2.4.1 函数的奇偶性
一、选择题
1、（多选）下列说法中正确的是（ ）
A、图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B、奇函数的图象一定过坐标原点
C、图象关于y轴对称的函数是偶函数
D、偶函数的图象一定与y轴相交
2、若函数是偶函数，则、的值是（ ）
A、 B、不能确定，
C、，不能确定 D、
3、若函数为偶函数，则等于( )
A、-2 B、-1 C、1 D、2
4、为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A、3 B、-1 C、1 D、-3
5、偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，使的取值范围是( )
A、 B、
C、 D、
6、若，都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（ ）
A、最小值－5 B、最大值－5
C、最小值－1 D、最大值－3
7、已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在上的表达式是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题
8、已知函数是偶函数，则________，________。
9、是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为_____。
10、若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________。
11、若函数是偶函数，则的递减区间是________。
三、解答题
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，求当时，的表达式。2.4.1 函数的奇偶性
（答案与解析）
一、选择题
1、（多选）下列说法中正确的是（ ）
A、图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B、奇函数的图象一定过坐标原点
C、图象关于y轴对称的函数是偶函数
D、偶函数的图象一定与y轴相交
解析：由奇、偶函数的性质可知AC正确。
2、若函数是偶函数，则、的值是（ ）
A、 B、不能确定，
C、，不能确定 D、
解析：由题意得：；，故选D。
3、若函数为偶函数，则等于( )
A、-2 B、-1 C、1 D、2
解析：利用定义求值．
∵f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，
∴x·(a－1)＝x·(1－a)，
故1－a＝0，∴a＝1，故选C。
4、为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A、3 B、-1 C、1 D、-3
解析：因为为奇函数，为偶函数，则，所以：
两式相加可得：，故选A。
5、偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，使的取值范围是( )
A、 B、
C、 D、
解析：根据题目条件，想象函数图象如下：
故选B。
6、若，都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（ ）
A、最小值－5 B、最大值－5
C、最小值－1 D、最大值－3
解析：设，因为，都是奇函数，所以是奇函数，它在上的最大值为5-2=3，根据对称性它在有最小值为-3，所以在有最小值-3+2=-1，故选C。
7、已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在上的表达式是（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：当时，，所以，所以
故选D。
二、填空题
8、已知函数是偶函数，则________，________。
解析：∵f(x)是偶函数，
∴其定义域关于原点对称，
∴－2－3＝－1，∴＝－1；
∴f(x)＝.
∵，∴－＝∴，∴＝0。
9、是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为_____。
解析：是上的偶函数，所以关于轴对称，因为，所以，若方程有五个不同的实数根，根据对称性可知：，其余四根一定是成对出现的，即每两个都关于轴对称，所以这些根之和为0.
10、若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________。
解析：因为，函数在上时增函数，所以，所以。
11、若函数是偶函数，则的递减区间是________。
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴k－1＝0，∴k＝1，
∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)。
三、解答题
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，求当时，的表达式。
解：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4。
