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八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
一、轴对称图形
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
二、两个图形关于这条直线(成轴)对称
三、垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.
观察演示，动手操作:仔细观察折纸过程，回答问题.
OP_________AB，PA____PB.
垂直平分
=
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ AC=BC，PC=PC
∴ △PCA≌△PCB (SAS)
∴ PA=PB
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何符号语言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB
如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上.
证法1：过点P作线段AB的垂线PC.
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL)
∴ AC=BC
∴ PC是线段AB的垂直平分线
∴ 点P在AB的垂直平分线上
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上.
证法2：取AB的中点C，过P，C作直线.
∴ AC=BC
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ △PAC≌△PBC (SSS)
∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90°
即 PC⊥AB
∴ PC是线段AB的垂直平分线
∴ 点P在AB的垂直平分线上
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定：
几何符号语言：
∵ PA=PB
∴ 点P在AB的垂直平分线上
【性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【判定】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与点A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.
例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁.
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则：直线CF就是所求作的垂线
∵ CD=CE，FD=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分线上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？
例2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm
C
【分析】∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
故BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
【点睛】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
例3.如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线交BC于E，F,垂足分别为M,N，若△ABC周长为18cm,且AB:BC:CA=2:4:3,求△AEF的周长.
解:ME，NF分别是AB，AC的垂直平分线∴AE=BE，AF=CF
∴C△AEF=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC
设AB=2x，则BC=4x，CA=3x
则2x+4x+3x=18
解得x=2
∴BC=8cm 即△AEF的周长为8cm.
例4.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
∴OE是CD的垂直平分线.
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
【分析】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合（1）即可解答．
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于17，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．8
C
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
C
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
B
4．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（ ）．
A．32 B．34 C．22 D．16
A
5．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12 cm，则△PMN的周长为_____cm．
12
6．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____．
13
7．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
（1）证明：连接CD，BD，如图所示：
为的垂直平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
7．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
，
在和中，
，
≌，
，
为的角平分线；
7．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
（2）解：，理由如下：
≌，
，
又，
，
即，
．
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
谢谢
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