2022秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用 课件(6份打包)

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名称 2022秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用 课件(6份打包)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-09-29 20:18:52

文档简介

(共32张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
学习目标 素养要求
1.理解平均速度、瞬时速度的有关概念,并能求解平均速度、瞬时速度 数学抽象、数学运算
2.体会曲线上切线的概念,能求解曲线上某点处的切线斜率 数学抽象、数学运算
自学导引
物理中的平均速度和瞬时速度
平均速度和瞬时速度
【预习自测】
1.如果质点A按照规律s=3t2运动,那么从t=2到t=3的平均速度为 (  )
A.6   B.12
C.15   D.18
【答案】C
【答案】C
割线与切线的斜率
课堂互动
某质点沿曲线运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为 (  )
A.-4   B.-8
C.6   D.-6
【答案】D
题型1 求物体运动的平均速度
【答案】A
某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s
题型2 求瞬时速度
2.(1)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=3t2+8t表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度;
(2)在(1)的条件不变的前提下,试求物体的初速度.
设函数f(x)=x(x-6),则过点(0,0)及邻近一点(Δx,Δy)的割线斜率为 (  )
A.Δx   B.-1+Δx
C.3+Δx   D.-6+Δx
【答案】D
题型3 求曲线在某点处的割线斜率
【答案】A
试求抛物线f(x)=x2在点(-1,1)处切线的斜率.
题型4 求曲线在某点处的切线斜率
4.抛物线f(x)=x2在点(2,4)处切线的斜率k为________.
【答案】4
易错警示 混淆平均速度与瞬时速度
【错因】瞬时速度是平均速度的极限值,即Δt→0时取得的值.
素养训练
1.瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别:瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态,而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态,与该段时间内的某一时刻无关.
联系:瞬时速度是平均速度的极限值.
2.割线的斜率与切线的斜率的区别与联系
区别:割线的斜率是经过曲线上两点连线的斜率;切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率.
联系:切线的斜率是割线的斜率的极限值.
【答案】A
【答案】B
3.(题型1)某运动物体的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为s=2t+1,则该物体从t=1 s到t=2 s时的平均速度为 (  )
A.1 m/s B.2 m/s
C.3 m/s D.4 m/s
【答案】B
4.(题型4)曲线y=x2+1在x=1处的切线斜率是________.
【答案】2
5.(题型2)(2022年黑龙江月考)一物体的运动方程为s(t)=7t2-13t+8,t0为何值时该物体的瞬时速度为1.(共46张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
学习目标 素养要求
1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义 数学抽象、数学运算
2.会求简单函数的导函数 数学抽象、数学运算
3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程 数学抽象、数学运算
自学导引
如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限______于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个________的位置,这个确定位置的直线________称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
趋近
切线的概念
确定
P0T
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)曲线y=f(x)上的每一点都有切线. (  )
(2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点. (  )
【答案】(1)× (2)×
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0=
____________________=f′(x0).
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的________,物理意义是运动物体在x0时刻的___________.
斜率
导数的几何意义
瞬时速度
【预习自测】
如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么 (  )
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在
【答案】B
f′(x)
导函数的概念
(3)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f′(x0)是其导数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值.
(4)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
【预习自测】
设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a=________.
【答案】3
课堂互动
【解题探究】根据导数的几何意义求切线的斜率即可.
题型1 求曲线在某点处的切线方程
求曲线y=x3-2x在点(1,-1)处的切线方程.
求曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线方程的步骤
(1)求函数y=f(x)在x=x0处的导数,即求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;
(2)用点斜式写出切线方程y=f′(x0)(x-x0)+f(x0);
(3)把求得的点斜式方程变形为一般式.
求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.
题型2 求曲线过某点的切线方程
过(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),
即3x+y+3=0.
故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.
【解题探究】设出切点坐标,利用导数的几何意义求出直线的斜率,写出切线方程.
求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程的步骤
(1)设切点为A(xA,f(xA)),求切线的斜率k=f′(xA),写出切线方程(含参);
(2)把点P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于xA的方程,解得xA的值,进而求出切线方程.
2.试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即y=2x-1和y=10x-25.
(1)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是下图中的 (  )
题型3 利用图象理解导数的几何意义
(2)已知函数y=f(x),y=g(x) 的导函数的图象如图所示,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 (  )
【答案】(1)A (2)D
【解析】(1)由导数的几何意义知,导函数递增,则说明函数切线斜率随x增大而变大.
(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除B,C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数的斜率慢慢变小,排除A.
导数与函数图象升降的关系
若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若
f′(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是 (  )
A.0B.0C.0D.0【答案】C
已知曲线y=x2在点P处的切线分别满足下列条件,求点P的坐标.
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)与x轴成135°的倾斜角.
题型4 求切点坐标
【解题探究】设切点坐标,根据导数的几何意义求切线斜率,然后利用条件(平行、倾斜角)求切点坐标.
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
4.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为__________,切点坐标为____________.
求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程.
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
【错因】本题中原点在函数的图象上,误认为原点就是切点,混淆了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别,导致解题失误.求曲线的切线时,注意区分“求曲线y=f(x)上过点M的切线”与“求曲线y=f(x)上在点M处的切线”,前者只要求切线过M点,M点未必是切点,因此求解时应先设出切点坐标;而后者则很明确,切点就是M点.
素养训练
1.导数的意义:
函数在一点处的导数的几何意义:曲线在这一点的切线的斜率.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变量,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又密切相关.f′(x0)是导函数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值,求函数在一点处的导数,一般先求出函数的导函数,再计算这一点处的导数值.
3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.
【答案】D
2.(题型1)(2022年邵阳期末)函数f(x)=x2在点(1,1)处的切线方程为 (  )
A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0
C.x+2y-3=0 D.2x+y-3=0
【答案】B
【解析】由f′(x)=2x得函数f(x)在点(1,1)处的切线斜率为2,所以所求切线方程为2x-y-1=0.故选B.
3.(题型4)(多选)设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标可以为 (  )
A.(1,0)   B.(2,8)
C.(-1,-4)   D.(1,4)
【答案】AC
4.(题型3)如图,函数f(x)的图象在点P处的切线为y=-2x+5,则f(2)+f′(2)=________.
【答案】-1
【解析】∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f′(2)=-2,f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f′(2)=1-2=-1.
5.(题型2)已知函数y=f(x)=x3+x-2,直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(共35张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
自学导引
几种常用函数的导数
【答案】C
【解析】常数的导数等于0.
【答案】A
【解析】f′(x)=1,故f′(0)=1.
【答案】C
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=____________
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f′(x)=____________
f(x)=sin x f′(x)=____________
f(x)=cos x f′(x)=____________
0
αxα-1
cos x
-sin x
原函数 导函数
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=____________
f(x)=ex f′(x)=____________
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f′(x)=____________
f(x)=ln x
f′(x)=____________
axln a
ex
【答案】D
2.曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为 (  )
A.3x-y-2=0 B.2x-y-1=0
C.x-y=0 D.3x-y=0
【答案】A
【答案】D
课堂互动
题型1 基本初等函数的导数
【解题探究】用基本初等函数的导数公式求导.
求简单函数的导函数有两种基本方法:
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
角度1 求值
已知函数f(x)=x3在点P处的导数值为3,则P点的坐标为 (  )
A.(-2,-8) B.(-1,-1)
C.(-2,-8)或(2,8) D.(-1,-1)或(1,1)
题型2 导数运算的应用
【答案】D
【解析】由f(x)=x3求导得f′(x)=3x2,3x2=3,x=±1,则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
【解题探究】求切线方程关键是求斜率,通过求导方法求斜率.
(1)利用导数的几何意义解决切线问题时,若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;若已知点不是切点,则应先设出切点,再利用已知点在切线上进行求解;
(2)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁,很多综合问题我们可以数形结合,巧妙利用导数的几何意义,即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决,这往往是解决问题的关键所在.
2.已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.
解:由于y1=sin x,y2=cos x,设这两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),∴两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为k1=cos x0,k2=-sin x0.
若使两条切线互相垂直,则cos x0·(-sin x0)=-1,即sin x0·cos x0=1,也就是sin 2x0=2,但这是不可能的,
∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
易错警示 求导公式应用错误
【错解】C
【警示】求导时要注意原函数是否为常数,常数的导数为0.
素养训练
3.对于正弦、余弦函数的导数,一定要注意函数名称的变化及函数符号的变化.
4.用求导公式求出函数的导数后,可求函数在任一点x=x0处的导数,从而可以研究函数在任给的一点处的导数的几何意义,以及函数在这一点附近的变化情况.
【答案】D
2.(题型1,2)函数y=x2在点x=1处的导数值是 (  )
A.0   B.1
C.2   D.3
【答案】C
【解析】易得y′=2x,故函数y=x2在点x=1处的导数值是2×1=2.
【答案】B
【答案】eln 2(共44张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四则运算法则
学习目标 素养要求
1.能够掌握导数的四则运算法则,并清楚四则运算法则的适用条件 数学抽象、数学运算
2.会运用运算法则求简单函数的导数 数学抽象、数学运算
3.初步使用转化的方法,并利用四则运算法则求导 数学抽象、数学运算
自学导引
导数的运算法则
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
c′f(x)+cf′(x)=cf′(x)
【预习自测】
1.曲线y=xex在x=1处切线的斜率等于 (  )
A.2e B.e
C.2 D.1
【答案】A
2.(2022年宁波期末)已知f(x)=cos x+2x,则f′(x)= (  )
A.-sin x+x·2x-1
B.sin x+x·2x-1
C.-sin x+2xln 2
D.sin x+2xln 2
【答案】C
【解析】由f(x)=cos x+2x,得f′(x)=-sin x+2xln 2.故选C.
3.(2021年广州期末)已知f(x)=x2ex,则f′(1)= (  )
A.1   B.e
C.2e   D.3e
【答案】D
【解析】∵f′(x)=2xex+x2ex,
∴f′(1)=2e+e=3e.
4.(2021年桂林期末)已知函数f(x)=x2+x,那么f′(1)= (  )
A.3   B.0
C.2   D.1
【答案】A
【解析】∵f′(x)=2x+1,∴f′(1)=3.
【答案】D
课堂互动
求下列函数的导数:
(1)y=x5-3x3-5x2+6;
(2)y=(2x2+3)(3x-2);
题型1 利用导数的运算法则求导
解:(1)y′=(x5-3x3-5x2+6)′
=(x5)′-(3x3)′-(5x2)′+6′
=5x4-9x2-10x.
(2)(方法一)
y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+3(2x2+3)
=18x2-8x+9.
(方法二)
∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,
∴y′=18x2-8x+9.
【解题探究】(1)直接利用和、差的运算法则求导;(2)利用积的运算法则或先化简再利用和、差的运算法则求导;(3)利用商的运算法则求导;(4)先化简,再求导.
在求导时,对于简单的和、差、商、积可以直接求导;但有些函数表面形式为函数的商或积,直接求导比较烦琐且易出错,可先将函数化简,然后再求导.
已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足解析式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则f′(2)=________.
题型2 求抽象函数的导数值
对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f′(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f′(x),再令x=x0,即可得到f′(x0)的值,进而得到函数解析式.
题型3 导数的几何意义
【答案】(1)D (2)y=3x
求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;
(2)由点斜式方程求得切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
注意:“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.
3.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为__________.
【答案】x-y-1=0
角度二 求切点坐标
若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.
【答案】(e,e)
【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),因为y′=ln x+1,所以切线的斜率k=ln x0+1,由题意知k=2,得x0=e,代入曲线方程得y0=e.故点P的坐标是(e,e).
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
【答案】A
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (  )
A.a=e,b=-1   B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1  D.a=e-1,b=-1
【答案】D
处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
5.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R)的图象与直线x-y+1=0相切,则实数a的值为________.
易错警示 忽视f′(x)与f′(x0)的区别致误
素养训练
1.
2.求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则先化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.
【答案】C
【答案】A
【答案】A(共47张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 素养要求
1.理解函数极值与最值的关系 逻辑推理
2.会利用导数求函数的最值 数学运算
自学导引
(1)如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
如图,函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是______,最大值是________.
f(x3)
最大(小)值
f(a)
(2)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有________________.函数的最值必在极值点或___________取得.
最大值和最小值
区间端点处
【预习自测】
1.函数的极值与最值的区别与联系?
解:(1)极值是对某一点附近(局部)而言,最值是对函数的整个定义区间[a,b]而言;
(2)在函数的定义区间[a,b]内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个;
(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点;
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,指出函数的极值和最值.
解:显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.最大值y=M=f(x3)=f(b),分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4),在x=x4处取得.
(1)求函数y=f(x)在(a,b)上的____________;
(2)将函数y=f(x)的各极值与_______________________比较,其中__________的一个是最大值,__________的一个是最小值.
极值
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
端点处的函数值f(a),f(b)
最大
最小
【答案】A
2.(2021年哈尔滨期末)函数f(x)=x3-3x2+m在区间[-1,1]上的最大值是2,则常数m= (  )
A.-2 B.0
C.2 D.4
【答案】C
【解析】f′(x)=3x(x-2),令f′(x)>0,解得x>2或x<0;令f′(x)<0,解得03.(2022年南通期末)函数y=ln x-x在x∈(0,e]上的最大值为 (  )
A.e B.1
C.-e D.-1
【答案】D
课堂互动
题型1 求函数的最值
(2)f′(x)=-4x3+4x,
由f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得x=-1或x=0或x=1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表,
x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f′(x) + 0 - 0 + 0 -
f(x) -60 ? 极大 值4 ? 极小 值3 ? 极大 值4 ? -5
所以当x=-3时,f(x)有最小值-60;
当x=-1或x=1时,f(x)有最大值4.
【解题探究】先求函数在(a,b)上的极值,然后与端点处函数值进行比较.
极值与最值是不一样的概念,在求闭区间上的最值时,切勿忘记端点的函数值.
题型2 利用最值求参数
解:f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),由f′(x)=0得x=0或x=a,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况列表如下.
【解题探究】含有参数的函数最值求法与一般函数求法相同.
已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值;
(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值;
(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.
2.已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1,2]上的最大值是3,最小值是-29,求a,b的值.
解:f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
在区间[-1,2]上,令f′(x)=0,得x=0.
由题知a≠0.
当a>0时,函数f(x)在x=0处取得极大值,
又因为f(0)=b,f(-1)=-7a+b,f(2)=-16a+b,
故f(0)>f(-1)>f(2),
所以f(0)=3,f(2)=-29,解得a=2,b=3.
当a<0时,函数f(x)在x=0处取得极小值且f(0)<f(-1)<f(2),
所以f(0)=-29,f(2)=3,解得a=-2,b=-29.
题型3 与最值有关的综合问题
∴f(x)∈[0,2e2].
又∵f(x)>m恒成立,∴f(x)min>m,
∴m<0.
故m的取值范围为(-∞,0).
【解题探究】(1)解f′(x)>0,f′(x)<0即可;(2)首先求出f(x)在区间[-2,2]内的值域,再令f(x)min>m即可.
在求解与最值有关的函数综合问题时,要发挥导数的解题功能,同时也要注意对字母的分类讨论;而有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题.
3.已知f(x)=x3-x2-x+3,x∈[-1,2],f(x)-m<0恒成立,求实数m的取值范围.
题型4 用导数证明不等式
证明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b)的步骤
(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)移项可以转化为证明f(x)-g(x)>0;
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),研究F(x)的单调性;
(3)若[f(x)-g(x)]′>0,说明函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)上单调递增,只需保证F(a)>0;
(4)若[f(x)-g(x)]′<0,说明函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)上单调递减,只需保证F(b)>0.
求函数f(x)=4x3+3x2-36x+5在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
【错解】因为f(-2)=57,f(2)=-23,所以最大值为57,最小值为-23.
【错因】一定注意不要只求区间端点处的函数值,这是较易出现错误的地方.
易错警示 求最值易错
【警示】最值是指函数在自变量指定的取值范围内或隐含定义域内的最大值和最小值,要求出极值和区间端点处的函数值再比较.
素养训练
1.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.
2.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
3.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好单调,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
【答案】A
【答案】AB
【答案】D
4.(题型2,4)(2021年北京期末)已知函数f(x)=ex+a-ax(a>0)的定义域为(1,+∞),若f(x)>0在(1,+∞)上恒成立,则a的取值范围为__________.
【答案】(0,e2)(共83张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
章末素养提升
体系构建
核心归纳
导数及其应用 研究 函数 性质 判断 单调 性  (1)函数的单调性与导数:在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递减.
(2)求函数的单调区间步骤:①求函数的定义域;②求出f′(x);③令f′(x)=0,求出导数的零点;④用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数f(x)在定义域内的单调性(或在定义域内,令f′(x)>0,解出x的取值范围,得函数单调递增区间;令f′(x)<0,解出x的取值范围,得函数单调递减区间)
导数及其应用 研究 函数 性质 已知 单调 性求 参数 取值 范围 (1)对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题,转化为导函数在此区间上恒为正或负的问题,进而转化为导函数在该区间上的最值问题.
(2)对于可导函数在某个区间不单调的问题,转化为导函数在此区间有穿过轴的实数根,结合导函数的图象求解.
(3)对于函数在某个区间上存在单调递增或递减区间的问题,转化为导函数在此区间上大于零或小于零有解的问题
导数及其应用 研究函数性质 极值 ①极大值:在点x=a附近,满足f(a)≥f(x),当x0,当x>a时,f′(x)<0,则点a叫做函数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值.
②极小值:在点x=a附近,满足f(a)≤f(x),当xa时,f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值
导数及其应用 研究函数性质 最值 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.最大值是区间端点函数值和区间内的极大值的最大者,最小值是区间端点函数值和区间内的极小值的最小者.
一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
(2)求f(x)在给定区间上的端点值;
(3)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值
思想方法
专题一 数形结合思想
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.
已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(1)对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;
(2)设a=-m2,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.
②当m≠0时,f′(x)=3x2-3m2=0,得x=±|m|,列表如下
x (-∞,-|m|) -|m| (-|m|,|m|) |m| (|m|,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 极大 ? 极小 ?
f(x)极小=f(|m|)=-2m2|m|-1<-1.又因为f(x)的值域是R,且在(|m|,+∞)上单调递增,所以当x>|m|时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.
【点评】对于函数交点问题,我们可以应用导数讨论根的情况:首先,由导数研究出相应函数的单调性、极值(最值),并结合解析式分析出函数图象的变化趋势;其次,由函数的性质(单调性、极值、奇偶性等)和变化趋势画出函数的示意图;最后,根据图象与x轴的交点情况,确定参数的取值范围.
【答案】D
x (0,1) 1 (1,e) e (e,+∞)
g′(x) + 0 - 0 +
g(x) 增 极大值 减 极小值 增
专题二 分类与整合思想
分类与整合是重要的数学解题思想.它把数学问题划分成若干个局部问题,在每一个局部问题中,原先的“不确定因素”不再影响问题的解决,当这些局部问题都解决时,整个问题也就解决了.实质上分类讨论是“化整为零,各个击破,再合零为整”的解题策略.
引起讨论的主要原因有:①参数对函数类型、导函数的符号、单调区间端点的不同影响;②函数分段;③不等式两边同时乘(除以)某因式时,此因式的符号;④等式变形时除以(乘)某因式时,因式是否为零;⑤数值的大小关系等.
导数中的含参数的讨论分四级:
一级:最高次项的系数含参数a,分a=0,a>0,a<0三种情况依次讨论该系数.“a=0”时,写出不含参数的f′(x)的最简洁、直观的形式;“a>0”或“a<0”时,把最高次项系数外提,化简变形(含因式分解)到最简洁、直观的形式,能直接看出根来.
二级:接一级,判断方程f′(x)=0是否有根,即分Δ=0,Δ>0,Δ<0三种情况讨论.如果方程f′(x)=0没有实根,说明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立,即f(x)单调递增或单调递减,直接写结论;如果方程f′(x)=0有实根,求出所有的根,然后进入级别三.
三级:接二级,判断得出的根是否在定义域内.
①若f′(x)=0的根不在定义域内,则f′(x)>0或f′(x)<0,说明函数f(x)在定义域内单调递增或单调递减,直接写出结论;②若f′(x)=0有一个根在定义域内,则对这个唯一的根进行列表,求出f(x)的单调递增区间和单调递减区间;③若f′(x)=0在定义域内有两根(包含两等根或两异根),那么就进入四级.
四级:接三级,在三级中确定f′(x)=0在定义域内有两根x1,x2的情况下,讨论两根的大小.
【点评】本题重点考查通过求导研究函数的单调性,本题主要的数学思想是分类讨论,即对两根大小进行讨论.分类要做到不重不漏,层次分明.
【答案】D
专题三 转化化归思想
等价转化是把未知的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉甚至模式化、简单化的问题.不断培养和训练转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧.
【分析】本题考查恒成立问题,通过对问题的挖掘,实际上是求函数的最值问题,借助导数工具以及不等式恒成立结论解决.
【点评】解决本题的关键是转化思想的应用,求参数k的范围问题转化为求函数的最值问题,再通过求最值转化为解不等式解决.利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.“构造”是一种重要而灵活的思维方式,应用好构造思想解题的关键是:一要有明确的方向,即为什么目的而构造;二是要弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合.
3.(2021年南阳期末)已知函数f(x)=ex+ax-3,其中a∈R,若对于任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,都有x2·f(x1)-x1·f(x2)<a(x1-x2)成立,则a的取值范围是 (  )
A.[3,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,3] D.(-∞,2]
【答案】C
素养提升
素养一 导数的运算素养
数学运算要求能够在关联的情境中确定运算对象,提出运算问题.能够针对运算问题,合理选择运算方法、设计运算程序,解决问题.能够理解运算是一种演绎推理;能够在综合利用运算方法解决问题的过程中,体会程序化思想的意义和作用.在交流的过程中,能够借助运算探讨问题.
导数中涉及运算、求导以及求导后研究函数的性质.
【答案】B
【点评】本题考查拉格朗日中值定理、函数的零点与方程的根的应用,考查理解辨析能力与运算求解能力,解决问题关键是利用定义结合导数的运算进行求解.
例2 在许多实际问题中,一个因变量往往与几个自变量有关,即因变量的值依赖于几个自变量,这样的函数称为多元函数.例如,某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关,而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数z=f(x,y)=2x2+y+3xy2在(1,2)处偏导数的全过程:
fx′(x,y)=4x+3y2,fy′(x,y)=1+6xy,所以fx′(1,2)=4×1+3×22=16,fy′(1,2)=1+6×1×2=13.由上述过程,二元函数z=g(x,y)=ln(x2+y2),则gx′(1,2)+gy′(1,2)=__________.
【点评】本题主要考查归纳推理与导数的计算,解题关键是看懂新定义中计算偏导数的过程.
素养二 导数中的逻辑推理
能够跟已学过的知识有关联的数学命题,通过对条件与结果的分析,探索论证的思路,选择合适的论证方法予以证明,并能用准确的数学语言表述论证过程;能够通过举反例说明某些数学结论不成立.
导数中的推理证明问题主要是通过构造函数,利用导数证明函数的单调性.
【思路点拨】求出f(x)=g(ex),得到g(n)=f(m)=g(em),求出m=ln n,则mn=n·ln n,n∈(0,1),令h(x)=xln x,x∈(0,1),根据函数的单调性求出h(x)的最小值即mn的最小值即可.
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道常规题.
【思路分析】(1)f(x)=(x+3)ex-3,定义域为R,求导,分析单调性,进而得函数f(x)的最值;(2)问题可以转化为,当x≥0时,(x+1)ex-(mx2+2x+1)≥0恒成立,令g(x)=(x+1)ex-(mx2+2x+1),只需要g(x)min≥0即可,接下来分类讨论求g(x)min即可.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值,理解函数的单调性与导数的正负性之间的联系是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算能力.
链接高考
【答案】5x-y+2=0
导数的几何意义的应用
【分析】先验证点在曲线上,再求导,代入切线方程公式即可.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,是基础的计算题.
【答案】D
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,属于基础题,采用选项检验,排除思想解题,有时事半功倍.
例3.(2019年新课标Ⅱ)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为 (  )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
【答案】C
【解析】由y=2sin x+cos x,得y′=2cos x-sin x,∴y′|x=π=2cos π-sin π=-2,∴曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.
【分析】求出原函数的导函数,得到函数在x=π时的导数,再由直线的点斜式方程得答案.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,熟记基本初等函数的导函数是关键,属于基础题.
例4.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (  )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
【答案】D
【解析】y=aex+xln x的导数为y′=aex+ln x+1,在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,可得ae+1+0=2,解得a=e-1,又因为切点为(1,1),可得1=2+b,即b=-1.
【分析】求得函数y的导数,可得切线的斜率,由切线方程,可得ae+1+0=2,可得a,进而得到切点,代入切线方程可得b的值.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查直线方程的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
例5.(2020年新课标Ⅰ)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为____________.
【答案】y=2x
【分析】求得函数y=ln x+x+1的导数,设切点为(m,n),可得切线的斜率,解方程可得切点,进而得到所求切线的方程.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查直线方程的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
【答案】1
导数的运算
【点评】本题主要考查求函数的导数,属于基础题.
导数的实际应用
【点评】本题考查函数在实际问题中的应用,考查利用导数求最值的应用,考查运算能力和分析问题与解决问题的能力,属于中档题.
8. (2021年新高考Ⅰ)函数f(x)=|2x-1|-2ln x 的最小值为________.
导数研究函数的极值、最值等综合性问题例
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,以及运算能力,属于中档题.
【分析】(1)(ⅰ)根据导数的几何意义即可求出切线方程;
(ⅱ)根据导数和函数单调性极值的关系,即可求出.
(2)要证不等式成立,只要证明(x1-x2)[f′(x1)+f′(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]>0,根据导数和函数最值的关系,以及放缩法即可证明.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,对不等式进行证明,属于难题.