13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
线段的垂直平分线的性质
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
| 第1课时|
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第1课时)
理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．
会用尺规过一点作已知直线的垂线.
能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题
情景引入
探究：
A
B
l
P1
P2
P3
如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
猜想：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　又 AC =CB，PC =PC，
　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
性质：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
归纳知识
P
A
B
l
C
∵　l⊥AB，AC =CB
∴ PA =PB．
针对练习
1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
C
思考：
如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
P
A
B
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
判定：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
归纳知识
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
探究：
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？
P
A
B
C
l
典例讲解
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
归纳知识
例2. 已知:如图,在△ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.
求证：PA=PB=PC.
B
A
C
M
N
M'
N'
P
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB.
同理，PB=PC.
∴PA=PB=PC.
三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
归纳知识
例3. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
课堂小结
线段的
垂直平分线
性质
判定
知垂直平分线，得线段相等
互逆
知线段相等，得点在垂直平分线
集合定义线段
垂直平分线
课堂练习
1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8 cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18 cm,则AC的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
3.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）
A．AB垂直平分CD
B ．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
4.在锐角△ABC内有一点P，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16 cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
6.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解 AD垂直平分EF.
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵ AD＝AD，
∴ △ADE≌△ADF，
∴ AE＝AF，DE＝DF.
∴ A、D均在线段EF的垂直平分线上，
即直线AD垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)若OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，
∴OC＝OD，AO＝OB，
且AC＝BC＝AD＝BD.
(2)OE＝OF.理由如下：
在△AOC和△AOD中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵OE⊥AC，OF⊥AD，
∴OE＝OF.