广西壮族自治区2023届高三上学期9月开学摸底考试数学（理）试题（含解析）

广西壮族自治区2023届高三上学期9月开学摸底考试
理科数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，．若，则实数x的值组合的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数的实部与虚部相等，则b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（ ）
A．甲销售数据的中位数为92 B．甲销售数据的众数为93
C．乙销售数据的极差为24 D．乙销售数据的均值比甲大
4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
A．15 B．105 C．245 D．945
5．在区域：内任取一点，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若把的图象向左平移个单位后为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．14 B．20 C． D．
8．已知函数有两个极值点，，且，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
9．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线C：（，）的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且△OAF的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，，则________．
14．设椭圆的左、右焦点分别为，．已知点，线段交椭圆于点P，O为坐标原点．若，则该椭圆的离心率为________．
15．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线被圆截得弦长之比为2：1，则________．
16．如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，，，，当∠ABC变化时，BD的最大值为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
设数列的前n项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（12分）
每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，，E是PB上任意一点．
（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
20．（12分）
已知抛物线E的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
（1）求抛物线方程；
（2）若，求k的值；
（3）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN面积的最小值．
21．（12分）
已知函数的图象在原点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，，且的解集为．
（1）求m的值；
（2）设a，b，c为正数，且，求的最大值．
广西壮族自治区2023届高三上学期9月开学摸底考试
文科数学
参考答案、提示及评分细则
1．C
∵集合，，，∴，或5，∴x的取值集合为．
2．C
∵的实部与虚部相等，∴，解得．
3．A
对于A，由图可知，甲销售数据的中位数为93，故A错误；对于B，甲销售数据的众数为93，故B正确；对于C，乙销售数据的极差是，故C正确；对于D，甲销售数据的均值：，乙销售数据的均值：，∴乙销售数据的均值比甲大，故D正确．
4．B
，，，，，，，，结束算法，输出．
5．A
画出区域：如图（图中△OAB及内部），区域内满足的区域为图中四边形ABDC的内部及边界，且，，，所以△OCD与△OAB相似，所以，故所求概率．
6．A
把的图象向左平移个单位后，得到函数，因为该函数为偶函数，所以，，所以，，因为，所以．
7．D
由三视图还原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形．，，，，，，则该几何体的表面积是．
8．B
因为，，所以有两个不同的实数解，，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当，时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．
9．B
因为，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A项；当时，，排除D项；因为，，所以，排除C项．
10．D
设双曲线的左焦点，因为，由正比例函数图象和双曲线的对称性，可知，四边形为矩形，，设，，则，∵△OAF的面积为，∴△ABF的面积，且，联立三式：得，∴，即．
11．D
∵，∴，又∵，，∴平面SAC．在Rt△SAB中，，，∴，又∵，则△SAC外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E，△SAC的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，，∴，即三棱锥外接球的半径为，∴三棱锥外接球的体积为．
12．A
∵（，），∴，即，∴．设，（，），则有，即，∴，令，则，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，要使成立，只有当，即时才满足，∴，．
13．
∵，且，∴，解得．
14．
由椭圆的定义，且，则，由为直角三角形，则P为中点，因此，代入椭圆，可得，整理得．
15．
由题意知，，因为，所以，即，可得，解得：．
16．
设，，由余弦定理可得，∴，由正弦定理可得：，∴，∴时，BD取得最大值为．
17．解：（1）因为，．所以，解得．
当时，，所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，．
（2）由（1）知，所以，
所以，①
则，②
①-②，得，
所以．
18．解：（1）由频率分布直方图得：，
解得．
（2）由频率分布直方图得：这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人），在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人．
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故．
19．（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴．
又四边形ABCD是菱形，∴，．
∴平面PBD，∵平面PBD，∴．
（2）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，．，．
由（1）知平面PBD的法向量为．
令平面PAB的法向量为，则根据得令．
因为二面角的余弦值为，
则，即，∴，∴．
设EC与平面PAB所成的角为，∵，，
∴，
∴．
20．解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为，∴．
（2）如图①，若，不妨设，则．设抛物线的准线为l，过点P作，垂足为H，过点Q作，垂足为G．
，∴．在Rt△PQG中，，，
得，∴，同理时，，
∴．
（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设AB：，CD：，
，，，，由得，
∴，，，同理可得，
∴，
，∴，
当且仅当时，面积取到最小值16．
21．（1）解：由，得，
∴解得∴．
（2）证明：要证当时，，即证当时，，
令，则，
令，则．
令，则，
即在区间上单调递增，故，
即当时，，故.
下证：在区间上恒成立，
设，则．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上为增函数，
所以，故．
所以在时恒成立，即当时，单调递增，
故，即，
所以在上单调递增，
故，即当时，，
即当时，．
22．解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），
消去参数，可得曲线C的普通方程为．
由，得，即，
将，代入，得直线l的直角坐标方程为．
（2）∵直线l的直角坐标方程为，∴它的参数方程为（t为参数），
代入C的直角坐标方程，得，即．
由于，设，是上述方程的两实根，则，，
又直线l过点，所以．
23．解：（1）由题意，由的解集为，
得解得．
（2）由（1）可得，由柯西不等式可得
，
∴．
当且仅当，即时等号成立，
∴的最大值为．