人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——弧长与扇形面积
一、单选题
1．（2021九上·白云期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ）
A．6π B．5π C．3π D．2π
2．（2021九上·吴兴期末）如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连结CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·平邑期末）如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．
4．（2021九上·南开期末）如图，在圆中半径OC弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·富裕期末）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
6．（2021九上·鄂城期末）如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021九上·舟山期末）如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的 O与AB相切于点E.若弧DE的长为 则阴影部分的面积 .（保留π）
8．（2021九上·莱芜期末）如图，是的直径，弦，垂足为，，，则 ．
9．（2021九上·泰山期末）如图，是的直径，点在上，，，．若的半径为1，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．
10．（2021九上·天桥期末）如图，△ABC各边长都大于4，⊙A、⊙B、⊙C的半径都等于2，则图中三个阴影部分的面积之和为 (结果保留π) ；
11．（2021九上·南昌期末）如图，等边
的边长为1，以
为圆心，
为半径画弧，交
的延长线于
，再以
为圆心，
为半径画弧，交
的延长线于
，再以
为圆心，
为半径画强，交
的延长线于
，则由弧
，弧
，优弧
及线段
围成的图形（
）的周长为 ．
12．（2022九上·诸暨期末）如图，扇形AOB，正方形OCDE的顶点C，E，D，分别在OA，OB，弧AB上，过点A作，交ED的延长线于点F.若图中阴影部分的面积为，则扇形AOB的半径为 .
13．（2021九上·砚山期末）一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为 ．
14．（2021九上·龙凤期末）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 ．
15．（2021九上·梅里斯期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．（结果保留π）．
16．（2021九上·大石桥期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
17．（2021九上·椒江期末）如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 .
三、综合题
18．（2022九上·鄞州开学考）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，为圆的直径，是的一条弦，为弧的中点，作于点，交的延长线于点，连接．
（1）若，则圆心到“杠杆”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．结果保留
19．（2021九上·邗江期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC.
（1）求证：BC是⊙O的切线.
（2）若∠EAB＝30°，OD＝5，求图中阴影部分的周长.
20．（2021九上·新兴期末）如图，有一个点O和△ABC，
（1）分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．
（2）若OB长度为4，求出△ABC绕点O逆时针旋转90°时点B旋转到对应点的路径长度（结果保留π）．
21．（2020九上·惠城期末）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；
（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求的长．
22．（2021九上·红桥期末）如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的长．
23．（2021九上·陵城期末）如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．
（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；
（2）若，求弧的长．
24．（2021九上·鄞州期末）如图， 是 的直径， 是圆上两点，且有 ，连结 ，作 的延长线于点E.
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求阴影部分的面积.（结果保留 ）
25．（2021九上·余杭期末）如图， 内接于 ，且 ，P是 上一点，且 .
（1）求 的度数；
（2）若 的半径为6，求 的长（结果保留 ）.
26．（2021九上·五常期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC 于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
（3）若AB=6，求的长．
27．（2021九上·宽城期末）如图，在中，以为直径的⊙O交于点D，点E是上一点，连结、，．
（1）判断所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若，⊙O的半径为6，求的长．（结果保留）
28．（2021九上·南充期末）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作 交AE的延长线于点C.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若 ，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
而∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOB所对弧的长度==2π．
故答案为：D．
【分析】先求出∠AOB的度数，再利用弧长公式求解即可。
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴∠CPD+∠COD=360°-90°-90°=180°；
∴点P，C，D，O四点在同一个圆上，
∵CD的值最大，
∴当CD为直径时，CD的值最大，
∴∠COD=90°
∴扇形OAB的面积为.
故答案为：A.
【分析】利用垂直的定义及四边形的内角和为360°，可求出∠CPD+∠COD=180°；利用圆周角定理可知点P，C，D，O四点在同一个圆上，由此可得到当CD为直径时，CD的值最大，即可得到∠COD=90°，然后利用扇形的面积公式进行计算，可求出结果.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AP，
∵BC⊥PA于点C，
∴∠OAP=∠ACB=∠PCB =90°，
∴OA∥BC，
∴∠AOB+∠OBD=180°，点A和点O到BD边的距离相等，
∴△ADB的面积等于△BOD的面积，
∴图中阴影部分的面积等于 ，
∵∠AOB＝120°，
∴∠OBD=60°，
∵OA=OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴图中阴影部分的面积等于 ．
故答案为：B
【分析】连接OD，先证明△ADB的面积等于△BOD的面积，再利用扇形的面积公式求解即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OA，OB．
∵，
∴．
∴S阴=S扇形AOB．
∵AO，BO，CO都是的半径，
∴AO=BO=CO．
∵AB=CO=2，
∴AO=BO=AB=2．
∴是等边三角形．
∴．
∴S阴=S扇形AOB=．
故答案为：C
【分析】连接OA，OB．由平行线的性质可得即得S阴=S扇形AOB．证明是等边三角形，可得，利用扇形的面积公式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，
由旋转的性质可得，，
，
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质可得：阴影部分的面积为扇形的面积，，再利用扇形面积公式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
7．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连OE
则
∵
∴
∴
∴
∵ O与AB相切于点E
∴OE⊥AB
∴
∴BC=CO+BO=3
在中，
∴
故答案为：.
【分析】由DE的弧长与半圆CD的弧长之比，得出，从而得出相关角度，由三角函数，得出BE，OB的长度，从而得出BC的长度，由三角函数，得出AC的长度，由得出结果。
8．【答案】2π
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中，
在与中
故答案为：2π
【分析】求出，则，求出扇形AOD的面积即可。
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接，
，
即
的半径为1
扇形
阴影部分扇形
故答案为：
【分析】连接，根据阴影部分扇形即可求解.
10．【答案】2π
【知识点】三角形内角和定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由于∠A+∠B+∠C=180°，
因此阴影部分的面积为半径为2的半圆面积，即π×22=2π，
故答案为：2π．
【分析】阴影部分的面积为半径为2的半圆面积，据此计算即可.
11．【答案】6π+3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】
为等边三角形
∴优弧EF对应的角度
周长为
故答案为：6π+3．
【分析】先求出
，再利用弧长公式计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥CD，交CD延长线于点H，
∵四边形OCDE为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形ACDF与矩形EBDH全等，
两个阴影部分的面积和恰好为矩形ACDF的面积，即 ，
设 ，
则 ，即 ，
，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴，
即扇形AOB的半径为 ，
故答案为： .
【分析】由扇形AOB可知OA＝OB，由正方形的性质可知CD＝DE，∠AOD＝∠BOB，可知弧AD=弧BD，AC＝BE，阴影部分面积＝长方形ACDF的面积，进而即可求出正方形的边长，进一步即可求出扇形AOB的半径．
13．【答案】9cm
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：9cm
【分析】根据 一条弧所对的圆心角为，弧长等于， 利用弧长公式计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，交AC于点D，
∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴AC^的长为：120×π×2180=43π，
故答案为：43π．
【分析】根据平行四边形的性质和OC=OA得出四边形OABC是菱形，再根据垂径定理和三角函数求出圆心角和半径，即可求出答案。
15．【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：扇形BAB′的面积是：，
在直角△ABC中，，
．
扇形CAC′的面积是：，
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积=．
故答案为：2π．
【分析】由旋转的性质知，根据阴影部分的面积=扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积=扇形BAB′的面积-扇形CAC′的面积，利用扇形的面积公式计算即可.
16．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
阴影部分的面积，
故答案为：24．
【分析】根据阴影部分的面积=小半圆的面积+大半圆的面积+△ABC的面积-空白半圆的面积进行计算即可.
17．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OF，OC，CF，过点O作 于点H，交FC于点P，
在四边形OCDH中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理∠FOH=60°，
∵OC=OF，
∴OP垂直平分FC，
在Rt△OPC中， ， ，OC=2，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
过点D作 ，过点E作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得， ，
在Rt△DMC中， ，
∴ ，
在Rt△EFN中， ，
∴ ，
∴ ，
∵EF=DE=CD=NM，
∴ ，
，
∴ ，
则 ，
∴ ，
，
∴阴影部分的面积= ，
故答案为： .
【分析】连接OF，OC，CF，过点O作OH⊥ED于点H，交FC于点P，利用四边形内角和为360°可得∠COH=60°，∠FOH=60°，利用内角和定理可得∠OCP=30°，则OP= OC=1，由勾股定理可得PC，进而求出FC，过点D作DM⊥FC，过点E作EN⊥FC，则∠PCD=∠OCD-∠OCP=60°，同理可得∠PFE=60°，由内角和定理可得∠MDC=30°，∠FEN=30°，则MC= DC，NF= EF，则FC=FN+NM+MC=2ED，ED=CD=EF=NM，据此可得MC、DM，然后根据S阴影=S△OFC+SFEDC- 进行计算.
18．【答案】（1）解：连接，
为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
的长是圆心到“杠杆”的距离，
，
（2）解：，
，
由得：，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ADO，则∠CAD=∠ADO，根据垂直的概念可得∠E=90°，则∠CAD+∠EDA=90°，进而推出OD⊥EF，则OD的长是圆心O到杠杆EF的距离，据此求解；
（2）根据等腰三角形的性质得∠F=∠BAD，由（1）得∠CAD=∠BAD，则∠F=∠BAD=∠CAD=30°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAD=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得OF=2OD，结合勾股定理可得OD的值，然后根据S阴影=S扇形BOD+S△AOD进行计算.
19．【答案】（1）解：如图1，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAD，
∵OA＝OE，
∴∠EAD＝∠OEA
∴∠OEA＝∠CAE
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EAB＝30°
∴∠EOD＝60°
∴∠OEB＝90°
∴∠B＝30°
∴OB＝2OE＝2OD＝10
∴BD＝5
∴BE＝ ＝
∴弧DE的长为= =
∴C阴影＝ ＝ .
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；弧长的计算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OE，根据角平分线的概念可得∠CAE＝∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠OEA，推出OE∥AC，由平行线的性质可得∠OEB＝∠C＝90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠EOD＝ 2∠EAB＝60°，则∠B＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB＝2OE＝2OD＝10，求出BD的值，利用勾股定理求出BE，然后根据C阴影=BD+BE+弧DE的长进行计算即可.
20．【答案】（1）解：连结OA、OB、OC，
过O逆时针方向分别作OA1⊥OA，OB1⊥OB，OC1⊥OC，在射线OA1上截取）OA1=OA，在射线OB1上截取）OB1=OB，在射线OC1上截取）OC1=OC，顺次连结A1B1、B1C1、C1A1，则△A1B1C1为△ABC绕点O逆时针旋转90°的三角形；
延长AO，BO，CO，在射线AO上截取OA2=OA，在射线BO上截取OB2=OB，在射线CO上截取OC2=OC，顺次连结A2B2、B2C2、C2A2，则△A2B2C2是△ABC绕点O逆时针旋转180°的三角形；
（2）解：∵OB=4，点绕点O旋转90°，
∴是圆周的，
∴．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用弧长公式求解即可。
21．【答案】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝×130°＝65°；
（3）解：由（2）得，∠AQB＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴的长＝的长＝＝23π．
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代换得出∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得出∠CBO＝90°，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得出∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角形外角性质得出∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得出结论；
（3）根据弧长公式即可得出结论。
22．【答案】（1）解：连接．
∵，
∴，即 ．
∵，
∴．
∵是⊙的切线，
∴，即 ．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴的长
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接． 根据切线的性质的出 ，即 ．根据圆周角定理得出， 进而证明 ． 根据等腰直角三角形的性质求出 的大小；
（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可。
23．【答案】（1）解：CH与⊙O相切．
理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，
∵AG＝CG，
∴∠ACG＝∠CAG，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴OC⊥AF，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∵BH⊥CH，
∴CH∥AF，
∴OC⊥CH，
∵OC为半径，
∴CH为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，
∴OC∥BH，
∵CH∥AF，
∴四边形CMFH为平行四边形，
∵OC⊥CH，
∴∠OCH=90°，
∴四边形CMFH为矩形，
∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，
∴AM＝FM，
∵点O为AB的中点，
∴OM＝BF＝2，
∴CM=OM，
∴OC=4，AM垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而AO＝OC，
∴AC＝OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵，
∴∠AOD＝∠AOC＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CD的长度为．
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 OC⊥CH， 最后证明求解即可；
（2）先求出 四边形CMFH为平行四边形， 再求出 四边形CMFH为矩形， 最后求解即可。
24．【答案】（1）证明：连接OD，
∵ ，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠E+∠ODE＝180°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是圆O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADE＝60°，∠E＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴∠DAB＝∠CAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∵ ，
∴
∴BD＝2，BA＝4，
∴OD＝OB＝2，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴△ADB的面积＝ AD DB
＝ ×2 ×2
＝2 ，
∵OA＝OB，
∴△DOB的面积＝ △ADB的面积＝ ，
∴阴影部分的面积为：
△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积
＝2 ﹣
＝ ，
∴阴影部分的面积为： .
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD＝∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠OAD＝∠ODA，推出AE∥OD，由平行线的性质可得∠E+∠ODE＝180°，结合∠E＝90°可得∠ODE=90°，据此证明；
（2）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，则∠CAD＝30°，∠DAB＝∠CAD＝30°，AB＝2BD，利用勾股定理可得BD、BA的值，推出△ODB是等边三角形，然后根据S阴影=S△ADB+S扇形DOB-S△DOB进行计算即可.
25．【答案】（1）解：∵ ，
∴∠ABC=∠ACB=
∵四边形ABCP为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠APC=180°，
∴∠APC=180°-∠ABC=180°-75°=105°，
（2）解：连结OA，OC，
∵∠ABC=75°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°，
∴ = .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=75°，由圆内接四边形的性质得∠ABC+∠APC=180°，据此求解；
（2）连接OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=150°，然后根据弧长公式进行计算.
26．【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．
又∵AB=AC，∴BE=CE．
（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°．
又∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°．
∴∠CBF＝∠ABF一∠ABC＝27°．
（3）解：连接OD，
∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠BOD＝72°，∠AOD＝72°．
又∵AB=6，
∴OA=3．
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接AE，根据直径的性质解答即可；
（2）根据切线的性质解答即可；
（3）根据弧长公式解答即可。
27．【答案】（1）解：所在直线与相切，理由如下：
如图，连结，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点D在上，
∴所在直线与相切；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 相切，理由：连结，由为的直径可得，有平角的定义可得 ，由等腰三角形的性质可得，结合已知可求 ∴， 即得∠ODE=，根据切线的判定定理即证；
（2）由等腰三角形的性质可得， 利用三角形内角和求出∠BOD=180°-∠OBD-∠ODB=80°，然后利用弧长公式计算即可.
28．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形BDEO是平行四边形，
∴ ，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
∴∠AOE=∠OBD=60°，
∵OE=OA，
∴△AEO也为等边三角形，
∴∠EAO=∠DOB=60°，
∴AE∥OD，
∴∠ODC+∠C=180°，
∵CD⊥AE，
∴∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，
∴∠EAO=∠CED=60°，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，
∴∠EOD=60°，
∴△DEO为等边三角形，
∴ED=OE=AE，
∵CD⊥AE，∠CED=60°，
∴∠CDE=30°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设△OED的高为h，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行四边形的性质可得OE∥BD，OE=BD=OD=OB，推出△ODB是等边三角形，得到∠OBD=∠BOD=60°，进而推出△AEO为等边三角形，得到∠EAO=∠DOB=60°，则AE∥OD，利用平行线的性质可得∠ODC+∠C=180°，求出∠ODC=90°，据此证明；
（2）由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，根据平行线的性质可得∠EAO=∠CED=60°，易得△DEO为等边三角形， 得到ED=OE=AE，根据余角的性质可得∠CDE=30°，则ED=2CE=AE，利用勾股定理取出CD，设△OED的高为h，根据三角函数的概念求出h，然后根据S阴影=S△CED-(S扇形OED-S△OED)进行计算.
1 / 1人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——弧长与扇形面积
一、单选题
1．（2021九上·白云期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ）
A．6π B．5π C．3π D．2π
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
而∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOB所对弧的长度==2π．
故答案为：D．
【分析】先求出∠AOB的度数，再利用弧长公式求解即可。
2．（2021九上·吴兴期末）如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连结CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴∠CPD+∠COD=360°-90°-90°=180°；
∴点P，C，D，O四点在同一个圆上，
∵CD的值最大，
∴当CD为直径时，CD的值最大，
∴∠COD=90°
∴扇形OAB的面积为.
故答案为：A.
【分析】利用垂直的定义及四边形的内角和为360°，可求出∠CPD+∠COD=180°；利用圆周角定理可知点P，C，D，O四点在同一个圆上，由此可得到当CD为直径时，CD的值最大，即可得到∠COD=90°，然后利用扇形的面积公式进行计算，可求出结果.
3．（2021九上·平邑期末）如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AP，
∵BC⊥PA于点C，
∴∠OAP=∠ACB=∠PCB =90°，
∴OA∥BC，
∴∠AOB+∠OBD=180°，点A和点O到BD边的距离相等，
∴△ADB的面积等于△BOD的面积，
∴图中阴影部分的面积等于 ，
∵∠AOB＝120°，
∴∠OBD=60°，
∵OA=OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴图中阴影部分的面积等于 ．
故答案为：B
【分析】连接OD，先证明△ADB的面积等于△BOD的面积，再利用扇形的面积公式求解即可。
4．（2021九上·南开期末）如图，在圆中半径OC弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OA，OB．
∵，
∴．
∴S阴=S扇形AOB．
∵AO，BO，CO都是的半径，
∴AO=BO=CO．
∵AB=CO=2，
∴AO=BO=AB=2．
∴是等边三角形．
∴．
∴S阴=S扇形AOB=．
故答案为：C
【分析】连接OA，OB．由平行线的性质可得即得S阴=S扇形AOB．证明是等边三角形，可得，利用扇形的面积公式即可求解.
5．（2021九上·富裕期末）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，
由旋转的性质可得，，
，
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质可得：阴影部分的面积为扇形的面积，，再利用扇形面积公式求解即可。
6．（2021九上·鄂城期末）如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
二、填空题
7．（2021九上·舟山期末）如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的 O与AB相切于点E.若弧DE的长为 则阴影部分的面积 .（保留π）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连OE
则
∵
∴
∴
∴
∵ O与AB相切于点E
∴OE⊥AB
∴
∴BC=CO+BO=3
在中，
∴
故答案为：.
【分析】由DE的弧长与半圆CD的弧长之比，得出，从而得出相关角度，由三角函数，得出BE，OB的长度，从而得出BC的长度，由三角函数，得出AC的长度，由得出结果。
8．（2021九上·莱芜期末）如图，是的直径，弦，垂足为，，，则 ．
【答案】2π
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中，
在与中
故答案为：2π
【分析】求出，则，求出扇形AOD的面积即可。
9．（2021九上·泰山期末）如图，是的直径，点在上，，，．若的半径为1，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．
【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接，
，
即
的半径为1
扇形
阴影部分扇形
故答案为：
【分析】连接，根据阴影部分扇形即可求解.
10．（2021九上·天桥期末）如图，△ABC各边长都大于4，⊙A、⊙B、⊙C的半径都等于2，则图中三个阴影部分的面积之和为 (结果保留π) ；
【答案】2π
【知识点】三角形内角和定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由于∠A+∠B+∠C=180°，
因此阴影部分的面积为半径为2的半圆面积，即π×22=2π，
故答案为：2π．
【分析】阴影部分的面积为半径为2的半圆面积，据此计算即可.
11．（2021九上·南昌期末）如图，等边
的边长为1，以
为圆心，
为半径画弧，交
的延长线于
，再以
为圆心，
为半径画弧，交
的延长线于
，再以
为圆心，
为半径画强，交
的延长线于
，则由弧
，弧
，优弧
及线段
围成的图形（
）的周长为 ．
【答案】6π+3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】
为等边三角形
∴优弧EF对应的角度
周长为
故答案为：6π+3．
【分析】先求出
，再利用弧长公式计算求解即可。
12．（2022九上·诸暨期末）如图，扇形AOB，正方形OCDE的顶点C，E，D，分别在OA，OB，弧AB上，过点A作，交ED的延长线于点F.若图中阴影部分的面积为，则扇形AOB的半径为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥CD，交CD延长线于点H，
∵四边形OCDE为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形ACDF与矩形EBDH全等，
两个阴影部分的面积和恰好为矩形ACDF的面积，即 ，
设 ，
则 ，即 ，
，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴，
即扇形AOB的半径为 ，
故答案为： .
【分析】由扇形AOB可知OA＝OB，由正方形的性质可知CD＝DE，∠AOD＝∠BOB，可知弧AD=弧BD，AC＝BE，阴影部分面积＝长方形ACDF的面积，进而即可求出正方形的边长，进一步即可求出扇形AOB的半径．
13．（2021九上·砚山期末）一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为 ．
【答案】9cm
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：9cm
【分析】根据 一条弧所对的圆心角为，弧长等于， 利用弧长公式计算求解即可。
14．（2021九上·龙凤期末）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，交AC于点D，
∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴AC^的长为：120×π×2180=43π，
故答案为：43π．
【分析】根据平行四边形的性质和OC=OA得出四边形OABC是菱形，再根据垂径定理和三角函数求出圆心角和半径，即可求出答案。
15．（2021九上·梅里斯期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．（结果保留π）．
【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：扇形BAB′的面积是：，
在直角△ABC中，，
．
扇形CAC′的面积是：，
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积=．
故答案为：2π．
【分析】由旋转的性质知，根据阴影部分的面积=扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积=扇形BAB′的面积-扇形CAC′的面积，利用扇形的面积公式计算即可.
16．（2021九上·大石桥期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
阴影部分的面积，
故答案为：24．
【分析】根据阴影部分的面积=小半圆的面积+大半圆的面积+△ABC的面积-空白半圆的面积进行计算即可.
17．（2021九上·椒江期末）如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OF，OC，CF，过点O作 于点H，交FC于点P，
在四边形OCDH中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理∠FOH=60°，
∵OC=OF，
∴OP垂直平分FC，
在Rt△OPC中， ， ，OC=2，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
过点D作 ，过点E作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得， ，
在Rt△DMC中， ，
∴ ，
在Rt△EFN中， ，
∴ ，
∴ ，
∵EF=DE=CD=NM，
∴ ，
，
∴ ，
则 ，
∴ ，
，
∴阴影部分的面积= ，
故答案为： .
【分析】连接OF，OC，CF，过点O作OH⊥ED于点H，交FC于点P，利用四边形内角和为360°可得∠COH=60°，∠FOH=60°，利用内角和定理可得∠OCP=30°，则OP= OC=1，由勾股定理可得PC，进而求出FC，过点D作DM⊥FC，过点E作EN⊥FC，则∠PCD=∠OCD-∠OCP=60°，同理可得∠PFE=60°，由内角和定理可得∠MDC=30°，∠FEN=30°，则MC= DC，NF= EF，则FC=FN+NM+MC=2ED，ED=CD=EF=NM，据此可得MC、DM，然后根据S阴影=S△OFC+SFEDC- 进行计算.
三、综合题
18．（2022九上·鄞州开学考）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，为圆的直径，是的一条弦，为弧的中点，作于点，交的延长线于点，连接．
（1）若，则圆心到“杠杆”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．结果保留
【答案】（1）解：连接，
为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
的长是圆心到“杠杆”的距离，
，
（2）解：，
，
由得：，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ADO，则∠CAD=∠ADO，根据垂直的概念可得∠E=90°，则∠CAD+∠EDA=90°，进而推出OD⊥EF，则OD的长是圆心O到杠杆EF的距离，据此求解；
（2）根据等腰三角形的性质得∠F=∠BAD，由（1）得∠CAD=∠BAD，则∠F=∠BAD=∠CAD=30°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAD=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得OF=2OD，结合勾股定理可得OD的值，然后根据S阴影=S扇形BOD+S△AOD进行计算.
19．（2021九上·邗江期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC.
（1）求证：BC是⊙O的切线.
（2）若∠EAB＝30°，OD＝5，求图中阴影部分的周长.
【答案】（1）解：如图1，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAD，
∵OA＝OE，
∴∠EAD＝∠OEA
∴∠OEA＝∠CAE
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EAB＝30°
∴∠EOD＝60°
∴∠OEB＝90°
∴∠B＝30°
∴OB＝2OE＝2OD＝10
∴BD＝5
∴BE＝ ＝
∴弧DE的长为= =
∴C阴影＝ ＝ .
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；弧长的计算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OE，根据角平分线的概念可得∠CAE＝∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠OEA，推出OE∥AC，由平行线的性质可得∠OEB＝∠C＝90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠EOD＝ 2∠EAB＝60°，则∠B＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB＝2OE＝2OD＝10，求出BD的值，利用勾股定理求出BE，然后根据C阴影=BD+BE+弧DE的长进行计算即可.
20．（2021九上·新兴期末）如图，有一个点O和△ABC，
（1）分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．
（2）若OB长度为4，求出△ABC绕点O逆时针旋转90°时点B旋转到对应点的路径长度（结果保留π）．
【答案】（1）解：连结OA、OB、OC，
过O逆时针方向分别作OA1⊥OA，OB1⊥OB，OC1⊥OC，在射线OA1上截取）OA1=OA，在射线OB1上截取）OB1=OB，在射线OC1上截取）OC1=OC，顺次连结A1B1、B1C1、C1A1，则△A1B1C1为△ABC绕点O逆时针旋转90°的三角形；
延长AO，BO，CO，在射线AO上截取OA2=OA，在射线BO上截取OB2=OB，在射线CO上截取OC2=OC，顺次连结A2B2、B2C2、C2A2，则△A2B2C2是△ABC绕点O逆时针旋转180°的三角形；
（2）解：∵OB=4，点绕点O旋转90°，
∴是圆周的，
∴．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用弧长公式求解即可。
21．（2020九上·惠城期末）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；
（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求的长．
【答案】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝×130°＝65°；
（3）解：由（2）得，∠AQB＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴的长＝的长＝＝23π．
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代换得出∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得出∠CBO＝90°，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得出∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角形外角性质得出∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得出结论；
（3）根据弧长公式即可得出结论。
22．（2021九上·红桥期末）如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：连接．
∵，
∴，即 ．
∵，
∴．
∵是⊙的切线，
∴，即 ．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴的长
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接． 根据切线的性质的出 ，即 ．根据圆周角定理得出， 进而证明 ． 根据等腰直角三角形的性质求出 的大小；
（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可。
23．（2021九上·陵城期末）如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．
（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；
（2）若，求弧的长．
【答案】（1）解：CH与⊙O相切．
理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，
∵AG＝CG，
∴∠ACG＝∠CAG，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴OC⊥AF，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∵BH⊥CH，
∴CH∥AF，
∴OC⊥CH，
∵OC为半径，
∴CH为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，
∴OC∥BH，
∵CH∥AF，
∴四边形CMFH为平行四边形，
∵OC⊥CH，
∴∠OCH=90°，
∴四边形CMFH为矩形，
∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，
∴AM＝FM，
∵点O为AB的中点，
∴OM＝BF＝2，
∴CM=OM，
∴OC=4，AM垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而AO＝OC，
∴AC＝OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵，
∴∠AOD＝∠AOC＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CD的长度为．
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 OC⊥CH， 最后证明求解即可；
（2）先求出 四边形CMFH为平行四边形， 再求出 四边形CMFH为矩形， 最后求解即可。
24．（2021九上·鄞州期末）如图， 是 的直径， 是圆上两点，且有 ，连结 ，作 的延长线于点E.
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求阴影部分的面积.（结果保留 ）
【答案】（1）证明：连接OD，
∵ ，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠E+∠ODE＝180°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是圆O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADE＝60°，∠E＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴∠DAB＝∠CAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∵ ，
∴
∴BD＝2，BA＝4，
∴OD＝OB＝2，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴△ADB的面积＝ AD DB
＝ ×2 ×2
＝2 ，
∵OA＝OB，
∴△DOB的面积＝ △ADB的面积＝ ，
∴阴影部分的面积为：
△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积
＝2 ﹣
＝ ，
∴阴影部分的面积为： .
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD＝∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠OAD＝∠ODA，推出AE∥OD，由平行线的性质可得∠E+∠ODE＝180°，结合∠E＝90°可得∠ODE=90°，据此证明；
（2）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，则∠CAD＝30°，∠DAB＝∠CAD＝30°，AB＝2BD，利用勾股定理可得BD、BA的值，推出△ODB是等边三角形，然后根据S阴影=S△ADB+S扇形DOB-S△DOB进行计算即可.
25．（2021九上·余杭期末）如图， 内接于 ，且 ，P是 上一点，且 .
（1）求 的度数；
（2）若 的半径为6，求 的长（结果保留 ）.
【答案】（1）解：∵ ，
∴∠ABC=∠ACB=
∵四边形ABCP为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠APC=180°，
∴∠APC=180°-∠ABC=180°-75°=105°，
（2）解：连结OA，OC，
∵∠ABC=75°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°，
∴ = .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=75°，由圆内接四边形的性质得∠ABC+∠APC=180°，据此求解；
（2）连接OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=150°，然后根据弧长公式进行计算.
26．（2021九上·五常期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC 于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
（3）若AB=6，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．
又∵AB=AC，∴BE=CE．
（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°．
又∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°．
∴∠CBF＝∠ABF一∠ABC＝27°．
（3）解：连接OD，
∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠BOD＝72°，∠AOD＝72°．
又∵AB=6，
∴OA=3．
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接AE，根据直径的性质解答即可；
（2）根据切线的性质解答即可；
（3）根据弧长公式解答即可。
27．（2021九上·宽城期末）如图，在中，以为直径的⊙O交于点D，点E是上一点，连结、，．
（1）判断所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若，⊙O的半径为6，求的长．（结果保留）
【答案】（1）解：所在直线与相切，理由如下：
如图，连结，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点D在上，
∴所在直线与相切；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 相切，理由：连结，由为的直径可得，有平角的定义可得 ，由等腰三角形的性质可得，结合已知可求 ∴， 即得∠ODE=，根据切线的判定定理即证；
（2）由等腰三角形的性质可得， 利用三角形内角和求出∠BOD=180°-∠OBD-∠ODB=80°，然后利用弧长公式计算即可.
28．（2021九上·南充期末）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作 交AE的延长线于点C.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若 ，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形BDEO是平行四边形，
∴ ，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
∴∠AOE=∠OBD=60°，
∵OE=OA，
∴△AEO也为等边三角形，
∴∠EAO=∠DOB=60°，
∴AE∥OD，
∴∠ODC+∠C=180°，
∵CD⊥AE，
∴∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，
∴∠EAO=∠CED=60°，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，
∴∠EOD=60°，
∴△DEO为等边三角形，
∴ED=OE=AE，
∵CD⊥AE，∠CED=60°，
∴∠CDE=30°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设△OED的高为h，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行四边形的性质可得OE∥BD，OE=BD=OD=OB，推出△ODB是等边三角形，得到∠OBD=∠BOD=60°，进而推出△AEO为等边三角形，得到∠EAO=∠DOB=60°，则AE∥OD，利用平行线的性质可得∠ODC+∠C=180°，求出∠ODC=90°，据此证明；
（2）由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，根据平行线的性质可得∠EAO=∠CED=60°，易得△DEO为等边三角形， 得到ED=OE=AE，根据余角的性质可得∠CDE=30°，则ED=2CE=AE，利用勾股定理取出CD，设△OED的高为h，根据三角函数的概念求出h，然后根据S阴影=S△CED-(S扇形OED-S△OED)进行计算.
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