角 的余弦值为
12．设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（　　）
A． B． C． D．1
三、填空题
13．如图所示，在正方体 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上移动，异面直线 与 所成角最小时，其余弦值为　 　.
14．如图,在三棱柱 中,所有棱长均为1,且 底面 ,则点 到平面 的距离为　 　.
15．如图，二面角 为 ， ， ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，若 ， ， ，则 的长度为　 　.
16．四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD是正方形，且 ， ，G是 的重心，则PG与面PAB所成角 的正弦值为　 　.
四、解答题
17．如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的多面体中，四边形 是矩形， ， ， 平面 ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
18．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ,底面是等腰直角三角形， ,侧棱 分别是 的中点.
（1）求平面 与平面 的夹角的余弦.
（2）求 与平面 所成角的余弦值.
19．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 和 上动点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
20．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ，
， 是棱 上一点，且 .
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的余弦值．
21．如图，在直四棱柱 中，四边形 为平行四边形， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
22．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为棱 的中点.
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,B,D
12．【答案】A,B
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】3
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：由题意，四边形 是矩形，可得 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
如图所示，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， .
由平面 的一个法向量为 ，
因为 ，即 ，即 ，
所以 平面
（2）解：由题意，得 ， ， ， ，
平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量 ，
可得 ， ，
由 ，可得 ，即 ，
取 ，得 ， ，所以 .
设二面角 的大小为 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为
18．【答案】（1）解： ， ， ， ，
，
设平面 的法向量 ，则
令 ,得平面 的一个法向量 ，
.
设平面 的法向量 ,则
令 ,得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以
（2）解：由（1）知，平面 的一个法向量 ，
，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
所以
19．【答案】（1）证明：以点 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 .
（2）解：由 ，得 ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量 ，∵ ， ，
由 ，得 ，令 ，得 ， ，∴ ，
∵ 平面 ，∴平面 的法向量 ，
∴ ，所以二面角 的余弦值为 .
20．【答案】（1）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），
∵ ，∴（a，b，c﹣2）= （﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣ ，1﹣ ，﹣ ），
∴ ，解得a=0，b= ，c= ，∴P（0， ， ），
=（1，0，0）， =（﹣1，﹣ ， ），
设直线AB与CP所成角为θ，
cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，
∴直线AB与CP所成角的余弦值为
（2）解： =（1， ，﹣ ）， =（0，﹣ ，﹣ ）， =（0， ，﹣ ），
设平面APC的法向量 =（x，y，z），
则 ，取y=2，得 =（﹣4，2，﹣1），
设平面PCD的法向量 =（a，b，c），
则 ，取b=1，得 =（0，1，1），
设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，
则cosθ= = = ．
∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为 ．
21．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，所以
如图建立空间直角坐标系，
设 ，则
设平面 的法向量为
则 ，即 ，所以可取
所以 ，解得
所以 ，
所以点 到平面 的距离为
（2）解：设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，可取
所以 ，由图可得平面 与平面 的夹角为锐角
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
22．【答案】（1）解： 平面 ，四边形 为正方形，设 .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 、 、 、 、 、 .
， ，
，
所以，异面直线 、 所成角的余弦值为 ；
（2）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，取 ，可得 ，则 ，
， ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，得 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
，
由图形可知，二面角 为锐角，
因此，二面角 的余弦值为 .