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人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——圆的性质
一、单选题
1．（2021九上·南充期末）如图，AB，CD是⊙O的弦，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
2．（2021九上·海珠期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（2021九上·准格尔旗期末）如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·红桥期末）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
5．（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
6．（2021九上·温州期末）如图，A，B，C是⊙O上的点，满足CA平分∠OCB.若∠OAC=25°，则∠AOB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
7．（2021九上·河东期末）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
8．（2021九上·虎林期末）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=6，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
9．（2021九上·长沙期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 .
10．（2021九上·澄海期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为 ．
11．（2021九上·吴兴期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ．
12．（2021九上·广饶期末）如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，则∠A= °
13．（2021九上·东莞期末）如图，ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，CD＝6，OA交BC于点E，则AD的长度是 ．
14．（2021九上·燕山期末）已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ．
15．（2021九上·前进期末）如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于 ．
16．（2021九上·虎林期末）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 度．
17．（2021九上·淮南月考）如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是 .
三、解答题
18．（2020九上·惠城期末）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．
19．（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
20．（2021九上·通州期末）如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
21．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
四、综合题
22．（2021九上·南京期末）如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD.
（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径.
23．（2022九上·诸暨期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：；
（2）若，半径，求BD的长.
24．（2021九上·温州期末）如图，AB是 的直径，弦 于点M，连结CO，CB.
（1）若 ， ，求CD的长度；
（2）若 平分 ，求证： .
25．（2021九上·燕山期末）如图，是的弦，C是上的一点，且，于点E，交于点D．若的半径为6，求弦的长．
26．（2021九上·信都月考）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝4， AD＝2，求⊙O的半径．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理可得∠ADC=
∠AOC=40°，然后利用平行线的性质进行解答.
2．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：D．
【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理和勾股定理列出方程42+（r-2）2=r2，求解即可。
3．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于E，
∵，
∴∠AOC=2，
∵点是弧中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2EO，
∵，
∴，
∴，即圆心到弦的距离等于，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，OC交AB于E，根据垂径定理可得OC⊥AB，，再由圆周角定理推出∠AOC=2∠ADC=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝==.
故答案为：D．
【分析】连接BE，先利用三角形的中位线求出BE=2OC=6，再利用垂径定理可得BC=AC=4，再利用勾股定理求出CE长即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为 M、N
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当油面没超过圆心O，油面宽为8cm；②当油面超过圆心O，油面宽为8cm；根据垂径定理及勾股定理分别解答即可.
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC=OA，∠OAC=25°，
∴∠ACO=25°，
∵CA平分∠OCB，
∴∠ACB=25°，
∴∠AOB=50°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠ACO得度数，再由 CA平分∠OCB，求得∠ACB，最后根据圆周角定理可得∠AOB.
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
为的直径，
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先求出∠ACB=90°，再根据 ∠CDB＝30°，BC＝4.5， 计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
∵OB=5，BM= ，
∴OM=
∵AB=CD=6，
∴ON=OM=4，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=4．
故答案为：D．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，先利用勾股定理求得OM的长，再判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长。
9．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵∠A=30°，
∴∠COH=2∠A=60°，
∵弦CD⊥AB于H，
∴∠OHC=90°，
∴∠OCH=30°，
∵OH=1，
∴OC=2OH=2.
故答案为：2.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得∠COH=2∠A=60°，则∠OCH=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CD=OD+OE=5+3=8，
在Rt△AED中，AD=，
故答案为．
【分析】先利用垂径定理求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
11．【答案】55°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=110°，
∴∠A=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵点C是弧DB的中点，
∴∠BOC=70°，
∴∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC=55°.
故答案为：55°.
【分析】连接OC，OD，利用圆内接四边形的性质可求出∠A的度数；再利用圆周角定理可证得∠COD=∠BOC=70°，从而得出∠AOC=110°；然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ABC的度数.
12．【答案】40
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+40°+60°=180°，∴∠A=40°．
【分析】先求出∠ECD=∠A，再求出∠A=∠1+∠2，最后计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】如图，过O作于点F，故
∵，
∴，
∴，
∴，
∵BD为⊙O的直径，
∴
∵，，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理得出，根据直角三角形的两个锐角互余计算得出，根据直角三角形的性质求出BD，根据等边三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算即可得出答案。
14．【答案】①②③⑤
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：，都是大于半圆的弧，故①②符合题意，
在圆上，则线段是弦；故③符合题意；
都在圆上，
是圆周角
而F点不在圆上，则不是圆周角
故④不符合题意；
是圆心，在圆上
是圆心角
故⑤符合题意
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理判断即可。
15．【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝，
故答案为：4．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角的性质可得∠BOC＝90°，再利用勾股定理求出BC的长即可。
16．【答案】15
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
【分析】先求出∠AOB=70°-40°=30°，再根据圆周角的性质可得∠1=∠AOB=15°。
17．【答案】，且0＜x＜180
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOP和∠BQP是同圆中同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠BOP=2∠Q=2y°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AOP+∠BOP=180°，即x+2y=180.
∴，且0＜x＜180．
【分析】先求出∠AOP+∠BOP=180°，再求出x+2y=180，最后求解即可。
18．【答案】解：半径弦AB于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
19．【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
20．【答案】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴，
∴，
∵CF∥BD，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理即可得出结论。
21．【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
22．【答案】（1）解：如图，连接 ，
，
，
，即 ，
，
；
（2）解：连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，过 作 于点 ，
，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
在 中， ，
即 的半径为 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接AB，根据弧、弦的关系可得
，推出
，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠BAC，据此证明；
（2）连接PO，并延长交AB于点E，连接OA、OB，过O作OF⊥AC于点F，易得PE为AB的垂直平分线，则AE=4，易得AC=BD=AB=8，AP=5，AF=AE=4，PF=1，利用勾股定理求出PE，利用HL证明△AOE≌△AOF，得到OE=OF，设OE=OF=x，则OP=3-x，在Rt△POF中，由勾股定理可得x，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理就可求出OA，据此可得⊙O的半径.
23．【答案】（1）证明：连接BC，
∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，
∴，
∴，
在中，.
∵，
∴，
∴，
∴三角形ECD为等腰三角形，
∴.
（2）解：在中，，
∵CD=DE，CD=BD，
∴BD=ED
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接BC， CD=BD，可以得到，由直径所对的圆周角是直角，可得到，可得到，即可解答；
（2）由题意可以很容易得到 ，由全等三角形的性质可以得到，进而易求CE，在中， 由勾股定理可以得到BE的长度，即可得到BD的长度.
24．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM 4，
∴CD＝8；
（2）证明：过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM＝ON，
∵CO=CO
∴Rt△COM≌Rt△CON
∴CM=CN
∴CB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得CM=DM，由已知条件可求出圆的直径和半径，再利用勾股定理求出CM的长，即可得到CD的长.
（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，利用角平分线的性质可证得ON=OM，利用HL证明Rt△COM≌Rt△CON，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，利用垂径定理可证得结论.
25．【答案】解：如图，连接OB，
则∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠AOB=60°，
∵AO=6，
∴在Rt△AOE中，，
∴AB=2AE，
故答案为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂直的性质得出∠AOE=∠AOB=60°，再根据勾股定理得出AE的值，由此得出AB的值。
26．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，即点D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
而DC＝BD，
∴DE＝BD＝4，
∵AD＝2，
在Rt△ADB中，AB＝＝，
∴⊙O 的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADB＝90°， 再求出 AD⊥BC， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠C＝∠E， 再求出 DE＝BD＝4， 最后利用勾股定理计算求解即可。
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人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——圆的性质
一、单选题
1．（2021九上·南充期末）如图，AB，CD是⊙O的弦，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理可得∠ADC=
∠AOC=40°，然后利用平行线的性质进行解答.
2．（2021九上·海珠期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：D．
【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理和勾股定理列出方程42+（r-2）2=r2，求解即可。
3．（2021九上·准格尔旗期末）如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于E，
∵，
∴∠AOC=2，
∵点是弧中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2EO，
∵，
∴，
∴，即圆心到弦的距离等于，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，OC交AB于E，根据垂径定理可得OC⊥AB，，再由圆周角定理推出∠AOC=2∠ADC=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可。
4．（2021九上·红桥期末）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝==.
故答案为：D．
【分析】连接BE，先利用三角形的中位线求出BE=2OC=6，再利用垂径定理可得BC=AC=4，再利用勾股定理求出CE长即可。
5．（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为 M、N
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当油面没超过圆心O，油面宽为8cm；②当油面超过圆心O，油面宽为8cm；根据垂径定理及勾股定理分别解答即可.
6．（2021九上·温州期末）如图，A，B，C是⊙O上的点，满足CA平分∠OCB.若∠OAC=25°，则∠AOB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC=OA，∠OAC=25°，
∴∠ACO=25°，
∵CA平分∠OCB，
∴∠ACB=25°，
∴∠AOB=50°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠ACO得度数，再由 CA平分∠OCB，求得∠ACB，最后根据圆周角定理可得∠AOB.
7．（2021九上·河东期末）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
为的直径，
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先求出∠ACB=90°，再根据 ∠CDB＝30°，BC＝4.5， 计算求解即可。
8．（2021九上·虎林期末）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=6，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
∵OB=5，BM= ，
∴OM=
∵AB=CD=6，
∴ON=OM=4，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=4．
故答案为：D．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，先利用勾股定理求得OM的长，再判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长。
二、填空题
9．（2021九上·长沙期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 .
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵∠A=30°，
∴∠COH=2∠A=60°，
∵弦CD⊥AB于H，
∴∠OHC=90°，
∴∠OCH=30°，
∵OH=1，
∴OC=2OH=2.
故答案为：2.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得∠COH=2∠A=60°，则∠OCH=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
10．（2021九上·澄海期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CD=OD+OE=5+3=8，
在Rt△AED中，AD=，
故答案为．
【分析】先利用垂径定理求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
11．（2021九上·吴兴期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ．
【答案】55°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=110°，
∴∠A=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵点C是弧DB的中点，
∴∠BOC=70°，
∴∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC=55°.
故答案为：55°.
【分析】连接OC，OD，利用圆内接四边形的性质可求出∠A的度数；再利用圆周角定理可证得∠COD=∠BOC=70°，从而得出∠AOC=110°；然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ABC的度数.
12．（2021九上·广饶期末）如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，则∠A= °
【答案】40
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+40°+60°=180°，∴∠A=40°．
【分析】先求出∠ECD=∠A，再求出∠A=∠1+∠2，最后计算求解即可。
13．（2021九上·东莞期末）如图，ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，CD＝6，OA交BC于点E，则AD的长度是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】如图，过O作于点F，故
∵，
∴，
∴，
∴，
∵BD为⊙O的直径，
∴
∵，，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理得出，根据直角三角形的两个锐角互余计算得出，根据直角三角形的性质求出BD，根据等边三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算即可得出答案。
14．（2021九上·燕山期末）已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ．
【答案】①②③⑤
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：，都是大于半圆的弧，故①②符合题意，
在圆上，则线段是弦；故③符合题意；
都在圆上，
是圆周角
而F点不在圆上，则不是圆周角
故④不符合题意；
是圆心，在圆上
是圆心角
故⑤符合题意
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理判断即可。
15．（2021九上·前进期末）如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于 ．
【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝，
故答案为：4．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角的性质可得∠BOC＝90°，再利用勾股定理求出BC的长即可。
16．（2021九上·虎林期末）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 度．
【答案】15
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
【分析】先求出∠AOB=70°-40°=30°，再根据圆周角的性质可得∠1=∠AOB=15°。
17．（2021九上·淮南月考）如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是 .
【答案】，且0＜x＜180
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOP和∠BQP是同圆中同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠BOP=2∠Q=2y°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AOP+∠BOP=180°，即x+2y=180.
∴，且0＜x＜180．
【分析】先求出∠AOP+∠BOP=180°，再求出x+2y=180，最后求解即可。
三、解答题
18．（2020九上·惠城期末）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．
【答案】解：半径弦AB于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
19．（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
20．（2021九上·通州期末）如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
【答案】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴，
∴，
∵CF∥BD，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理即可得出结论。
21．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
四、综合题
22．（2021九上·南京期末）如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD.
（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，连接 ，
，
，
，即 ，
，
；
（2）解：连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，过 作 于点 ，
，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
在 中， ，
即 的半径为 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接AB，根据弧、弦的关系可得
，推出
，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠BAC，据此证明；
（2）连接PO，并延长交AB于点E，连接OA、OB，过O作OF⊥AC于点F，易得PE为AB的垂直平分线，则AE=4，易得AC=BD=AB=8，AP=5，AF=AE=4，PF=1，利用勾股定理求出PE，利用HL证明△AOE≌△AOF，得到OE=OF，设OE=OF=x，则OP=3-x，在Rt△POF中，由勾股定理可得x，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理就可求出OA，据此可得⊙O的半径.
23．（2022九上·诸暨期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：；
（2）若，半径，求BD的长.
【答案】（1）证明：连接BC，
∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，
∴，
∴，
在中，.
∵，
∴，
∴，
∴三角形ECD为等腰三角形，
∴.
（2）解：在中，，
∵CD=DE，CD=BD，
∴BD=ED
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接BC， CD=BD，可以得到，由直径所对的圆周角是直角，可得到，可得到，即可解答；
（2）由题意可以很容易得到 ，由全等三角形的性质可以得到，进而易求CE，在中， 由勾股定理可以得到BE的长度，即可得到BD的长度.
24．（2021九上·温州期末）如图，AB是 的直径，弦 于点M，连结CO，CB.
（1）若 ， ，求CD的长度；
（2）若 平分 ，求证： .
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM 4，
∴CD＝8；
（2）证明：过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM＝ON，
∵CO=CO
∴Rt△COM≌Rt△CON
∴CM=CN
∴CB＝CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得CM=DM，由已知条件可求出圆的直径和半径，再利用勾股定理求出CM的长，即可得到CD的长.
（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，利用角平分线的性质可证得ON=OM，利用HL证明Rt△COM≌Rt△CON，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，利用垂径定理可证得结论.
25．（2021九上·燕山期末）如图，是的弦，C是上的一点，且，于点E，交于点D．若的半径为6，求弦的长．
【答案】解：如图，连接OB，
则∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠AOB=60°，
∵AO=6，
∴在Rt△AOE中，，
∴AB=2AE，
故答案为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂直的性质得出∠AOE=∠AOB=60°，再根据勾股定理得出AE的值，由此得出AB的值。
26．（2021九上·信都月考）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝4， AD＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，即点D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
而DC＝BD，
∴DE＝BD＝4，
∵AD＝2，
在Rt△ADB中，AB＝＝，
∴⊙O 的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADB＝90°， 再求出 AD⊥BC， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠C＝∠E， 再求出 DE＝BD＝4， 最后利用勾股定理计算求解即可。
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