21.6 二次函数的图象和性质
获取最大利润
一、教学目标
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的函数关系，并运用函数的知识求出实际问题的最大(或最小)值，培养学生解决问题的能力.
2.能应用已学的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题.
3.经历探究函数最大(最小)值问题的过程，体会数形结合的思想方法.
4. 在经历和体验数学知识发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.
二、教学重难点
重点：二次函数在最优化问题中的应用.
难点：从现实问题中建立二次函数模型.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 知识回顾 【回顾思考】 内容1：回顾一下二次函数的图象及其相关性质分别是什么？ 内容2：说一说二次函数的顶点式和交点式的表达式分别是怎样的？ 内容3：二次函数的顶点、对称轴的计算方法和计算公式分别是怎样的？ 关于二次函数，你们还能想到哪些呢？ 学生思考并回答问题. 通过回顾前面的知识，既是对前边所学知识进行一个整体回顾，也是为接下来学习新课作铺垫.
环节二 典例探究 【思考】 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题，商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 在他那就之前，大家先明确两个概念：固定成本和可变成本.一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本.对于固定成本和可变成本的认识，我们可以根据如下图示对其进一步认识和理解. 【想一想】 例如，生产某种收音机的成本(单位：元)可以近似地表示为C=120t+1000，① 其中C表示生产t台收音机的总成本，当t=0时，C =120×0+1000=1000. 1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本. 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积，设R表示年总收入，则R=tx. 制造商的年利润是出售产品的年总收入和生产这些产品的总成本之间的差额，设为P表示年利润，则P=R – C=tx–(120t+1000). 【思考】 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降. 假设某市场分析专家提供了下列数据： 设生产t件产品的成本是：C=50t+1000. (1)在下图中描出上述表中各组数据对应的点. (2)描出的这些点在同一条直线上吗？ 预设：通过实际操作划线，发现这些点正好在同一条直线上. 追问：你能求出表示这条直线的解析式吗？ 预设：因为表格中明确给出了4组这条线上的点的坐标，所以任意选其中两点带入t=kx+b中求解计算即可. 设t和x之间的函数表达式为：t=kx+b.则有 解这个方程组，得 所以t和x之间的函数表达式为：t=–20x+6000. (3)问当销售单价x和年销售量t各位多少时，年利润P最大？ 预设：根据等量关系“年利润=单价×销售量–成本”求解. 由“年利润=单价×销售量–成本”得 P=x·(–20x+6000)–[50(–20x+6000)+1000] = –20x2 + 7000x–301000. 再根据二次函数的性质，可得当x= – 时，即x=175，t=2500时，P最大= =311500(元). 问题②设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为C=1000t+2000000. 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据： (1)在下图中描出上述表中各组数据对应的点. 观察图象，显然这些点都在某条直线的附近，所以可以近似看作这些点在某同一条直线上. 根据求直线解析式的方法，把表格中的两个点带入一次函数的表达式中求出k、b的值即可得到直线的表达式. 设x和t之间的函数表达式为：x=kt+b.则有 解这个方程组，得所以t和x之间的函数表达式为：x= –0.2t+4000. (2)请你帮助制造商分析，当年销售量t和销售单价x各为多少时，年利润P最大？ 预设：根据等量关系“年利润=单价×销售量–成本”求解. 由“年利润=单价×销售量–成本”得 P=(–0.2t+4000)·t–(1000t+2000000) = –0.2t2+3000t–2000000. 再根据二次函数的性质，可得当t= – 时，即t=7500，x=2500时，年利润P最大. 分组交流讨论、并积极回答问题. 通过分组讨论培养学生合作交流的能力，并通过探究问题的形式让学生考虑如何运用函数的相关知识建立数学模型解决实际生活中的问题，同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.
环节三 方法归纳 【归纳】 学生思考、总结并回答. 通过归纳让学生熟悉、巩固建立二次函数模型解决求最大利润的实际问题的一般步骤.同时培养归纳概括能力.
环节四 巩固练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 进价为80元的某衬衣定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 ，每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简) 答案：y=2000–5(x–100) y=[2000–5(x–100)](x–80) 2. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间试销，发现每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (1)当售价在40~50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ (2)当售价在50~70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ (3)若4月该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 答案： 解：(1)由题意得，当40≤x≤50时，Q=60(x–30)=60x–1800. 因为y=60＞0，且Q随x的增大而增大， 所以x最大=50时，Q最大=1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元. (2)当50≤x≤70时，可设y与x的函数关系式为y=kx–b. 因为图象过(50，60)和(70，20)， 所以解得 所以y= –2x+160(50≤x≤70). 所以Q=(x–30)y= –2(x–55)2+1250(50≤x≤70). 所以图象开口向下，因此当x=55时，Q最大=1250. 所以当50≤x≤70时，售价为55元时，获利最大为1250元. (3) ∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218；当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218. ∴售价x应该在50~70元之间. ∴令–(x–55)2+1250=1218.解得x1=51，x2=59. 当x1=51时，y1= –2x+160= –2×51+160=58(件)； 当x2=59时，y2= –2x+160= –2×59+160=42(件). 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第58页复习题第11题 学生课后自主完成. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共20张PPT)
21.6 综合与实践
获取最大利润
学习目标
综合与实践
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获取最大利润
准备好了吗？一起去探索吧！
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的函数关系，并运用函数的知识求出实际问题的最大(或最小)值，培养学生解决问题的能力.
2.能应用已学的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题.
3.经历探究函数最大(最小)值问题的过程，体会数形结合的思想方法.
4.在经历和体验数学知识发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.
回顾思考
回顾：二次函数 (a≠0)的性质.
顶点式形式： .
交点式形式： .
对称轴：直线 .
顶点坐标： .
情景引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题，商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
思考
一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本.
固定成本
设计产品
建造厂房
购置设备
培训工人
……
可变成本
劳动力
材料
包装
运输
……
与产品件数相关
可看作常数
例如，生产某种收音机的成本(单位：元)可以近似地表示为
C=120t+1000，①
其中C表示生产t台收音机的总成本，当t=0时，
C =120×0+1000=1000.
1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本.
制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积，设R表示年总收入，则
R=tx
制造商的年利润是出售产品的年总收入和生产这些产品的总成本之间的差额，设为P表示年利润，则
P=R – C=tx–(120t+1000)
想一想
思考
问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降.
假设某市场分析专家提供了下列数据：
销售单价 x/元 50 100 150 300
年销售量 t/件 5000 4000 3000 0
设生产t件产品的成本是：C=50t+1000.
x/元
t/件
4000
3000
2000
1000
350
250
150
50
O
6000
5000
在右图中，描出上述表中各组数据对应的点.
这些点在同一条直线上吗？
那t和x之间的函数表达式呢？
那t和x之间的函数表达式呢？
思考
问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降.
设t和x之间的函数表达式为：t=kx+b.则有
解这个方程组，得
所以t和x之间的函数表达式为：t= –20x+6000.
当销售单价x
和年销售量t各为多少时，
年利润P最大？
假设某市场分析专家提供了下列数据：
销售单价 x/元 50 100 150 300
年销售量 t/件 5000 4000 3000 0
设生产t件产品的成本是：C=50t+1000.
思考
问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降.
t和x之间的函数表达式为：t= –20x+6000.
年利润=单价×销售量–成本
P=x·(–20x+6000)–[50(–20x+
6000)+1000]
= –20x2+7000x–301000.
因此，当x= – 时，
即x=175，t=2500时，
P最大= =311500(元).
当销售单价x
和年销售量t各为多少时，
年利润P最大？
假设某市场分析专家提供了下列数据：
销售单价 x/元 50 100 150 300
年销售量 t/件 5000 4000 3000 0
设生产t件产品的成本是：C=50t+1000.
思考
问题②设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为
C=1000t+2000000.
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据：
销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价 x/元年 3850 3400 3000 2300 2100
在右图中，描出上述表中各组数据对应的点.
t/件
x/元
3500
3000
2500
2000
7000
50000
3000
1000
O
4500
4000
9000
这些点在同一条直线上吗？
那t和x之间的函数表达式呢？
思考
问题②设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为
C=1000t+2000000.
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据；
销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价 x/元年 3850 3400 3000 2300 2100
设x和t之间的函数表达式为：x=kt+b.则有
解这个方程组，得
所以t和x之间的函数表达式为：x= –0.2t+4000.
那t和x之间的函数表达式呢？
当年销售量t和
销售单价x各为多少时，
年利润P最大？
思考
问题②设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为
C=1000t+2000000.
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据；
销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价 x/元年 3850 3400 3000 2300 2100
t和x之间的函数表达式为：
x= –0.2t+4000.
当年销售量t和
销售单价x各为多少时，
年利润P最大？
年利润=单价×销售量–成本
P=(–0.2t+4000)·t–(1000t+
2000000)
= –0.2t2+3000t–2000000.
因此，当t= – 时，
即t=7500，x=2500时，
年利润P最大.
你还有其它做法吗？和同学
们说一说！
归纳
(1)建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量
最大利润问题
(2)确定自变量取值范围：涨价，要保证销售量≥0；
或总利润=总售价–总成本
降价，要保证单件利润≥0.
(3)确定最大利润：求最大利润利用配方法或代入公式直接计算.
抢答
随堂练习
1. 进价为80元的某衬衣定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 ，每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简)
y=2000–5(x–100)
y=[2000–5(x–100)](x–80)
抢答
随堂练习
2. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间试销，发现每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
(1)当售价在40~50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得，当40≤x≤50时，Q=60(x–30)=60x–1800.
因为y=60＞0，且Q随x的增大而增大，
所以x最大=50时，Q最大=1200.
答：此时每月的总利润最多是1200元.
抢答
随堂练习
2. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间试销，发现每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
(2)当售价在50~70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，可设y与x的函数关系式为y=kx–b.
所以y= –2x+160(50≤x≤70).
因为图象过(50，60)和(70，20)，所以
解得
所以Q=(x–30)y= –2(x–55)2+1250(50≤x≤70).
所以图象开口向下，因此当x=55时，Q最大=1250.
所以当50≤x≤70时，售价为55元时，获利最大为1250元.
y/件
x/元
70
50
60
20
抢答
随堂练习
2. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间试销，发现每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
(3)若4月该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218；当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218.
∴售价x应该在50~70元之间.
∴令–(x–55)2+1250=1218.
当x1=51时，y1= –2x+160= –2×51+160=58(件)；
解得x1=51，x2=59.
当x2=59时，y2= –2x+160= –2×59+160=42(件).
若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
综合与实践
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获取最大利润
最大利润问题：
(1)建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量
(2)确定自变量取值范围：涨价，要保证销售量≥0；
或总利润=总售价-总成本
降价，要保证单件利润≥0.
(3)确定最大利润：求最大利润利用配方法或代入公式直接计算.
教科书第58页复习题A组
第11题
再见
