13.4 课题学习最短路径问题 第1课时课件（共20张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习最短路径问题 第1课时课件（共20张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-29 08:47:12 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
将军饮马问题
13.4 课题学习最短路径问题
| 13.4 课题学习 第1课时|
将军饮马
能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
情景引入
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短 从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。
问题： 将军饮马
B
A
问题： 将军饮马
B
A
实际问题
应该怎样走才能使路程最短
A
C
作图问题
在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题.
B
复习旧知
回顾：哪些与最短有关的数学知识？
“两点的所有连线中，线段最短”
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
新知探究
思考：
(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
l
C
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
B
作法: 连线段、得交点
思考：
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
l
B′
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
C
思考：
(3)所作的AC +BC最短吗？请说明理由？
l
B′
A
B
C
C′
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
思考：
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
l
B′
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
C
作法: 作对称、连线段、得交点
归纳知识
名称 牛郎织女问题 将军饮马问题
图形
依据
作法
两点之间线段最短(化折为直)
l
C
A
B
l
B′
A
B
C
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
连线段、得交点
作对称、连线段、得交点
典例讲解
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
B
例2 （1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点，并说明理由；
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由；
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
A
B
C
D
P
O
A
B
N
O
A
B
M
图①
图②
图③
A
B
C
D
C'
图①
P
P'
P''
图②
P
O
A
B
E
F
图③
N
O
A
B
M
M'
N'
E
F
归纳知识
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
课堂小结
名称 牛郎织女问题 将军饮马问题
图形
依据
作法
两点之间线段最短(化折为直)
l
C
A
B
l
B′
A
B
C
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
连线段、得交点
作对称、连线段、得交点
转化
课堂练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
2．直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．
在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
3. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
C′
E
A
4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3.
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长
解：(1)边AB的垂直平分线MN如图所示．
(2)如图，点D为MN与BC的交点．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴△ADC的最小周长为
AC＋BC＝3＋4＝7.
5.如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
将军饮马问题
13.4 课题学习最短路径问题
| 13.4 课题学习 第1课时|
将军饮马
能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
情景引入
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短 从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。
问题： 将军饮马
B
A
问题： 将军饮马
B
A
实际问题
应该怎样走才能使路程最短
A
C
作图问题
在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题.
B
复习旧知
回顾：哪些与最短有关的数学知识？
“两点的所有连线中，线段最短”
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
新知探究
思考：
(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
l
C
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
B
作法: 连线段、得交点
思考：
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
l
B′
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
C
思考：
(3)所作的AC +BC最短吗？请说明理由？
l
B′
A
B
C
C′
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
思考：
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
l
B′
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
C
作法: 作对称、连线段、得交点
归纳知识
名称 牛郎织女问题 将军饮马问题
图形
依据
作法
两点之间线段最短(化折为直)
l
C
A
B
l
B′
A
B
C
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
连线段、得交点
作对称、连线段、得交点
典例讲解
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
B
例2 （1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点，并说明理由；
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由；
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
A
B
C
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P
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A
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A
B
M
图①
图②
图③
A
B
C
D
C'
图①
P
P'
P''
图②
P
O
A
B
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F
图③
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O
A
B
M
M'
N'
E
F
归纳知识
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
课堂小结
名称 牛郎织女问题 将军饮马问题
图形
依据
作法
两点之间线段最短(化折为直)
l
C
A
B
l
B′
A
B
C
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
求作一点C,
使AC+BC最短问题.
连线段、得交点
作对称、连线段、得交点
转化
课堂练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
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D
2．直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．
在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
3. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
C′
E
A
4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3.
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长
解：(1)边AB的垂直平分线MN如图所示．
(2)如图，点D为MN与BC的交点．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴△ADC的最小周长为
AC＋BC＝3＋4＝7.
5.如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？