2022-2023学年苏科版九年级数学上册 2.2 圆的对称性 同步练习题 （含解析）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
3．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A．4 B． C． D．
5．如图，点A、B是在⊙O上的定点、P是在⊙O上的动点，要使△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）
A．25° B．35° C．50° D．65°
9．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且＝3，则弦AC与弦BC的关系是（　　）
A．AC＝3BC B．AC＝BC C．AC＝（+1）BC D．AC＝BC
10．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
11．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与点M，N重合，数学学习小组在探究时得出以下结论：
①PB+PA是定值；
②当点P是的中点时，四边形PAOB是正方形；
③当点P在上移动时，矩形PAOB的大小随之变化，但AB的长度不变；
④连接MP，PN，若＝2，则MP＝2PN．
以上结论正确的序号是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④
二．填空题
12．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　．
13．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升　 　cm．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
15．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为　 　．
16．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　 　．
18．如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB＝6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y＝AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为　 　．
三．解答题
19．如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
20．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
21．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．
22．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
23．如图，∠C＝90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC＝3，CB＝4，求BD长．
参考答案
一．选择题
1．解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．
∵AB是直径，且CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
2．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
3．解：连接AC，
由题意得，BC＝OB+OC＝9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC＝9，
在Rt△AOC中，AO＝＝2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
4．解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝x得y＝3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝，
∴PD＝PE＝，
∴a＝3+．
故选：B．
5．解：如图：①以AB为底边，
过点O作弦AB的垂线分别交⊙O于点P1、P2，
∴AP1＝BP1，AP2＝BP2，
故点P1、P2即为所求．
②以AB为腰，
分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画弧，交⊙O于点P3、P4，
故点P3、P4即为所求．
共4个点．
故选：D．
6．解：如图，在CD上截取CE＝AB，连接CM，EM，BM，AM，
∵M是的中点，
∴AM＝CM，
又∠A＝∠C，
在△ABM和△CEM中，
，
∴△ABM≌△CEM（SAS），
∴BM＝EM，
∵MD⊥BC，
∴BD＝DE，
∵，，
∴CD＝CE+DE＝AB+BD＝2＝3．
故选：D．
7．解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，
又∠DBC＝∠DCO，
∵BD＝4，CD＝5，
∴，
解得：DO＝，
∴OB＝OD﹣BD＝，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．解：设圆心为O，连接OE、OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∴∠DOE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠BAC＝∠OEA，
∴∠DOE＝∠BAC＝50°，
即弧DE的度数为50°，
故选：C．
9．解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝3，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD＝x，
∴＝＝，
∴AC＝（+1）BC．
故选：C．
10．解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC＝＝115°．
故选：C．
11．解：设半径为r，连接OP，
∵四边形PAOB为矩形，
∴PB＝AO，∠OAP＝∠AOB＝∠OBP＝90°，
当∠OPA＝30°时，在Rt△OAP中，OA＝＝，PA＝，此时PA+PB＝；
当∠OPA＝45°时，在Rt△OAP中，OA＝PA＝，此时PA+PB＝；
∴PB+PA不是定值，故①不正确；
∵点P是的中点，
∴，
∴∠AOP＝∠BOP＝45°，
∴∠OPA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠AOP＝∠OPA，
∴AP＝AO，
∴矩形PAOB是正方形，故②正确；
点P在上移动时，半径一定，且AB＝OP＝r，
∴当点P在上移动时，矩形PAOB的大小随之变化，但AB的长度不变，故③正确；
∵＝2，
∴∠MOP＝2∠PON，
∴∠MOP＝＝60°，∠PON＝∠AOB＝30°，
∵OB＝OM，
∴△OPM是等边三角形，
∴MP＝OP＝r，
在Rt△OBP中，∠PON＝30°，
∴PB＝＜PN，
∴2PN＞r，
∴2PN＞MP，故④不正确．
故选：C．
二．填空题
12．解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
13．解：作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，
当水位上升到圆心以下 水面宽80cm时，
则OC′＝＝30cm，
水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
故答案为10或70．
14．解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵MF⊥CD，CD∥OB，
∴MF⊥OB，
∴∠CFM＝∠EMF＝90°，
又∵∠OEM＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∵A（20，0），
∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．
连接MC，则MC＝OA＝10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝＝6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
15．解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD＝DB＝DA＝＝，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
16．解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．
根据垂径定理，得到BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，
OF＝＝＝4，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：
17．解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD＝OA＝3，
在Rt△OPD中，
∵OP＝，OD＝3，
∴PD＝＝＝2，
∴P（3，2）．
故答案为：（3，2）．
18．解：延长CO交AB于G，
∵点C是⊙O优弧ACB上的中点，
∴CO⊥AB，AG＝AB＝×6＝3（cm），
∴AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2，
当0≤x≤3时，AF＝xcm，FG＝（3﹣x）cm，
∴y＝AE2﹣EF2＝AG2+EG2﹣FG2﹣EG2＝AG2﹣FG2＝9﹣（3﹣x）2＝6x﹣x2；
当3＜x≤6时，AF＝xcm，FG＝（x﹣3）cm，
∴y＝AE2﹣EF2＝AG2+EG2﹣FG2﹣EG2＝AG2﹣FG2＝9﹣（x﹣3）2＝6x﹣x2．
故答案为：y＝6x﹣x2．
三．解答题
19．解：（1）如图，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝，
∴，
∴∠BOD＝30°；
由勾股定理得：
OD2＝22﹣12＝3，
∴OD＝；
即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°．
（2）存在，DE＝；
如图，连接AB；
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴AB2＝OB2+OA2＝8，
∴AB＝；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
DE＝＝．
（3）存在，∠DOE＝45°；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠DOE＝，
即∠DOE＝45°．
20．解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT＝TC＝BC＝2，
∴BM＝＝4；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH＝90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF＝90°，
∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．
在△AEH和△AFH中，
∵，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH＝FH．
（3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG＝4．
连AG，
∵∠BCG＝90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG＝90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为口，
∴AF＝CG＝4．
21．解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝＝＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
连接BE，如图，
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝．
22．解：（1）如图，设圆心为O，连接OB，OC．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）连接ON．∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB＝3.6m，
∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.042，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．
∴此货船不能顺利通过这座拱桥．
23．解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
点C作CE⊥AB于点E，则AD＝2AE，
∵∠CAE＝∠CAB，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴AC2＝AE AB，即32＝AE×5
∴AE＝1.8，
∴AD＝2AE＝2×1.8＝3.6
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3.6＝1.4．