(共42张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
学习目标 素养要求
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率 数学运算
2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系 数学抽象
| 自学导引 |
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
条件概率的概念
2．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝________________.
【答案】P(A)P(B|A)
概率的乘法公式
条件概率的性质
公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)有前提条件吗？
提示：前提条件是“B与C互斥”．
| 课堂互动 |
抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
素养点睛：考查数学运算素养．
题型1 利用条件概率的定义计算条件概率
集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
素养点睛：考查数学运算素养．
题型2 缩小样本空间求条件概率
【例题迁移1】 (改变问法)在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
【例题迁移2】 (变换条件、改变问法)甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
2．5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．
一个盒子中有6个白球，4个黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，则第一次取得白球的概率是________，第一次、第二次都取得白球的概率是________．
素养点睛：考查数学运算素养．
题型3 概率的乘法公式
概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．
(2)该概率公式可推广为P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.
在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球(不放回)，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
素养点睛：考查数学建模素养及数学运算素养．
题型4 条件概率的性质及应用
利用条件概率的性质进行解题的策略
(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
4．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
易错警示 注意区分条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)
易错防范：应注意P(AB)是事件A和B同时发生的概率，而P(B|A)是在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率．
| 素养达成 |
【答案】C
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
【答案】A
【答案】AC
4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为________．(共34张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
学习目标 素养要求
1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率 数学运算
2.了解贝叶斯公式(不作考试要求) 数学抽象
| 自学导引 |
全概率公式
贝叶斯公式
*
全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？
提示：两者的最大不同在处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件，也就是是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.
| 课堂互动 |
甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率．
素养点睛：考查逻辑推理素养及数学运算素养．
题型1 全概率公式
解：设B＝{飞机被击落}，Ai＝{飞机被i人击中}，i＝1,2,3.
显然A1，A2，A3为完备事件组，且
P(A1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(A2)＝0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.3＝0.41，
P(A3)＝0.4×0.5×0.7＋0.14.由题意，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，利用全概率公式，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
即飞机被击落的概率为0.458.
全概率公式求概率的关注点
全概率公式的实质是为了计算比较复杂事件的概率，把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果．
1．有一批产品由甲、乙、丙三厂同时生产，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品中正品率为90%，丙厂产品中正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率有多大．
解：设抽得产品是甲厂生产的用A表示，乙厂生产的用B表示，丙厂生产的用C表示，D表示抽得产品为正品，
则由已知，P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%，
P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%.
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得
P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)
＝95%×50%＋90%×30%＋85%×20%
＝0.915.
设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
素养点睛：考查逻辑推理素养及数学运算素养．
题型2 贝叶斯公式
贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果，把Ai(i＝1,2，…，n)看作该过程的若干个原因，每一原因发生的概率P(Ai)已知，且每一原因对结果的影响程度P(B|Ai)已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式，即求P(Ai|B)．贝叶斯公式反映了事件Ai发生的可能性在各种原因中的比重．
2．设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透误诊为有病的概率为0.02，已知某城市居民患肺结核概率为0.001.从这个城市居民中选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人患有肺结核的概率．
题型3 全概率公式与贝叶斯公式的应用
P(Ai)(i＝1,2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识．当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计．贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化．
3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，现将这些产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球，采取掷一骰子决定选盒，出现1,2或3点选甲盒，4,5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率．
规范答题样板
【解题思路探究】第一步，审题，确定概率类型．根据已知条件，由于给出的是三个不同的盒子，并且分别装有黑白两种个数不同的小球，求摸得的白球来自乙盒的概率，显然符合贝叶斯概率类型；
第二步，确定解题步骤．求解时应先求出摸出的球来自各个盒子的概率，然后利用贝叶斯概率公式求解白球来自乙盒子对应的概率；
第三步，规范解答．
| 素养达成 |
1．全概率公式用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
2．概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用．
【答案】B
2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为 ( )
A．0.012 45 B．0.057 86
C．0.026 25 D．0.028 65
【答案】C
3．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮助照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3.假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为________．(共36张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
第1课时 离散型随机变量
学习目标 素养要求
1.通过具体的实例，了解离散型随机变量的概念 数学抽象
2.了解分布列对于刻画随机变量的重要性 逻辑推理
| 自学导引 |
(1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，Z，ξ，η等表示．
【答案】(1)唯一
随机变量
随机变量是自变量吗？
提示：不是．它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用________字母表示随机变量，用________字母表示随机变量的取值．
【答案】大写英文 小写英文
离散型随机变量
离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
提示：不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．
在一块地里种10棵树苗，成活棵数为x，则x可取哪些数字？
提示：x＝0,1,2,3，…，10.
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的________相当于函数定义中的自变量，________相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．
【答案】样本点ω 样本空间Ω
随机变量和函数的关系
随机变量与函数的区别是什么？
提示：随机变量的样本空间Ω不一定是数集，函数是把实数映射为实数，即函数的自变量是实数．
| 课堂互动 |
指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(3)某个人的属相随年龄的变化；
(4)在标准状况下，水在0 ℃时结冰．
素养点睛：考查数学抽象素养．
题型1 随机变量的概念
解：(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．
(4)标准状况下，在0 ℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．
随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
(3)如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
1．某学生上学的路上有6处红绿灯．
(1)在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是随机变量吗？
(2)在上学路上遇到的红灯的个数是随机变量吗？
解：(1)是随机变量．在上学的路上因红灯停留的时间之和都与一个非负实数对应，因此在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是一个随机变量．
(2)是随机变量．在上学路上遇到的红灯的个数都与0,1,2,3,4,5,6这7个数字之一相对应，因此在上学路上遇到的红灯的个数是一个随机变量．
某校为学生订做校服，规定：凡身高(精确到1 cm)不超过160 cm的学生交校服费80元；凡身高超过160 cm的学生，身高每超出1 cm多交5元钱．若学生应交校服费为η(单位：元)，学生身高为ξ(单位：cm)，则η和ξ是否为离散型随机变量？
素养点睛：考查数学抽象素养及逻辑推理素养．
题型2 离散型随机变量的判定
离散型随机变量的判定方法
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：
①明确随机试验的所有可能结果；
②将随机试验的试验结果数量化；
③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
2．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
解：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ，写出随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示结果的随机试验．
素养点睛：考查逻辑推理素养．
解：ξ可取0,1,2.ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，(3－i)个黑球，其中i＝0,1,2.
题型3 随机变量的应用
【例题迁移】 (变换条件)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ，所求不变．
解：ξ可取3,4,5.
ξ＝3表示取出的3个球的编号为1,2,3；
ξ＝4表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；
ξ＝5表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用．这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
3．一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种．
【答案】20
盒中有9个正品和3个次品共12个零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值；
(2)写出X＝2所表示的事件；
(3)求X＝2的概率．
规范答题样板
【解题思路探究】第一步，审题．审条件挖掘解题信息：①在12个零件中含有3个次品；②每次取一个零件；③取出的是次品，则不放回；取出的是正品，则停止取球．审结论，确定解题目标：①求X的所有可能取值，即求取到正品前取到次品的次数；②写出X＝2表示的事件，并求其概率，X＝2表明取球3次前两次取到次品，第3次取到正品．第二步，建联系，确定解题步骤．由于共有3件次品，所以X的取值不可能超过3，(1)(2)问比较容易获解；第(3)问在第(2)问题的基础上，只需把每次取出时总产品数与次品数弄清即可获解．
第三步，规范解答．
【点评】解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点：
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
| 素养达成 |
1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．
1．下列叙述中，是离散型随机变量的为 ( )
A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【解析】选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量．选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量．选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C．
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是
( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
【答案】C
【解析】对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是________(填序号)．
①2枚都是4点；
②1枚是1点，另1枚是3点；
③2枚都是2点；
④1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点．
【答案】④
4．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
【答案】②
【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.
5．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，写出X的所有可能取值，并说明X的值表示的随机试验的结果．
解：X的所有可能取值是－1,0,1,2,3.
(1)X＝－1表示：甲抢到1题但答错了，而乙抢到2题都答错了．
(2)X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但回答1对1错，而乙答错1题．
(3)X＝1表示：甲抢1题且答对，乙抢到2题且1对1错或全错或甲抢到3题，且2对1错．
(4)X＝2表示：甲抢到2题均答对．
(5)X＝3表示：甲抢到3题均答对．(共34张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
学习目标 素养要求
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值 数学抽象
2.能用超几何分布解决简单的实际问题 数据分析
| 自学导引 |
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
超几何分布
【预习自测】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)超几何分布的总体里只有两类物品． ( )
(2)超几何分布的模型是不放回抽样． ( )
(3)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值________．
【答案】相同
超几何分布的期望
超几何分布与二项分布有什么不同之处与相似之处？
提示：超几何分布需要知道总数N，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)；当总数N非常大时，超几何分布近似于二项分布．
【预习自测】
| 课堂互动 |
在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．(结果保留两位小数)
素养点睛：考查数学运算素养．
题型1 利用超几何分布的公式求概率
超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，解题时先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足，则可直接利用公式求解，注意公式中M，N，n的含义．
【答案】A
一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
素养点睛：考查数学建模素养及数学运算素养．
题型2 超几何分布的分布列
【例题迁移1】 在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．
【例题迁移2】 将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，例2的结果又如何？
2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望．
素养点睛：考查数学建模素养及数学运算素养．
题型3 超几何分布的综合应用
某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．
易错警示 混淆参数取值致误
易错防范：错解中混淆了M与n的取值，在本题中M指红球个数，应为10，n指任意取出的球的个数，应为5.
| 素养达成 |
1．(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的是 ( )
A．X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
【答案】CD
【解析】由超几何分布的概念知C，D符合．
【答案】C
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．(共38张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
学习目标 素养要求
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征 数学抽象
2.了解正态分布的均值、方差及其含义 数据分析
| 自学导引 |
正态曲线
【预习自测】
思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量． ( )
(2)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述． ( )
【答案】(1)√ (2)×
(1)正态密度函数f(x)的图象在x轴上方，x轴和正态曲线之间的区域的面积为1.
(2)曲线是单峰的，它关于直线__________对称．
(3)曲线在x＝μ处达到峰值__________．
(4)当|x|无限增大时，曲线__________x轴.
正态曲线的特点
参数μ和σ对正态曲线的形状有什么影响？
提示：1.μ为位置参数．
当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1.
2．σ为形状参数．
参数σ的大小决定了曲线
的高低和胖瘦，因此σ的变化
影响曲线的形状．σ越小，曲
线越“瘦高”，表示随机变量
的分布越集中；σ越大，曲线
越“矮胖”，表示随机变量的分布越分散，如图2.
【预习自测】
(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ，σ2) ，特别地，当________时，称随机变量X服从标准正态分布．
(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______，D(X)＝______.
【答案】(1)μ＝0，σ＝1 (2)μ σ2
正态分布的期望与方差
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取________________中的值，这在统计学中称为3σ原则．
【答案】(1)0.682 7 (2)0.954 5 (3)0.997 3
[μ－3σ，μ＋3σ]
正态变量在三个特殊区间内取值的概率
【预习自测】
已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，则P(－3≤ξ≤5)＝ ( )
(参考数据：P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 3)
A．0.682 7 B．0.954 5 C．0.002 7 D．0.997 3
【答案】B
【解析】由ξ～N(1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3≤ξ≤5)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5.
| 课堂互动 |
把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是 ( )
A．曲线C2仍然是正态曲线
B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
题型1 正态曲线的图象及性质
素养点睛：考查数学抽象素养．
【答案】D
1．以下是关于正态密度曲线性质的叙述：
(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴的上方；
(2)曲线关于直线x＝σ对称；
(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；
(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；
(6)σ越大，曲线越尖陡，σ越小，曲线越扁平．
其中说法正确的有________(填序号)．
【答案】(1)(4)(5)
【解析】直接根据正态密度曲线的性质作出判断．(2)(3)(6)不符合上述性质，故均错．
设ξ～N(1,22)，试求：
(1)P(－1＜ξ≤3)；
(2)P(3＜ξ≤5)．
素养点睛：考查数学运算素养．
题型2 利用正态分布的对称性求概率
【例题迁移1】 (改变问法)例2条件不变，求P(ξ≥5)．
【例题迁移2】 (变换条件，改变问法)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝ ( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
【答案】C
【解析】∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ＜4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝0.6.∴P(0＜ξ＜2)＝0.3.
利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5,0.997 3求解．
2．设ξ～N(1,1)，试求：
(1)P(0＜ξ≤2)；
(2)P(2＜ξ≤3)；
(3)P(ξ≥3)．
解：∵ξ～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.
(1)P(0＜ξ≤2)＝P(1－1＜ξ≤1＋1)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.
题型3 正态分布的综合应用
素养点睛：考查数据分析素养及数学建模素养．
解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．
已知随机变量X服从μ＝500，σ＝20的正态分布，求X在(500,520)的取值概率．
错解：由已知X～N(500,202)，
则P(500＜X＜520)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.683.
易错警示 不能准确理解字母的含义致误
| 素养达成 |
1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：
(1)利用P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值求解．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
2．(多选)某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由图示曲线知下列说法中正确的是 ( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都最大
D．甲、乙、丙的总体的平均数相同
【答案】AD
【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选AD．
3．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，若P(ξ≤1)＝0.84，则P(－1<ξ≤0)等于 ( )
A．0.16 B．0.32
C．0.34 D．0.68
【答案】B
【解析】∵ξ～N(0,1)，又P(ξ≤1)＝0.84，∴P(ξ＞1)＝1－0.84＝0.16.∴P(ξ≤－1)＝0.16.∴P(－1＜ξ≤0)＝0.5－0.16＝0.34.
4．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.5%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有 ( )
A．997人 B．972人
C．955人 D．683人
【答案】C
【解析】依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(60＜X＜120)＝P(90－2×15＜X＜90＋2×15)＝0.955，1 000×0.955＝955，故大约有学生955人．
5．设随机变量X～N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，求P(－4＜X＜8)．
解：由题意知，μ＝2，σ＝3.
P(－4＜X＜8)＝P(2－2×3＜X＜2＋2×3)≈0.954 5.
