2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性 同步练习题（含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点
2．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，直线MN为BC的中垂线交AC于点D，连结BD，则△ABD的周长为（　　）cm．
A．4 B．5 C．6 D．3
3．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（　　）
A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　）
A．16 B．13 C．19 D．10
5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
9．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，∠ABC、∠ACE的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC、BE于点G、O，连接FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（　　）
①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二．填空题
13．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是　 　．
14．如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝　 　．
15．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为　 　
16．如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若∠DAE＝50°，则∠BAC＝　 　度，若△ADE的周长为19cm，则BC＝　 　cm．
17．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为　 　．
18．如图，在△ABC中，AC垂直平分线DE分别与BC、AC交于D、E，△ABD的周长是13，AE＝5，△ABC的周长是　 　．
19．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为 　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AE，DE⊥AB，若∠BDE＝46°，则∠DAE＝　 　．
三．解答题
21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
22．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
23．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
25．已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）
26．如图，△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选：C．
2．解：∵直线MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6cm．
故选：C．
3．解：如图，连接BD，
∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴DA＝DB，DB＝DC，
∴DA＝DC，
故选：C．
4．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故选：C．
5．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故选：B．
6．解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
7．解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45，
故选：C．
8．解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A＝90°，
∴AD⊥AB．
∴AD＝DE＝3．
又∵BC＝5，
∴S△BCD＝BC DE＝×5×3＝7.5．
故选：A．
9．解：
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ＝PA＝2，
故选：B．
10．解：∵PB平分∠ABC，PF⊥BD，PG⊥BE，
∴PF＝PG，
∴S△ABP：S△BCP＝AB PF：BC PG＝AB：BC，故①正确；
过P作PH⊥AC于H，
∵PC平分∠ACE，
∴PH＝PG，
∴PF＝PH，
∴PA平分∠CAF，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴＝∠APB+∠ACP＝90°，故②正确；
∵PF⊥AB，PG⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠FPG+90°＝360°，
∴∠ABC+∠FPG＝180°，
在Rt△PAF和Rt△PAH中，
，
∴Rt△PAF≌Rt△PAH（HL），
∴∠APF＝∠APG，
同理：Rt△PCH≌Rt△PCG（HL），
∴∠CPH＝∠CPG，
∴∠FPG＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故③正确；
故选：D．
11．解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4，
故选：C．
12．解：∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠ABD＝∠DAC，所以①正确；
∵∠ABD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠AEF＝∠C+∠EAC，
∴∠AFE＝∠AEF，所以②正确；
∵AG平分∠DAC，
∵∠FAO＝∠EAO，
∵∠AFE+∠AFE+∠FAE＝180°，
∴∠AFO+∠FAO＝90°，
∴AO⊥EF，所以③正确；
∵BO⊥AG，AD⊥BG，
∴F点为△ABG三条高的交点，
∴GF⊥AB，
而CA⊥BA，
∴FG∥AC，所以④正确．
故选：D．
二．填空题
13．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+CB＝11，
故答案为：11．
14．解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长为7，
∴BC+CN+BN＝7，
∴BC+CN+AN＝BC+AC＝7，
∴BC＝7﹣AC＝3，
故答案为：3．
15．解：∵∠B+∠BMN+∠BNM＝180°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°，
∵M在PA的中垂线上，
∴MA＝MP，
∴∠MAP＝∠MPA，
同理，∠NCP＝∠NPC，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC＝×130°＝65°，
∴∠APC＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
16．解：①∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC（等边对等角），
∵∠BAC＝∠DAE+∠BAD+∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE+∠B+∠C；
又∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠DAE＝50°，
∴∠BAC＝115°；
②∵△ADE的周长为19cm，
∴AD+AE+DE＝19cm，
由①知，AD＝BD，AE＝EC，
∴BD+DE+EC＝19，即BC＝19cm．
故答案为：115，19．
17．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，
故答案为：11．
18．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长是13，
∴AB+BD+DA＝13，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝23，
故答案为：23．
19．解：∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，OD＝5，
∴O到AB的距离等于OD的长，
根据垂线段最短，可知OE最小值为5．
故答案为：5．
20．解：∵∠BDE＝46°，
∴∠CDE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣46°＝134°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
又∵AC＝AE，∠DEA＝90°，∠C＝90°，
∴DA是∠CDE的角平分线，
∴，
∴在Rt△ADE中，
∴∠DAE＝180°﹣∠DEA﹣∠ADE＝180°﹣∠90°﹣67°＝23°，
故答案为：23°．
三．解答题
21．解：如图，点P为所作．
22．证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
23．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
24．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
25．证明：作MN⊥CD于N，如图所示：
∵DM平分∠ADC，∠A＝90°，MN⊥CD，
∴MA＝MN，
∵M是AB的中点，
∴MA＝MB，
∴MB＝MN，
∵∠B＝90°，MN⊥CD，
∴CM是∠BCD的平分线，
即CM平分∠BCD．
26．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝AB OE+BC OD+AC OF
＝×2×（AB+BC+AC）
＝×2×12
＝12．