2022—2023学年华东师大版数学八年级上册第14章 勾股定理 综合素质评价练习 （含答案）
文档属性
| 名称 | 2022—2023学年华东师大版数学八年级上册第14章 勾股定理 综合素质评价练习 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 335.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-29 23:00:00 | ||
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文档简介
第14章 勾股定理 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．【教材P127复习题T8变式】下列各组数中，是勾股数的是( )
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．9，40，41 D．－6，－8，－10
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是( )
A．a2＋b2＝2c2 B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2
4．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．【教材P124阅读材料变式】下面各图，不能用来验证勾股定理的正确性的是( )
6．东海上一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处( )
A．25 km B．24 km
C．7 km D．1 km
7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上的D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )
A．
B．3
C．1
D．
8．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5 m，高为3 m．计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要( )
A．5 m
B．7 m
C．8 m
D．12 m
9．【教材P120例1变式】如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A处沿着侧面爬到上底面与点A相对的点B处，已知圆柱体的底面半径为1 cm，高为4 cm，则蚂蚁爬行的最短路程(π取3)约为( )
A．4 cm
B．4.5 cm
C．5 cm
D．6 cm
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝________．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则AB的长为________．
13．若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为__________．
15．如图，高速公路上有相距25km的A，B两点，C，D为两村庄，已知DA＝10 km，CB＝15 km. DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E的距离相等，则AE的长是________．
16．如图是一个圆柱形的饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是________．
17．【教材P118习题T4变式】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆形，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于________．
18．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1.在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为________．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14.求AB的长．
20．【教材P127复习题T5改编】在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝8，AB＝6，BC＝24. 求正方形DCEF的面积．
21．如图是一块四边形木板，其中AB＝16 cm，BC＝24 cm，CD＝9 cm，AD＝25 cm，∠B＝∠C＝90°.李师傅找到BC边的中点P，连结AP，DP，发现△APD是直角三角形．请你通过计算说明理由．
22．一根直立的旗杆长8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部B着地，离杆脚A 4 m，如图，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m的D处，有一明显刮痕．如果旗杆从D处折断，则杆脚周围多大范围内有被砸中的危险？
23．如图，在一次缉毒行动中，警方获得可靠信息，一辆运毒车将经过5号公路，但由于运毒车上有爆炸装置，警方无法靠近，只能采取远程射击的策略，为了减少不必要的伤亡，警方选中一距离5号公路120 m的隐蔽处P点．已知警方远程射击的射程为200 m．警方在准备行动时发现运毒车已经来到与P点的水平距离为300 m的地方．如果运毒车的车速为20 m/s，那么警察发现运毒车后要在几秒内对其进行射击？
24．如图，一只蜘蛛在一个长方体实心木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体实心木块的顶点G处．若AB＝3 cm，BC＝5 cm，BF＝6 cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是多少？
答案
一、1．A 2．C 3．C 4．C 5．C 6．C
7．A 8．B 9．C 10．A
二、11．50 12．17 13．17 14．4.8
15．15 km 16．12≤a≤13
17．2π
18．5 点拨：如图，连结DE，与AC交于点P，连结BP，易知此时EP＋BP最短，且最短长度为DE的长．
由题易知AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4.
所以DE2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25，
所以DE＝5，
即EP＋BP的最短长度为5.
三、19．解：在Rt△ADC中，AD＝12，AC＝13，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝25.
所以CD＝5.
因为BC＝14，所以BD＝9.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝225.
所以AB＝15.
20．解：在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＋AB2＝DB2，
所以DB2＝82＋62＝102，
所以DB＝10.
在Rt△BCD中，再根据勾股定理得DB2＋BC2＝DC2，
所以DC2＝102＋242＝262，
所以DC＝26.
所以S正方形DCEF＝262＝676.
21．解：因为P为BC的中点，
所以BP＝CP＝BC＝12 cm.
在Rt△ABP中，根据勾股定理，
得AB2＋BP2＝AP2，
即162＋122＝AP2，
解得AP＝20 cm.
同理可得，DP＝15 cm.
因为152＋202＝252，
所以AP2＋DP2＝AD2.
所以△APD是直角三角形，且∠APD＝90°.
22．解：在Rt△ABC中，AB＝4 m，设BC＝x m，则AC＝(8－x)m.
由勾股定理得BC2＝AC2＋AB2，
即x2＝(8－x)2＋42，
解得x＝5.
故BC＝5 m，AC＝3 m.
如果旗杆从D处折断，设顶部的着地点为E，
则DE＝BC＋CD＝5＋1.25＝6.25(m)，
AD＝AC－CD＝3－1.25＝1.75(m)．
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2＝DE2－AD2＝6.252－1.752，所以AE＝6 m.
答：杆脚周围6 m范围内有被砸中的危险．
23．解：如图，令5号公路为直线l，此时运毒车在点A处．过点P作PC⊥l于点C.
由题意知PC＝120 m.
设运毒车在B点进入警方射程，则PB＝200 m.
在Rt△PBC中，PC2＋BC2＝PB2，即1202＋BC2＝2002，
所以BC＝160 m(负值已舍去)，
所以运毒车在射程内的路程为2BC＝320 m.
因为AC＝300 m，所以AB＝AC－BC＝300－160＝140(m)．
因为运毒车的车速为20 m/s，
所以140÷20＝7(s)，320÷20＝16(s)，7＋16＝23(s)，
故警察发现运毒车后要在7 s至23 s内对其进行射击．
24．解：分三种情况讨论：
(1)如图①，连结AG，此时蜘蛛从点A处出发先到BF上，再到点G处．
因为AB＝3 cm，BC＝5 cm，
所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．
已知CG＝BF＝6 cm，所以在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100.
(2)如图②，连结AG，此时蜘蛛从点A处出发先到EF上，再到点G处．
因为FG＝BC＝5 cm，
所以BG＝5＋6＝11(cm)．
在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130.
(3)如图③，连结AG，此时蜘蛛从点A处出发先到EH上，再到点G处．
因为GF＝BC＝5 cm，AE＝BF＝6 cm，EF＝AB＝3 cm，
所以AF＝AE＋EF＝6＋3＝9(cm)．
在Rt△AFG中，AG2＝AF2＋GF2＝92＋52＝106.
因为130＞106＞100，
所以蜘蛛按情况(1)中的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10 cm.
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．【教材P127复习题T8变式】下列各组数中，是勾股数的是( )
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．9，40，41 D．－6，－8，－10
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是( )
A．a2＋b2＝2c2 B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2
4．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．【教材P124阅读材料变式】下面各图，不能用来验证勾股定理的正确性的是( )
6．东海上一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处( )
A．25 km B．24 km
C．7 km D．1 km
7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上的D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )
A．
B．3
C．1
D．
8．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5 m，高为3 m．计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要( )
A．5 m
B．7 m
C．8 m
D．12 m
9．【教材P120例1变式】如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A处沿着侧面爬到上底面与点A相对的点B处，已知圆柱体的底面半径为1 cm，高为4 cm，则蚂蚁爬行的最短路程(π取3)约为( )
A．4 cm
B．4.5 cm
C．5 cm
D．6 cm
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝________．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则AB的长为________．
13．若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为__________．
15．如图，高速公路上有相距25km的A，B两点，C，D为两村庄，已知DA＝10 km，CB＝15 km. DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E的距离相等，则AE的长是________．
16．如图是一个圆柱形的饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是________．
17．【教材P118习题T4变式】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆形，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于________．
18．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1.在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为________．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14.求AB的长．
20．【教材P127复习题T5改编】在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝8，AB＝6，BC＝24. 求正方形DCEF的面积．
21．如图是一块四边形木板，其中AB＝16 cm，BC＝24 cm，CD＝9 cm，AD＝25 cm，∠B＝∠C＝90°.李师傅找到BC边的中点P，连结AP，DP，发现△APD是直角三角形．请你通过计算说明理由．
22．一根直立的旗杆长8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部B着地，离杆脚A 4 m，如图，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m的D处，有一明显刮痕．如果旗杆从D处折断，则杆脚周围多大范围内有被砸中的危险？
23．如图，在一次缉毒行动中，警方获得可靠信息，一辆运毒车将经过5号公路，但由于运毒车上有爆炸装置，警方无法靠近，只能采取远程射击的策略，为了减少不必要的伤亡，警方选中一距离5号公路120 m的隐蔽处P点．已知警方远程射击的射程为200 m．警方在准备行动时发现运毒车已经来到与P点的水平距离为300 m的地方．如果运毒车的车速为20 m/s，那么警察发现运毒车后要在几秒内对其进行射击？
24．如图，一只蜘蛛在一个长方体实心木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体实心木块的顶点G处．若AB＝3 cm，BC＝5 cm，BF＝6 cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是多少？
答案
一、1．A 2．C 3．C 4．C 5．C 6．C
7．A 8．B 9．C 10．A
二、11．50 12．17 13．17 14．4.8
15．15 km 16．12≤a≤13
17．2π
18．5 点拨：如图，连结DE，与AC交于点P，连结BP，易知此时EP＋BP最短，且最短长度为DE的长．
由题易知AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4.
所以DE2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25，
所以DE＝5，
即EP＋BP的最短长度为5.
三、19．解：在Rt△ADC中，AD＝12，AC＝13，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝25.
所以CD＝5.
因为BC＝14，所以BD＝9.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝225.
所以AB＝15.
20．解：在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＋AB2＝DB2，
所以DB2＝82＋62＝102，
所以DB＝10.
在Rt△BCD中，再根据勾股定理得DB2＋BC2＝DC2，
所以DC2＝102＋242＝262，
所以DC＝26.
所以S正方形DCEF＝262＝676.
21．解：因为P为BC的中点，
所以BP＝CP＝BC＝12 cm.
在Rt△ABP中，根据勾股定理，
得AB2＋BP2＝AP2，
即162＋122＝AP2，
解得AP＝20 cm.
同理可得，DP＝15 cm.
因为152＋202＝252，
所以AP2＋DP2＝AD2.
所以△APD是直角三角形，且∠APD＝90°.
22．解：在Rt△ABC中，AB＝4 m，设BC＝x m，则AC＝(8－x)m.
由勾股定理得BC2＝AC2＋AB2，
即x2＝(8－x)2＋42，
解得x＝5.
故BC＝5 m，AC＝3 m.
如果旗杆从D处折断，设顶部的着地点为E，
则DE＝BC＋CD＝5＋1.25＝6.25(m)，
AD＝AC－CD＝3－1.25＝1.75(m)．
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2＝DE2－AD2＝6.252－1.752，所以AE＝6 m.
答：杆脚周围6 m范围内有被砸中的危险．
23．解：如图，令5号公路为直线l，此时运毒车在点A处．过点P作PC⊥l于点C.
由题意知PC＝120 m.
设运毒车在B点进入警方射程，则PB＝200 m.
在Rt△PBC中，PC2＋BC2＝PB2，即1202＋BC2＝2002，
所以BC＝160 m(负值已舍去)，
所以运毒车在射程内的路程为2BC＝320 m.
因为AC＝300 m，所以AB＝AC－BC＝300－160＝140(m)．
因为运毒车的车速为20 m/s，
所以140÷20＝7(s)，320÷20＝16(s)，7＋16＝23(s)，
故警察发现运毒车后要在7 s至23 s内对其进行射击．
24．解：分三种情况讨论：
(1)如图①，连结AG，此时蜘蛛从点A处出发先到BF上，再到点G处．
因为AB＝3 cm，BC＝5 cm，
所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．
已知CG＝BF＝6 cm，所以在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100.
(2)如图②，连结AG，此时蜘蛛从点A处出发先到EF上，再到点G处．
因为FG＝BC＝5 cm，
所以BG＝5＋6＝11(cm)．
在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130.
(3)如图③，连结AG，此时蜘蛛从点A处出发先到EH上，再到点G处．
因为GF＝BC＝5 cm，AE＝BF＝6 cm，EF＝AB＝3 cm，
所以AF＝AE＋EF＝6＋3＝9(cm)．
在Rt△AFG中，AG2＝AF2＋GF2＝92＋52＝106.
因为130＞106＞100，
所以蜘蛛按情况(1)中的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10 cm.