一 二次函数
— 近期热题 —
1、［2022济南·一模］对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
2、［2022资阳·中考］如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、［2022东莞市·一模］将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
4、［2022黑龙江·中考］若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
5、［2022通辽·中考］在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
6、［2022包头·中考］已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7、［2022荆门·中考］抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
8、［2022荆门·中考］抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9、［2021环江县·期末］某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
10、［2021蕉岭县·三校联合模拟］如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
11、［2021哈尔滨·中考］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
12、［2021益阳·中考］已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ ．
13、［2022香洲区·梅华中学一模］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
14、［2022连云港·中考］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
15、［2022广陵区·二模］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
16、［2022澄城县·一模］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
17、［2022清苑区·一模］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
18、［2022新华区·模拟］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
19、［2022江岸区·模拟］某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
20、［2022雄县·一模］2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．
（1）试求y关于x的函数关系式；
（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？
21、［2022汝阳县·一模］如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
22、［2022邯郸·三模］某水果经销商以19元/千克的价格新进一批芒果进行销售，因为芒果不耐储存，在运输储存过程损耗率为5%．为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克） 20 25 30 35 40
日销售量y（千克） 400 300 200 100 0
（1）这批芒果的实际成本为 元千克；[实际成本＝进价÷（1﹣损耗率）]
（2）①请你根据表中的数据直接出写出y与x之间的函数表达式，标出x的取值范围；
②该水果经销商应该如何确定这批芒果的销售价格，才能使日销售利润W1最大？
（3）该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克芒果需支出a元（a＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤29，该水果经销商日获利W2的最大值为2090元，求a的值．
23、［2022贺州·中考］2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
24、［2022广西·中考］打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．一 二次函数
— 近期热题 —
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1、［2022济南·一模］对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
［思路分析］由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解．
［答案详解］解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
联立①②并解得：﹣2＜c＜；
故选：C．
［经验总结］本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
2、［2022资阳·中考］如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
［思路分析］①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；
②：结合图象发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），
∴，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2 a+（﹣1） b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
3、［2022东莞市·一模］将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
［思路分析］原抛物线的顶点坐标为（0，1），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣1），根据抛物线的顶点式求解析式．
［答案详解］解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，﹣1），
∴平移后抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣1．
故选：C．
［经验总结］本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
4、［2022黑龙江·中考］若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
［思路分析］先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
5、［2022通辽·中考］在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
［思路分析］根据图象的平移规律，可得答案．
［答案详解］解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
［经验总结］主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6、［2022包头·中考］已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
［思路分析］由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
［答案详解］解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
［经验总结］此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
7、［2022荆门·中考］抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
［思路分析］根据二次函数的性质判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8、［2022荆门·中考］抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
9、［2021环江县·期末］某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+10t
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．
10、［2021蕉岭县·三校联合模拟］如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
［思路分析］根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＞n的解集，本题得以解决．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，
∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
［经验总结］本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11、［2021哈尔滨·中考］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
［思路分析］根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．
［答案详解］解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，求出顶点坐标是解题的关键．
12、［2021益阳·中考］已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ ．
［思路分析］确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．
［答案详解］解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6．
故答案为：6．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称轴是解决此题的关键．
13、［2022香洲区·梅华中学一模］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．
14、［2022连云港·中考］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
［思路分析］根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
［答案详解］解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
［经验总结］此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
15、［2022广陵区·二模］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
［思路分析］根据函数图象上的坐标的特征求得A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；然后由两点间的距离公式求得A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，…AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；最后将其代入求值即可．
［答案详解］解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合题．解答此题的难点是求＝1++…+的值．在解时，采取了“裂项法”来求该数列的和．
16、［2022澄城县·一模］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
［思路分析］设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，配方成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
［答案详解］解：设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，
所以S＝x（40﹣x）
＝﹣x2+40x
＝﹣（x﹣20）2+400，
∵﹣1＜0，
∴x＝20时，S取得最大值，最大值为400，
答：当x＝20m时，矩形场地的面积S最大；
故答案为：20．
［经验总结］本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．
17、［2022清苑区·一模］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
［思路分析］（1）求出B（60，2），用待定系数法即得y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）分两种情况：当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210，当60＜x≤80时，；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，可得当x＝50时，W取最大值为40（万元），当60＜x≤80时，W＝+70，当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元）．
［答案详解］解：（1）在y＝中，令x＝60，得，
∴B（60，2），
∴当30≤x≤60时，设y＝kx+b，图象过（60，2）和（30，5）
∴，
解得：
∴y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50＝﹣0.1x2+10x﹣210，
当60＜x≤80时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）×﹣50＝﹣+70，
综上所述：W＝；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，
当x＝50时，W取最大值为40（万元），
当60＜x≤80时，W＝+70，
∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元），
综上所述，当x＝50或x＝80 时，获得的利润最大，最大利润是40万元，
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，求二次函数最大值等，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
18、［2022新华区·模拟］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
［思路分析］（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入求出即可；
（2）设日销售利润为w元，根据销售利润＝售价﹣成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）先求出前20天最高日销量和最高日售价，再根据题意列出方程，解方程即可．
［答案详解］解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：，
解得：，
即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元，
w＝（﹣2x+80）（x+25﹣20）＝﹣（x﹣10）2+450；
∵﹣＜0，1≤x≤20，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；
∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）∵日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80（1≤x≤20，且x为整数），
∴前20天最高日销售量为x＝1时，即p＝78（盏），
∵销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
∴前20天最高日销售量为当x＝20时，即y＝30元，
由题意得：（30﹣a﹣20）（78+7a）﹣450＝30，
解得：a1＝6，a2＝﹣（舍去），
∴a的值为6．
［经验总结］本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，即用所学的数学知识来解决实际问题．
19、［2022江岸区·模拟］某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
［思路分析］（1）根据表中数据可以求出每件进价；设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润＝单件×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）进价提高4元，根据利润＝单件×销售量列出函数解析式，再根据m的取值分情况讨论函数的最值．
［答案详解］解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：40﹣2400÷120＝20（元），
∴每件进价 20元；
设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得：k＝﹣2，b＝100，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；
故答案为：20，y＝﹣2x+200；
（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）＝﹣2x2+240x﹣4000＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，
∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，
∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，
∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，
当m≥62时，周销售最大利润为2888元．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
20、［2022雄县·一模］2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．
（1）试求y关于x的函数关系式；
（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？
［思路分析］（1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到日销售利润w与销售单价x的函数关系式，化为顶点式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，可以求得答案．
［答案详解］解：（1）设日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（150，304），点（156，280）在该函数图象上，
∴，
解得，
即日销售量y与销售单价x函数关系式是y＝﹣4x+904；
（2）由题意可得，设日销售利润为w元，
w＝（x﹣100）（﹣4x+904）＝﹣4x2+1304x﹣90400＝﹣4（x﹣163）2+15876，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为x＝163，
∵物价部门规定其每件的售价不低于成本且利润不高于成本的45%，
∴100≤x≤145，
∴当x＝145时，w取得最大值14580，
答：当销售单价为145元时，日销售利润最大，最大利润为14580元．
［经验总结］本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
21、［2022汝阳县·一模］如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
［思路分析］（1）作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，先通过抛物线解析式求出点B坐标，通过AB＝3BD可得点A纵坐标，将其代入二次函数解析式求解．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，由S△ABC＝S△BCF+S△ACF求解．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点Q坐标为（0，4+m），根据抛物线的对称性可得点Q坐标，进而求解．
［答案详解］解：（1）作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，
将x＝0代入y＝（x﹣2）2得y＝4，
∴点B坐标为（0.4）．
∵AB＝3BD，
∴＝＝，
∴AE＝4BO＝16，
将y＝16代入y＝（x﹣2）2得16＝（x﹣2）2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，16）．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，
将（6，16）代入y＝kx+4得16＝6k+4，
解得k＝2，
∴y＝2x+4，
将x＝2代入y＝2x+4得y＝8，
∴点F坐标为（2，8），
∴FC＝8，
∴S△ABC＝S△BCF+S△ACF＝FC （xC﹣xB）+FC （xA﹣xC）＝×8×（2﹣0）+×8×（6﹣2）＝24．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点Q坐标为（0，4+m），
由题意可得P，Q关于对称轴对称，
∴点P坐标为（4，4+m），
将（4，4+m）代入y＝2x+4得4+m＝8+4，
解得m＝8，
∴该抛物线平移了8个单位．
［经验总结］本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
22、［2022邯郸·三模］某水果经销商以19元/千克的价格新进一批芒果进行销售，因为芒果不耐储存，在运输储存过程损耗率为5%．为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克） 20 25 30 35 40
日销售量y（千克） 400 300 200 100 0
（1）这批芒果的实际成本为 元千克；[实际成本＝进价÷（1﹣损耗率）]
（2）①请你根据表中的数据直接出写出y与x之间的函数表达式，标出x的取值范围；
②该水果经销商应该如何确定这批芒果的销售价格，才能使日销售利润W1最大？
（3）该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克芒果需支出a元（a＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤29，该水果经销商日获利W2的最大值为2090元，求a的值．
［思路分析］（1）根据芒果进价19元/千克，在运输过程中损耗率为5%，芒果的实际进价为：，得出结论；
（2）①根据表中数据可得日销售量y与销售价格x满足一次函数，设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可，
②根据日销售利润＝（销售单价﹣实际成本）×日销售量列出二次函数关系式，根据函数的性质以及x的取值范围求函数最值；
（3）根据日获利＝日销售利润﹣日支出费用列出二次函数关系式，然后根据函数的性质当x＝29时，函数取得最大值，解方程求出a的值．
［答案详解］解：（1）由题意知：这批芒果的实际成本为：＝20（元/千克），
故答案为：20；
（2）①根据表中数据可以发现，销售价格每增加5元，日销售量减少100千克，
∴日销售量y与销售价格x满足一次函数，
设y与x的函数关系为y＝kx+b，
把（20，400）与（25，300）代入解析式得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式y＝﹣20x+800（20≤x≤40），
②W1＝（x﹣20）（﹣20x+800）
＝﹣20x2+1200x﹣16000
＝﹣20（x2﹣60x+900﹣900）﹣16000＝﹣20（x﹣30）2+2000，
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵20≤x≤40，对称轴x＝30，
∴当x＝30时，W1最大＝2000（元），
答：这批芒果的价格为30元时，才能使日销售利润最大，
（3）W2＝（x﹣19）（﹣20x+800）﹣a（﹣20x+800）
＝﹣20x2+（1180+20a）x﹣15200﹣800a，
对称轴：x＝﹣＝29.5+0.5a，
又∵a＞0，
∴x＝29.5+0.5a＞29.5，
又∵抛物线开口向下，25≤x≤29，
∴当x＝29时，W2最大＝2090，
即：﹣20×292+（1180+20a）×29﹣15200﹣800a＝2090，
解得：a＝0.5，
答：a的值为0.5．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及解一元一次方程，关键是根据日获利＝日销售利润﹣日支出费用列出函数关系式．
23、［2022贺州·中考］2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
［思路分析］（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．
［答案详解］解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）
＝﹣2（x﹣91）2+6498，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝91时，W最大值＝6498，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
24、［2022广西·中考］打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
［思路分析］（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，根据图象可得x的取值范围即可；
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
［答案详解］解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小数位数只有一位且小数部分为偶数的数）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
［经验总结］本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．
