5.5 确定二次函数的表达式
— 填空专练 —
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1、将二次函数y＝x2+4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝ ．
［思路分析］利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
［答案详解］解：y＝x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5．
故答案为：y＝（x+2）2﹣5．
［经验总结］本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
2、将二次函数y＝﹣x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
［思路分析］运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1） 2+1，
故答案为：y＝﹣（x+1） 2+1．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
3、把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 ．
［思路分析］用配方法二次函数y＝x2﹣6x+5可化为y＝x2﹣6x+9﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4．
［答案详解］解：二次函数y＝x2﹣6x+5配成顶点式为y＝（x﹣3）2﹣4，
故答案是：y＝（x﹣3）2﹣4．
［经验总结］考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
4、抛物线y＝ax2经过点（2，8），那么a＝ ．
［思路分析］根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（2，8）代入抛物线y＝ax2，然后解关于a的方程即可．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2经过点（2，8），
∴点（2，8）满足抛物线方程y＝ax2，
∴8＝4a，解得，a＝2；
故答案是：2．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．二次函数图象上的点，一定满足该二次函数的解析式．
5、用配方法将抛物线y＝x2+6x+1化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k得 ．
［思路分析］根据配方法把一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝x2+6x+1
＝x2+6x+9﹣9+1
＝（x+3）2﹣8，
故答案为：y＝（x+3）2﹣8．
［经验总结］本题考查的是二次函数的解析式的三种形式，能够正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质要熟练掌握．
6、如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则抛物线的解析式为 ，正方形EFGH的边长为 ．
［思路分析］根据待定系数法得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用2OF＝FG，进而求出即可．
［答案详解］解：∵正方形ABCD边长为4，
∴抛物线的顶点坐标为：（0，4），B（2，0），
设抛物线解析式为：y＝ax2+4，
将B点代入得，0＝4a+4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，
设G点坐标为：（m，﹣m2+4），
则2m＝﹣m2+4，
整理的：m2+2m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（不合题意舍去），
∴正方形EFGH的边长FG＝2m＝2﹣2．
故答案为：y＝﹣x2+4，2﹣2．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．
7、把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 ．
［思路分析］利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝2x2+4x﹣1
＝2（x2+2x）﹣1
＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1
＝2（x+1）2﹣3，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣3．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式，熟练运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
8、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
［思路分析］过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（m，6m2），即可得y＝x2．
［答案详解］解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．
9、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（2，2）、B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且该函数图象的顶点为不与A、B重合的点M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，则a的值为 ．
［思路分析］利用二次函数的顶点坐标的范围和二次函数的性质得到抛物线的顶点只能为（4，6），然后设顶点式可求出对应的a的值．
［答案详解］解：∵顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，
∴y＝2或y＝5或y＝6，
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点只能为（2，2）或（4，6）或（5，5），
∵该函数图象的顶点为不与A、B重合，
∴M（4，6），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+6，把B（5，5）代入得a（5﹣4）2+6＝5，解得a＝﹣1；
∴a的值为﹣1．
故答案为﹣1．
［经验总结］本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10、将二次函数y＝x2﹣4x+2写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
［思路分析］由于二次项系数是1，所以利用配方法可直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
［答案详解］解：y＝x2﹣4x+2＝（x2﹣4x+4）﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2，
即y＝（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
11、把二次函数y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
［思路分析］根据配方法的操作整理即可得解．
［答案详解］解：y＝x2﹣2x+3，
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
所以，y＝（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝（x﹣1）2+2．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，主要利用了配方法．
12、设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式 ．
［思路分析］先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），
设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，
∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．
13、把二次函数y＝﹣2x2+4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式是 ．
［思路分析］利用配方法可把二次函数y＝﹣2x2+4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式．
［答案详解］解：y＝﹣2x2+4x+3
＝﹣2（x2﹣2x）+3
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝﹣2（x﹣1）2+5．
故答案为y＝﹣2（x﹣1）2+5．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
14、请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
［思路分析］根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
［答案详解］解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
［经验总结］本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
15、经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
［思路分析］根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
［答案详解］解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a＝3，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，
故答案为y＝﹣x2+x+3．
［经验总结］此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16、已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）
［思路分析］根据顶点坐标知其解析式满足y＝ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
［答案详解］解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y＝ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，
故答案为：y＝2x2﹣1．
［经验总结］本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
17、把二次函数y＝6x﹣2﹣3x2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
［思路分析］化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
［答案详解］解：y＝6x﹣2﹣3x2，
y＝﹣3（x2﹣2x）﹣2，
y＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）﹣2，
y＝﹣3（x﹣1）2+1．
故答案为y＝﹣3（x﹣1）2+1．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
18、将二次函数y＝3x2﹣6x+5转化成顶点式为： ．
［思路分析］利用配方法把一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝3x2﹣6x+5
＝3（x2﹣2x）+5
＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5
＝3（x﹣1）2+2，
故答案为：y＝3（x﹣1）2+2．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．
19、请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线解析式 ．
［思路分析］根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，c＝5即可．
［答案详解］解：由开口向上，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线的表达式可以为y＝﹣x2+5，
故答案为：y＝﹣x2+5（答案不唯一）．
［经验总结］本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
20、写出一个开口向下，顶点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
［思路分析］根据题意可得抛物线的顶点坐标是（0，3），故设出抛物线的顶点式方程y＝ax2+3，再由开口向下可知a＜0，故可取a＝﹣1，即得结果．
［答案详解］解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3）
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+3，
又∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，故可取a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，关键是要由顶点坐标正确设出抛物线的解析式．理解开口向下的含义．5.5 确定二次函数的表达式
— 填空专练 —
1、将二次函数y＝x2+4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝ ．
2、将二次函数y＝﹣x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
3、把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 ．
4、抛物线y＝ax2经过点（2，8），那么a＝ ．
5、用配方法将抛物线y＝x2+6x+1化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k得 ．
6、如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则抛物线的解析式为 ，正方形EFGH的边长为 ．
7、把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 ．
8、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
9、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（2，2）、B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且该函数图象的顶点为不与A、B重合的点M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，则a的值为 ．
10、将二次函数y＝x2﹣4x+2写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
11、把二次函数y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
12、设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式 ．
13、把二次函数y＝﹣2x2+4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式是 ．
14、请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
15、经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
16、已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）
17、把二次函数y＝6x﹣2﹣3x2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
18、将二次函数y＝3x2﹣6x+5转化成顶点式为： ．
19、请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线解析式 ．
20、写出一个开口向下，顶点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
