21.1 二次函数
一、教学目标
1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.
3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
4.通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.
二、教学重难点
重点：理解、掌握二次函数的概念和一般形式.
难点：由实际问题确定函数表达式和确定自变量的取值范围.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 什么叫函数 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，其中x叫自变量， y叫因变量. 追问：目前我们已经学习了哪几种类型的函数？ 一次函数，在学习一次函数y=kx+b(k≠0)的同时还学习了正比例函数y=kx(k≠0). 【情境引入】 展示一组实际生活中的例子：喷泉、投篮、彩虹桥(还可以引导学生自己想一想生活中类似的例子，并说一说). 这些美丽的弧线会与某种函数有联系吗？这节课我们就一起探究！ 回顾并思考问题 学生观察、欣赏图片，初步了解本节课要研究的内容. 回顾旧知，为本节新知识的学习做铺垫. 让学生体会引入二次函数概念的现实背景，感受其实际意义，激发学生学习的动力.
环节二 探究新知 【思考】 问题① 如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 提示：要解决这个问题，首先要考虑“水面面积”与“矩形水面的长”有什么关系？ 预设：水面面积 = 一条边长×另一条边长 解：设矩形水面的一条边长为xm. 则矩形水面的另一个边长为(20 – x)m. 再根据前边得到的等量关系“水面面积 = 一条边长×另一条边长”得到“S=x(20–x)”. 再对这个函数关系式变形，得到S= –x2 +20x. 提问：你能描述一下S与x之间的关系吗？ 预设：此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数. 问题② 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？ 根据题目给的信息，能得到什么等量关系呢？ 预设：玩具总数=总人数×每人每天装配玩具数. 再根据等量关系，以及题目中的已知量，把未知量表示出来. 解：设增加x人，则总人数为(15+x)，每人每天装备玩具数为(190–20x)，玩具总数用y表示，可以得到， y=(15+x)(190–20x). 再对这个函数关系式变形，得到y= –10x2 +40x +2850. 提问：你能描述一下y与x之间的关系吗？ 预设：此式表示了边长x与围网的面积y之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 观察下边两个函数关系式，他们有什么特点呢？ S = –20x2 +20x，y = –10x2 +40x +2850. 预设：函数表达式都是自变量的二次式等. 问题：你能给这类特殊的函数下个定义吗？ 定义：一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量. 注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3) a，b，c是常数，且a≠0. 在问题1中，得到的关系式“S = –x2 +20x”中，自变量x的取值有什么限制呢？ 这里的x表示的是矩形的一个边长，得到x＞0. 由“长40m的围网”，得到x＜20. 所以x的取值范围是：0＜x＜20. 总结：二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 【做一做】 下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？ (1)y=3x –2 ( ) (2)m= –n –3 ( ) (3)y=x(1–2x)+2x ( ) (4)y=x(+3x) ( ) (5)y=+x –2 ( ) (6)y=x (1+x ) ( ) 根据二次函数的定义进行判断即可. (1)√；(2)√；(3)×；(4)√；(5)×；(6)×. 学生观察、思考并回答. 学生观察、思考并回答. 学生自主练习. 通过实际问题的探究，使学生在学习过程中和实际应用中逐步深化对二次函数的认识. 通过、观察分析、归纳，让学生明白二次函数的特征，理解其解析式的特点. 在认识二次函数概念的基础上，进一步学习自变量取值范围的确定. 通过练习巩固对二次函数的认识和理解.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 关于x的函数是二次函数，求m的值. 分析：要使函数是二次函数，须满什么条件呢？ 满足的条件：①等号右边的整式要含有二次项；②二次项系数不等于0. 解：根据题意，得m2–m=2，m+1≠0. 解得，m=2. 所以m=2时，函数是二次函数. 学生思考、计算并回答. 通过典型例题的分析和讲解，进一步认识和理解二次函数.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.设圆的半径为r，请填空： (1)这个圆的周长C= ，它是r的 函数； (2)这个圆的面积S= ，它是r的 函数. 答案：(1) 2πr 一次(正比例) (2) πr2 二次 2.在下列表达式中，哪些是二次函数？ (1)正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可表示为： b=0.8(220 – a)； (2)圆锥的高为h，它的体积V与底面字径r之间的关系可表示为： V=2h(h为定值)； (3)物体自由下落时，下落高度身与下落时间！之间的关系可表示为： h=2(g为定值). 答案：(1)不是二次函数 (2)(3)都是二次函数 3.如图，在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，剩余部分为绿地，请写出绿地面积y(m )与路宽x(m)之间的函数关系. 分析：思路1，绿地面积 = 矩形广场面积 – 等宽的十字形道路面积； 思路2，绿地面积等于长为（200 –x）m、宽为（80 –x）m的新矩形的面积. 答案：y=x –280x+16000(0＜x＜80) 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第4页习题21.1第1~3题 . 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.(共17张PPT)
21.1 二次函数
学习目标
二次函数
准备好了吗？一起去探索吧！
1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.
3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
4.通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.
回顾与思考
什么叫函数
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，其中x叫自变量， y叫因变量.
目前我们已经学习了哪几种类型的函数？
一次函数：y=kx+b(k≠0)
正比例函数： y=kx(k≠0)
有二次函数吗？
情境导入
喷泉
投篮
彩虹桥
这些美丽的弧
线会与某种函数
有联系吗？
思考
问题① 如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
“水面面积”与“矩形水面的长”有什么关系？
水面面积 = 一条边长×另一条边长
x m
(20–x)m
S m
S=x(20–x)
此式表示了边长x与围网的
面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
S= –x2 +20x
解：设矩形水面的一条边长为xm.
问题② 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
思考
玩具总数=总人数×每人每天装配玩具数
15+x
190–10x
y
解：设增加x人.
y=(15+x)(190–10x)
此式表示了增加的人数x与装
配玩具总数y之间的关系，对于
x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
y= –10x2 +40x +2850
观察下边两个函数关系式，他们有什么特点呢？
y = –10x2 +40x +2850
S = –20x2 +20x
函数表达式都是自变量的二次式
思考
你能给这类特殊的函数下个定义吗？
二次函数
一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.
归纳
注意：
(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；
(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；
(3) a，b，c是常数，且a≠0.
S = –x2 +20x
思考
这里的x表示的是矩形的一个边长
问题① 如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
在这个函数关系
式中，自变量x的取值有什么限
制呢？
解：设矩形水面的一条边长为xm(面积用S表示).
x＞0
长40m的围网
x＜20
所以x的取值范围是：0＜x＜20
二次函数自变量的取值范围：
一般都是全体实数，但是在一些实
际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
做一做
(1)y=3x –2 ( )
(2)m= –n –3 ( )
(3)y=x(1–2x)+2x ( )
(4)y=x(+3x) ( )
(5)y=+x –2 ( )
(6)y=x (1+x ) ( )
下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
√
√
×
合并后a=0
√
×
×
典型例题
关于x的函数
是二次函数，求m的值.
若
是二次函数，须满
足什么条件？
等号右边的整式要含有二次项
二次项系数不等于0
m2–m=2
m+1≠0
解：由题意可得，m2–m=2，m+1≠0.
解得，m=2.
所以m=2时函数
是二次函数.
抢答
随堂练习
1.设圆的半径为r，请填空：
(1)这个圆的周长C= ，它是r的 函数；
(2)这个圆的面积S= ，它是r的 函数.
2πr
一次(正比例)
πr2
二次
抢答
随堂练习
2.在下列表达式中，哪些是二次函数？
(1)正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可表示为：
(2)圆锥的高为h，它的体积V与底面字径r之间的关系可表示为：
(3)物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系可表示为：
h=2(g为定值).
V=2h(h为定值)；
b=0.8(220 – a)；
不是二次函数
不含二次项
是二次函数
是二次函数
抢答
随堂练习
3.如图，在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，剩余部分为绿地，请写出绿地面积y(m )与路宽x(m)之间的函数关系.
y=x –280x+16000(0＜x＜80)
分析：思路1，绿地面积 = 矩形广场面积 – 等宽的十字形道路面积；
思路2，绿地面积等于长为（200 –x）m、宽为（80 –x）m的新矩形的面积.
二次函数
二次函数的定义：
自变量的取值范围：
一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.
一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
教科书第4页习题21.1
第1~3题
再见
