人教版九年级上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
21.2一元二次方程的根
与系数的关系
第21章 一元二次方程
1、一元二次方程的一般形式？
ax2+bx+c=0（a≠0）
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？
△=b2-4ac≥0
3、当△＞0，△=0，△＜0, Δ≥0根的情况如何？
复习回顾 (2分钟）
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程没有实数根；
当Δ≥0时，方程有实数根；
4、一元二次方程的求根公式是什么？
学习目标（1分钟）
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系;
2.能利用一元二次方程的根与系数关系解决一些综合性问题.
阅读教材P49-50内容，思考：
1、一元二次方程的两根之和、两根之积与系数有什么关系呢？请完成以下表格
自学指导1（4分钟）
方程 x1 x2 x1+ x2 x1·x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
x2-5x +4=0
你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，与x1 x2系数有什么规律？猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2
2 1
3
2
-1 3
2
-3
1 4
5
4
方 程
-2
x1+ x2，x1 x2与系数有什么规律
请利用求根公式证明你的猜想；
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则：
x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.
自学检测1（3分钟）
根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x-1=0 x1+x2 = ___ x1x2= ___
（2）x2+7x=-6 x1+x2= ___ x1x2= ___
（3）5x2+kx-6=0 x1+x2= ___ x1x2= ___
-7
6
b2 -4ac=
举一反三
A
1. 若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A. －10　 B. 10　　　 C. －16　 D. 16
2. 若一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2 ，则x1·x2的值是( )
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
3. 若方程x2－2x－1＝0 的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2 的值为　 　.
D
3
认真阅看下面例题，掌握其解题的方法.
自学指导2（4分钟）
例2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ,X1X2 = ___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
4
1
2X1X2
14
X1+X2
12
1.已知方程的 一个根是2，求它的另一个根及K的值
自学检测2（8分钟）
2. 已知方程　　　　　　　 的两个实数根
是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1.X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
易错点
点拨：（4分钟）
在使用根与系数的关系时，注意不要忽视前提条件
利用根与系数的关系，求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2的
（1）平方和 :
（2）倒数和 ：
（3）差的绝对值：
△=b2-4ac≥0
易错点：
课堂小结 （2分钟）
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中， a、b、c有哪些作用？
1、求根公式：
2、韦达定理：
１.下列方程的两根和与两根积各是多少？
2.已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_______
3.若一个矩形的长和宽是一元二次方程 x -10x+20=0的
两根，则这个矩形的周长是_____ ,面积是_____
4.若方程2x -x=3的两根为 则
当堂训练（13分钟）
2和-1
20
20
5.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，求m＋n的值.
解：∵关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，
∴－2＋4＝－m，－2×4＝n，
解得m＝－2，n＝－8，
∴m＋n＝－10.
6. 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知可得：
△=
{
∴因此m的取值范围是 0解得
{
m>0
m-1<0
7. 方程x2 (m 1)x 2m 1 0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
②∵两根互为倒数 m2 6m 5,
∴两根之积2m 1 1 ,∴ m 1且 0,
∴m 1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0,
∴两根之积2m 1 0得 且 0,
∴ 时,方程有一根为零.
解: (m 1)2 4(2m 1) m2 6m 5
①∵两根互为相反数
∴两根之和m 1 0,m 1,且 0
∴m 1时,方程的两根互为相反数.
7. 方程x2 (m 1)x 2m 1 0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
选做题
设x1，x2是方程x2－x－2 013＝0的两实数根，则x13 ＋2 014x2－2 013＝　　　.
解　∵x2－x－2 013＝0，∴x2＝x＋2 013.
又∵x1，x2是方程x2－x－2 013＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝1，∴x13＋2 014x2－2 013
＝x1·x12＋2 013x2＋x2－2 013
＝x1·(x1＋2 013)＋2 013x2＋x2－2 013
＝(x1＋2 013)＋2 013x1＋2 013x2＋x2－2 013
＝x1＋x2＋2 013(x1＋x2)＋2 013－2 013
＝1＋2 013
＝2 014.
答案　2 014
板书设计
2.5一元二次方程的根
与系数的关系
求根公式：
根与系数的关系：
公式推导：
设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，
则x1=
X2=
负号千万别丢掉！
如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
例：利用根与系数的关系，
求下列方程的两根之和、两根之积：
x2 +7x+6=0
解：这里a=1,b=7,c=6.
b2-4ac=7-4×1×6=49-24=25＞0
∴方程有两个实数根。
∴x1+x2=-7，x1x2=6
为什么要加上这一步？