北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程同步练习 2022-2023学年(含答案)

北师大版九下 2.5 二次函数与一元二次方程
一、选择题（共8小题）
1. 抛物线 的顶点在 轴上，则 的值为
A. B. C. D.
2. 如图，二次函数 的图象与 轴交于 ，，与 轴的负半轴交于点 ，则方程 的实数根为
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是
A. B.
C. 且 D. 或
4. 二次函数 的图象在 这一段位于 轴的下方，在 这一段位于 轴的上方，则 的值为
A. B. C. D.
5. 抛物线 （，， 为常数）开口向下且过点 ，，下列结论：① ；② ；③ ；④若方程 有两个不相等的实数根，则 ．其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
6. 已知抛物线 与 轴有两个交点 ，．现有如下结论：
①此抛物线过定点 ；
②若抛物线开口向下，则 的取值范围是 ；
③若 时，有 ，，则 的取值范围是 ．
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
7. 如图，抛物线 和直线 都经过点 ，抛物线的对称轴为 ，那么下列说法正确的是
A.
B.
C.
D. 是 的解
8. 已知二次函数 图象的对称轴为 ，图象如图所示，现有下列结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．正确的是
A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤
二、填空题（共5小题）
9. 如图，直线 和抛物线 都经过点 和 ，不等式 的解集为 ．
10. 抛物线 （ 为常数）与 轴交点的个数是 ．
11. 抛物线 交 轴于点 和 （点 在点 左侧），抛物线的顶点为 ，下列四个结论：
①抛物线过点 ；
②当 时， 是等腰直角三角形；
③ ；
④抛物线上有两点 和 ，若 ，且 ，则 ．
其中结论正确的序号是 ．
12. 如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，点 在抛物线上，且 ， 与 轴相交于点 ，过点 的直线 平行于 轴，与抛物线相交于 ， 两点，则线段 的长为 ．
13. 二次函数 的部分图象如图所示，则不等式 的解集为 ．
三、解答题（共7小题）
14. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）当 时，
①求抛物线的对称轴，并用含 的式子表示顶点的纵坐标；
②若点 ， 都在抛物线上，且 ，则 的取值范围是 ；
（2）已知点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ．当 时，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
15. 抛物线的顶点坐标为 ，点 也在图象上，求出它的函数解析式．
16. 已知二次函数 ．
（1）求证：不论 为任何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个交点．
（2）当二次函数的图象经过点 时，确定 的值．并写出此二次函数与 轴的交点坐标．
17. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于 ， 两点，且点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上．
（1）求点 的坐标；
（2）若 ，求直线 的解析式；
（3）若 ，求 的取值范围．
18. 已知点 ，，， 在直角坐标平面内的位置如图所示，求图中四边形 的面积．
19. 已知二次函数 ．
（1）当 时，求函数的值；
（2）当 取何值时，函数值为零．
20. 已知二次函数 ．求证：
（1）此二次函数的图象与 轴有两个交点；
（2）当 取不同的值时，这些二次函数的图象都会经过一个定点，求此定点的坐标．
答案
1. B
2. C
【解析】 二次函数 的图象交于 ，，
，
为 的实数根为 ，，
故选C．
3. A
【解析】由图象可知，抛物线与 轴的一个交点为 ，对称轴是 ，
根据抛物线的对称性可知抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ．由图象看出当 时，函数图象在 轴上方，所以不等式 的解集是 ．
4. A
【解析】 抛物线 的对称轴为直线 ，而抛物线在 这一段位于 轴的上方，
抛物线在 这一段位于 轴的上方．
抛物线在 这一段位于 轴的下方，
抛物线过点 ，把 代入 ，得 ，解得 ．
5. A
【解析】根据题意得 ，
，
当 时，有 ，
，
，
②正确，
由 ，得 ，
，
，
①正确，
由 得 ，
当 时，，
而 ，，
，
③正确，
若方程 有两个不相等的实数根，
即 有两个不相等的实数根，
顶点的纵坐标 ，
，
④正确．
6. D
【解析】①将 代入得 ，
过点 ，正确．
②抛物线开口向下：，
，
抛物线与 轴有两个交点，，
即：，，，
，正确．
③ ，，抛物线开口向上，
即
，正确．
综上，①②③均正确．
7. D
【解析】由图象可知 ，，
，故A错误；
由图象得知抛物线与 轴有两个不同的交点，
，故B错误；
过点 ，
．
过点 ，
．
，故C错误；
对称轴为 ，
．
．
．
当 时，，
由图象可知，，
，即 ；故D正确．
8. D
【解析】①由题图可知，，，，
所以 ，故①错误；
②由于 ，
所以 ，
又 ，所以 ，故②错误；
③当 时，，故③错误；
④当 时， 的值最大，此时，，
而当 时，，
所以 ，故 ，即 ，故④正确；
⑤当 时，函数值小于 ，即 ，
因为该抛物线的对称轴是直线 ，
所以 ，
所以 ，得 ，故⑤正确．故④⑤正确．故选D．
9. 或
10.
【解析】当 时，，
，
有两个不相等的实数根，
抛物线 （ 为常数）与 轴有两个交点．
11. ①②④
【解析】①当 时，，
抛物线经过点 ，故①正确；
②当 时，抛物线 与 轴交于点 和 ，
点 在点 左侧，
时，，，
，，
又点 为抛物线 的顶点，
点坐标为 ，
，，，
又 ，
由勾股定理逆定理可知： 为直角三角形，
又 ，
是等腰直角三角形，故②正确；
③抛物线 对称轴为直线 ，
由抛物线对称性可知 ，
，故③错误；
④抛物线 图象开口向下，对称轴为直线 ，
抛物线上离对称轴越近的点对应的函数值越大，
又 ， 和 ，
， 两点的中点在对称轴 右侧，
又 ，
到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
，故④正确．
故其中正确序号为：①②④．
12.
【解析】当 时，，
解得 或 ，
点 的坐标为 ．
当 时，，
点 的坐标为 ．
当 时，，
解得 或 ，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得
解得
直线 的解析式为 ．
当 时，，
点 的坐标为 ．
当 时，，
解得 ，，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
．
13.
【解析】抛物线的对称轴为直线 ，而抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
所以抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
当 时，抛物线在 轴上方，
所以不等式 的解集为 ．
14. （1） ① ，
抛物线为 ．
，
抛物线的对称轴为直线 ．
当线 时，，
顶点的纵坐标为 ．
② 或
【解析】② 抛物线的对称轴为直线 ，开口向上， 到 的距离为 ，
点 ， 都在抛物线上，且 ，
则 的取值范围是 或 ．
（2） 点 向右平移 个单位长度，得到点 ，
点 的坐标为 ．
，抛物线为 ．
当抛物线经过点 时，，解得 ；
当抛物线经过点 时，，解得 ；
当抛物线的顶点在线段 上时，，解得 ．
结合图象可知， 的取值范围是 或 或 ．
15.
16. （1） ，
不论 为任何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个交点．
（2） 依题意得
解得
，
当 时，有
解得
此二次函数与 轴的交点坐标为 和 ．
17. （1） 抛物线 与 轴交于点 ，
点 的坐标为 ．
（2） 当 时，抛物线 为 ．
抛物线 与 轴交于点 ，且点 在 轴的正半轴上，
点 的坐标为 ．
直线 过 ， 两点，
解得
直线 的解析式为 ．
（3） 如图．
当 时，且 时，抛物线 过点 ，此时 ．
结合函数图象可得 ．
当 时，且 时，抛物线 过点 ，此时 ．
结合函数图象可得 ．
综上所述， 的取值范围是 或 ．
18.
19. （1） ．
（2） 或 ．
20. （1）
，
，
二次函数图象与 轴有两个交点．
（2） 当 时，．
当 取不同的值时，这些二次函数的图象都会经过 ．