人教版数学九年级下册26.1.1 反比例函数 教案

26.1.1反比例函数的图象和性质（一）
三维目标
一、知识与技能
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象．
2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合．
3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．
二、过程与方法
1．经历反比例函数主要性质的发现过程．
2．体会分类讨论思想、数形结合思想的运用．
三、情感态度与价值观
1．积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法．
2．在动手作图的过程中，体会做中的乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯．
教学重点
掌握反比例函数的作图．
教学难点
反比例函数三种表示方法的相互转换．
教具准备
1．教师准备：投影仪、直尺、圆规．
2．学生准备：预习本节课的内容．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
（1）画函数y=3x-1的图象；（2）求上述函数与x轴、y轴的交点坐标．
设计意图：
总结一次函数图象作法的基本步骤及其性质，为学习反比例函数的图象和性质作准备．
师生行为：
学生独立思考、操作、交流、回答；教师可与学生平等交流，提问学生．
生：（1）列表：（由于一次函数的图象是一条直线，所以只需找到两个点）．
x 0
y -1 0
（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
（3）连线：连接两点即可得y=3x-1的图象（图象略）令x=0，则y=-1，∴一次函数与y轴交点坐标为（0，-1），令y=0，得x=，∴一次函数与x轴交点的坐标为（，0）．
师：很好，什么叫做反比例函数？
生：如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=（k为常数且k≠0）的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零．
师：请同学们猜一猜，一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数的图象是什么样的呢？你能画出例如y=，y= HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.DSMT4 ，y=-，y=-的图象吗？
生：我认为反比例函数的图象是断开的，因为x≠0．
生：我认为反比例函数的图象是与x轴、y轴无交点，因为x≠0，y≠0．
师：反比例函数的图象到底如何呢？下面我们亲自动手操作就会发现反比例函数图象的特点．
二、探索、研究──揭示反比例函数的特点
活动2
【例2】画出反比例函数y=与y=-的图象．
设计意图：
进一步熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象．同时让学生进一步体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，去为发现反比例函数的性质作准备．
师生行为：
学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此在作图过程中应给学生留有思考的时间和交流的空间．
学生可以先自己动手画图，相互观摩．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换；
②是否熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；
③在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索．
师：这是我们初次遇到作反比例函数的图象．但作图象的步骤和要求与画一次函数图象基本一样．第一步应该做什么？
生：列表．由于自变量x≠0，列表时，我们是否在0的两边对称地取互为相反数的x值．这样y就只差一个符号，可以减少计算量．
师：这个同学的想法很好！“三思而后行”，使自己的思路变得如何清晰，是很了不起的事．我们不妨分成两个大组，第一大组列函数y=的表格，第二大组列函数y=-的表格．
生：解：列表表示几组x与y的对应值（填空）：
x…-6-5-4-3-2-1123456…
y=…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21…
y=-…11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1…
师：你还记得如何用“描点”的方法画出函数的图象吗？
生：从列出的表格可知，画y=的图象需描点（-6，-1），（-5，-1.2），（-4，-1.5），（-3，-2），（-2，-3），（-1，-6），（1，6），（2，3），（3，2），（4，1.5），（5，1.2），（6，1）…
画y=-的图象需描点（-6，1），（-5，1.2），（-1，1.5），（-3，2），（-2，3），（-1，6），（1，-6），（2，-3），（3，-2），（4，-1.5），（5，-1.2），（6，-1）…
生：我们找到了点在直角坐标系内描出相应的点，接着该连线了吧？这么多的点从哪儿连起呢？
生：我认为连线要用平滑的曲线把各个点按自变量由小到大的顺序连起来．
师：很好！反比例函数是我们第一次遇到的非直线的函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，我们从描出的点的变化趋势就可看出，切记不能用折线连接．
师生共析：
用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出点连接起来，就可得到下图:
师：我们利用列表、描点、连线，得到了y=与y=-的图象，它们有什么共同的特征？它们之间有什么关系呢？
生：比较反比例函数y=与y=-的图象可以发现，它们都是由两条曲线组成，曲线都无限地接近x、y轴，但不会与x轴、y轴相交．
师：也就是反比例函数的图象是双曲线．
生：还可以发现y=与y=-的图象都是轴对称图形，各有两条对称轴．它们都不会经过原点．
活动3
练习：
在下面的平面直角坐标系中，如下图画出反比例函数y=与y=-的图象，可以利用y=与y=-图象之间的关系画出函数y=-的图象．
设计意图：
进一步熟悉画反比例函数图象的一般步骤和需要注意的问题：列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样可以简化运算，又便于描点，作出图象的对称；列表，描点时，要尽可能多取一些数值，多描一些点，这样便于连线．在连线时，必须用光滑曲线连接各点，而又不能用折线等．
师生行为：
由学生自己独立完成．
教师巡视对有困难的学生给予指导，然后让两个同学板演．
在此活动中教师应重点关注：
①能否掌握画反比例函数图象的步骤；
②能否用光滑的曲线画出；
③能否利用y=与y=-的关系画出函数的图象．
活动4
观察函数y=和y=-以及y=和y=-的图象．
（1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化如何变化？
设计意图：
提高学生从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质，体会分类讨论的思想，数形结合思想的运用．并引导学生积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法．
师生行为：
学生分组针对上面3个问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质．
教师参与到学生的讨论中去，积极引导．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否从反比例函数y=，y=-和y=与y=-图象中归纳出它们的相同点和不同点．
②学生能否积极参与到小组讨论中，大胆发表自己的见解，倾听别人的看法．
师：观察y=和y=-以及y=和y=-的图象，函数y=的图象在哪些象限由什么因素来决定？
生：y=，y=的图象都在第一、第三象限；而y=-和y=-的图象都在第二、第四象限．
所以y=的图象在哪些象限，由k来决定．当k>0时反比例函数的图象位于第一、第三象限；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限．
师：很好！我们已知道反比例函数的图象是两支，我们把它叫做双曲线，而函数是研究两个变量之间的关系的．像y=和y=-以及y=与y=-，它们的图象在每个象限，y随x的变化如何变化？
生：由y=的图象可以发现，位于第一象限内的图象，从左向右看，x在增大，曲线成下降趋势，说明函数值y随x的增大而减小，位于第三象限的一支也随x的增大减小．
生：由y=-的图象可以发现，在每个象限内，y随x的增大而增大．
生：而y=与y=-的图象也不难发现：对于y=，在每一个象限内，y随x的增大而减小，对于y=-，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
师生共析：
所以，y随x的变化情况也同k有关系，即y=，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
生：为什么要强调在“每一个象限内”呢？
师：大家知道，反比例函数的图象是“断开”的．所以，y随x的变化情况也是“断开”的，因此需在每一个象限内分别讨论：
综上所述，反比例函数的图象和性质如下：
（1）反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大．
下面我们就根据反比例函数的图象和性质完成下列练习．
三、巩固提高
活动5
1．请指出下面的图象中，如下图哪一个是反比例函数的图象（ ）
2．如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（ ）
A．y=5x B．y=2x+3 C．y= D．y=-
设计意图：
熟悉反比例函数的图象和性质，进一步体会数形结合的思想．
师生行为：
学生独立思考完成．
教师巡视，引导“学困生”完成任务．
在此活动中，学生应重点关注：
（1）学生能否熟练掌握反比例函数的图象和性质．
（2）学生是否能将刚学过的知识用于实践．
生：解：1．反比例函数的图象是双曲线，所以应选Ｃ．
2．从上图中可以看出是反比例函数的图象，而给出的四个函数中，AB都不是反比例函数，而D虽是反比例函数，但y=-中，k=-3<0，图象应在二、四象限，应选C．
四、课堂总结，提高认识
活动6
你对本节知识有哪些认识？
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都制造了在数学学习活动中获得成功的体验体会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小节活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生对反比例函数的图象和性质又充分认识，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
教师可由学生随意说出一个反比例函数，然后由另一个学生说出它的性质或制作卡片（卡片上可直接写上几个反比例函数或反比例函数的图象）．让学生抽取并回答卡片上提出的问题．
在活动中，教师应重点关注：
（1）不同层次学生对本节课知识的认识程序；
（2）学生独立面对困难和克服困难的能力．
板书设计
17．1．2反比例函数的图象和性质（一）
1．反比例函数的图象和性质
（1）y=，y=-
（2）y=，y=-
①反比例函数的图象是双曲线；
②当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
③当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大．
2．练习
活动与探究
右如图A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函数y=图象在第一象限分支上的三个点，且x1k=│x1y1│=S矩形ADOH=S1=1；k=│x2y2│=S矩形BEON=S2=1；k=│x3y3│=S矩形CFOP=S3=1．
所以S1=S2=S3，即双曲线上任意一点的纵、横坐标的乘积是一个常数，该常数的绝对值即为双曲线上一点，分别作坐标轴的垂线所得矩形的面积．
在下图中，若正比例函数y=2x与y=ax（a>0）的图象与反比例函数y=（k>0）的图象分别交于A、C两点．若Rt△AOB与Rt△COD的面积分别记为S1、S2，请你分析S1和S2的大小关系，并写出分析过程．
过程：∵A、C是y=（k>0）上的点，x1y1=x2y2=k，S△AOB= HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.DSMT4 │x1y1│=k，
S△COD= HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.DSMT4 │x2y2│=k．
结果：S△AOB=S△COD即面积相等．
备课资料
参考例题
【例1】反比例函数y=的图象所在象限内，y随x的增大而增大，求a的值．
分析：根据反比例函数解析式的一般式y=（k≠0），可知此函数为反比例函数，13-a2=1；2a-3≠0，根据反比例函数的性质，图象在象限内，y随x的增大而增大，则2a-3<0．
解：由
所以a=-2．
【例2】已知一次函数y=k1x+b中，y随x的增大而减小，且b>0；反比例函数y=中，k1=k2，那么它们在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
分析：由一次函数y=k1x+b中，y随x的增大而减小，则可知k1<0．又b>0，故直线与y轴交点在y轴的正半轴上．
因k2=k1，而且k1<0，所以k2<0．双曲线y=在第二、第四象限，故选C．