(共65张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标 素养要求
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念 数学抽象
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律 直观想象、逻辑推理
3.掌握空间向量数乘运算的意义及运算律 数学运算
| 自 学 导 引 |
空间向量的概念
1．定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量(space vector)．
2．长度或模：空间向量的________．
3．表示方法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：空间向量也用__________表示，有向线段的________表示空间向量的_______，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为____________．
大小
方向
大小
有向线段
长度
模
4．几类特殊的空间向量：
名称 定义及表示
零向量 规定长度为________的向量叫零向量，记为________
单位向量 模为________的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a
0
0
1
相等
相反
名称 定义及表示
相等向量 方向________且模________的向量称为相等向量，同向且等长有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______ ___________，那么这些向量叫做__________或平行向量
相同
相等
互相平
行或重合
共线向量
【答案】(1)√ (2)× (3)×
【预习自测】
若表示空间两个相等向量的有向线段的起点相同，则终点也相同吗？
【答案】提示：因为相等向量的方向相同长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同时，终点也相同．
微思考
空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
线性运算的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
(3)分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________(λ，μ∈R)
λa＋μa
λa＋λb
【答案】C
【预习自测】
【答案】①
【解析】①中两个向量的方向一定不同，正确；②中只能说明以表示a，b的有向线段为邻边的四边形为矩形，但|a|与|b|不一定相等，错误；③中向量不能进行大小比较，错误．
空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在_______，使a＝______．
实数λ
λb
微思考
【预习自测】
直线的方向向量
若非零向量a在直线l上，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
直线的方向向量有什么特点？
【答案】提示：非零，与直线平行．
微思考
【预习自测】
共面向量
1．定义：平行于______________的向量叫做共面向量．
2．充要条件：若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________．
同一个平面
p＝xa＋yb
【答案】(1)× (2)√
【预习自测】
【答案】2
空间中任意两个向量是否都共面？
【答案】提示：是，向量可以自由平移，任意两个向量都可以平移到一个平面内．
微思考
| 课 堂 互 动 |
【答案】C
解答空间向量有关概念问题的关键点和注意点
(1)空间向量的两个要素：大小和方向．两向量相等的充要条件：大小相等，方向相同．
(2)两个特殊向量：①零向量：长度为0的向量，方向任意．②单位向量：长度为1的向量，方向不确定．
【答案】B
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
题型3 空间向量的数乘
角度1 空间向量的数乘运算
【答案】A
4．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．
错解分析：分析解题过程，错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．
| 素 养 达 成 |
1．对空间向量数乘运算的三点认识
(1)类比平面向量，空间中任意实数λ与向量a的乘积λa仍然是一个向量，所以它既有大小又有方向，大小为|a|的|λ|倍，方向取决于λ的正负．
(2)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a无意义．
(3)特殊情况：当λ＝0或a＝0时，向量λa＝0.
2．共线向量充要条件的三个关注点
(1)区别：共线向量与直线平行的区别，直线平行不包括两直线重合的情况，而我们说的两个共线向量a∥b，表示向量a，b的有向线段所在直线既可以是同一直线，也可以是两条平行直线．
(2)零向量：共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．
(3)方向向量的个数：直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
3．对共面向量的两点说明
(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．
(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．
4．共面向量充要条件的三个作用
(1)建立共面向量之间的向量关系式：
用两个不共线的向量可以表示与这两个向量共面的任意向量．例如：如果两个向量a，b不共线，由向量c与向量a，b共面可得，存在唯一的一对实数x，y，使c＝x a＋y b.
1．(题型1)下列说法中正确的是 ( )
A．任意两个空间向量都可以比较大小
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C．空间向量的大小与方向有关
D．空间向量的模可以比较大小
【答案】D
【解析】A，B两项，任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A，B错误；C中，向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C错误；D中，由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．故选D.
【答案】C
3．(题型2)若向量a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则 ( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
【答案】D (共55张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标 素养要求
1.能够说出空间向量夹角和模的概念及表示方法 数学抽象
2.会灵活运用两个向量的数量积的计算方法 数学运算
3.能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题 数学运算、直观想象
| 自 学 导 引 |
两个向量的夹角
〈a，b〉
互相垂直
a⊥b
〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉有什么关系？
【答案】提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
微思考
【预习自测】
两个向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a，b，则________________叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝________________．
2．数量积的运算律：
|a||b|cos〈a，b〉
|a||b|cos〈a，b〉
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λa·b＝a·(______)
交换律 a·b＝______
分配律 a·(b＋c)＝____________
λb
b·a
a·b＋a·c
3．空间两向量的数量积的性质：
|a||a|cos〈a，a〉
【答案】(1)× (2)×
【解析】(1)不一定．可能是α，也可能是π－α.
(2)a·b＝a·c a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直．
【预习自测】
2．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
已知向量a，b，对于|a·b|＝|a||b|成立吗？
【答案】提示：|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．
微思考
| 课 堂 互 动 |
【答案】C
求数量积的方法
已知向量的模和夹角，利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
【答案】A
题型2 利用数量积求夹角和模
(1)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角均为60°，则对角线BD1的长为 ( )
(2)在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝1，AA1＝1，若∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则∠C1AB的余弦值是________．
提醒：求异面直线所成的角(或余弦值)时，易忽视向量的夹角与异面直线所成角的区别．
【答案】A
题型3 利用数量积解决垂直问题
探究1 已知垂直求参数
已知|a|＝5，|b|＝2，且a与b不共线．k为何值时，向量a＋kb与向量a－kb互相垂直？
解：因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，
所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，
即a2－k2b2＝0.
探究2 证明垂直关系
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直．
4．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解：由已知，(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0①，
7a2－30a·b＋8b2＝0②.
5．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
规范解答 利用空间向量数量积求向量的模和夹角
如图，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．
| 素 养 达 成 |
1．空间向量夹角定义的三个关注点
(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
3．对空间向量的数量积的两点说明
(1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积．
(2)运算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替．
【答案】D
2．(题型3)若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则 ( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m既不平行于n，也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】由已知得m·a＝0，m·b＝0，所以m·n＝m·(λa＋μb)＝λma＋μmb＝0，故m⊥n.故选B.
【答案】D
4．(题型2，3)设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝________．
【答案】－62
【解析】(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.(共56张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标 素养要求
1．掌握空间向量基本定理及空间向量的正交分解 数学抽象
2．会用空间向量的三个基底表示其他向量，并能用空间向量基本定理解决一些几何问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任一空间向量p，存在唯一的____________{x，y，z}，使得p＝___________，把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c叫做________，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
有序实数组
xa＋yb＋zc
基底
基向量
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)0也可以作为基向量． ( )
(2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示． ( )
(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么一定有a与b共线． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【预习自测】
【解析】(1)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0，所以0不能作为基向量．
(2)当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量．
(3)由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以作为基底．
【答案】B
平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？
【答案】提示：三个向量不共面．
微思考
空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度为1，那么这个基底叫做______________，常用{i，j，k}表示．
2．对空间中的任意向量a，均可以分解为xi，yj，zk，使a＝______________把空间向量分解为三个__________的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
两两垂直
单位正交基底
xi＋yj＋zk
两两垂直
【答案】1
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
题型1 基底的概念与判断
(1)在下列结论中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc．
其中正确结论的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是 ( )
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
D．{a＋b，a－b，2a＋b}
【答案】(1)A (2)C
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，那么不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，那么不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
1．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是 ( )
A．{a＋b，b－a，a} B．{a＋b，b－a，b}
C．{a＋b，b－a，c} D．{a＋b＋c，a＋b，c}
【答案】C
【解析】选项A，B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底；选项D中，a＋b＋c＝(a＋b)＋c，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底；选项C中a＋b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底．故选为C．
2．以下命题：
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若{a，b，c}是空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的另一组基底；③|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|．
其中正确的命题有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】①|a|－|b|＝|a＋b| a，b共线，反之不成立，|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a，b，c}是空间的一组基底，假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在唯一一组实数x，y，使a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)成立，即a＋b＝xb＋(x＋y)c＋ya，所以x＝1，y＝1，x＋y＝0，显然无解，假设不成立，即a＋b，b＋c，c＋a不共面，则{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的另一组基底，正确；③|(a·b)·c|＝|a||b||c|·|cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|不一定等于1，因此不正确．故选B．
【答案】A
用基底表示向量的三个步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
题型3 空间向量基本定理的应用
方向1 利用空间向量基本定理证明位置关系
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC．
解：(1)连接A1B，AC，AC1，如图．
锦囊妙计 运用向量方法解题
思维导读：近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对向量这部分内容的考查力度，本内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题．不管是平面向量抑或是空间向量，越来越多的考生开始青睐向量法分析解决问题．通过运用向量法解题的思想方法的传导，让考生们掌握向量法解决平面及空间几何的问题所提供的思路和分析解决问题的方法．向量法解决问题的思想使得某些数学问题变得简化和清晰，掌握它，让问题变得更容易．
如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD．
命题意图：本题主要考查学生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力．
知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使烦琐的论证变得简单．
1．解决向量相关问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识；二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想．
2．向量的数量积常用于有关两向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题．
3．用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：
(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？
| 素 养 达 成 |
1．对基底和基向量的理解
(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(2)基底中的三个向量a，b，c都不是0．这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．
(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
2．对空间向量基本定理的两点说明
(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量．
(2)唯一性：空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是唯一的．
3．单位正交基底的特点
(1)位置：三个向量两两垂直且有公共起点O．
(2)模长：每个向量的模都等于1．
(3)记法：一般记作{e1，e2，e3}，{i，j，k}等．
【答案】D
2．(题型1)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列不共面的是 ( )
A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b
C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c
【答案】C
3．(题型1)设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B(共46张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学习目标 素养要求
1．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 直观想象
2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和通过已知坐标作出点 直观想象、数学建模
| 自 学 导 引 |
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：________________，它们都叫坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做__________，通过每两条坐标轴的平面叫做__________，分别称为_______平面，_______平面，________平面，它们把空间分成__________．
x轴、y轴、z轴
坐标向量
坐标平面
Oxy
Oyz
Ozx
八个部分
若向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是什么？
【答案】提示：由正交基底的定义知，当向量a，b，c两两垂直时，向量a，b，c才能成为空间向量的正交基底，故向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是两两垂直．
微思考
(x，y，z)
xi＋yj＋zk
横坐标
纵坐标
竖坐标
(x，y，z)
(x，y，z)
【答案】B
【解析】由点的坐标定义可知，点P(1，2，3)到平面Ozx的距离是2．故选B．
【预习自测】
【答案】A
3．在空间直角坐标系中，点A(1，－1，1)关于原点对称的点的坐标为________．
【答案】(－1，1，－1)
【解析】点A(1，－1，1)关于原点对称的点的坐标为(－1，1，
－1)．
| 课 堂 互 动 |
题型1 空间中点的坐标表示
如图，点A(0，0，a)，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求点D，C，E，F的坐标．
求某点P的坐标的方法
先找到点P在Oxy平面上的射影点M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N．其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标．
提醒：求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
1．如图，在底面是菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面的边长为a，且∠A1B1C1＝120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标．
题型2 空间中点的对称问题
探究1 求关于坐标轴对称的点
在空间直角坐标系中，点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于 ( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．z轴对称
【答案】C
【解析】因为点A和点B的纵坐标相同，横坐标和竖坐标都互为相反数，所以点A和点B关于y轴对称．
探究2 求关于坐标轴平面对称的点
点(2，3，2)关于平面xOy的对称点的坐标为 ( )
A．(2，3，－2) B．(－2，－3，－2)
C．(－2，－3，2) D．(2，－3，－2)
【答案】A
【解析】因为关于平面Oxy的对称点的横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，所以点(2，3，2)关于平面Oxy的对称点的坐标为(2，3，－2)．
【答案】A
【解析】由线段中点坐标公式，则A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)的对称点的坐标是(0×2－3，1×2＋2，－3×2－4)＝(－3，4，－10)．
在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：
关于Oxy 平面对称 关于Oyz 平面对称 关于Ozx 平面对称 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于z轴对称
(x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) (－x，－y，－z) (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z)
其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．
2．已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
【答案】(2，－3，1)
【解析】点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
3．如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴对称的点的坐标为________．
【答案】(－1，－2，－1)
【解析】因为D(2，－2，0)，C′(0，－2，2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2，1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．
求向量的坐标时，首先要建立空间直角坐标系、确定单位正交基底，然后根据向量的运算将向量用单位正交基底表示，进而可得所求向量的坐标，这是将向量问题数量化的基础．
解：∵PA＝AD＝AB，
且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴以DA，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
易错警示 求空间中点的坐标的建系问题
在四棱锥V－ABCD中，底面是边长为4且∠ABC＝60°的菱形，顶点V在底面的射影是底面对角线的交点O，VO＝3，建立正确的空间直角坐标系求各点的坐标时，下列建系方式正确的是 ( )
A．(2)(3) B．(2)(4)
C．(1)(4) D．(1)(2)(4)
错解：选D．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(3)中的x轴和y轴不垂直，(1)(2)(4)中三个坐标轴两两互相垂直．
错解分析：错误的根本原因是忽略了坐标轴应两两互相垂直而错选．
正解：选B．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(1)中的x轴和y轴不垂直，(3)中三个坐标轴都不垂直，(2)(4)中三个坐标轴两两互相垂直．
防范措施：
1．准确把握建系原则
空间直角坐标系是右手直角坐标系，故三个坐标轴应两两互相垂直，如本题(1)(3)中x轴和y轴不垂直，故不能构成空间直角坐标系．
2．正确使用几何图形的性质
建立合理的空间直角坐标系要寻找互相垂直的坐标轴，垂直关系往往用到平面和立体图形的性质，寻找垂直关系的关键是正确使用几何图形的性质．如本题(2)(4)利用了菱形的对角线互相垂直这一性质，从而确定出x轴与y轴互相垂直．
| 素 养 达 成 |
1．空间直角坐标系的作图要求
(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．
(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．
(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．
2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系
在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．
①过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．
②反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A．
3．空间中特殊点的坐标
(1)原点坐标为(0，0，0)；x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，其中x，y，z为任意实数．
(2)Oxy平面上的点的坐标为(x，y，0)，Oyz平面上的点的坐标为(0，y，z)，Ozx平面上的点的坐标为(x，0，z)．其中x，y，z为任意实数．
4．对空间向量的坐标的两点说明
(1)空间向量坐标的本质
a＝(x，y，z)的本质是a＝xi＋yj＋zk，其中{i，j，k}是单位正交基底．
(2)空间向量的坐标与点的坐标的联系
①起点在原点的向量，坐标与终点坐标相同；
②起点不在原点的向量，坐标是终点坐标减去起点对应坐标．
1．(题型1)点P(3，0，4)，Q(0，0，－3)在空间直角坐标系中的位置分别是在 ( )
A．y轴上、x轴上 B．Ozx平面上、y轴上
C．Ozx平面上、z轴上 D．Oxy平面上、Oyz平面上
【答案】C
【解析】因为点P(3，0，4)的纵坐标为0，故点P在Ozx平面上．又因为点Q(0，0，－3)的横、纵坐标均为0，故点Q在z轴上．
2．(题型2)点P(1，4，－3)与点Q(3，－2，5)的中点坐标是( )
A．(4，2，2) B．(2，－1，2)
C．(2，1，1) D．(4，－1，2)
【答案】C
3．(题型2)点P(1，2，－3)关于Ozx平面对称的点的坐标是 ( )
A．(1，2，3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(－1，－2，3)
【答案】B
【解析】点P(1，2，－3)关于Ozx平面对称的点，即x，z不变，y变为相反数．故选B．
4．(题型1)点M(2，0，0)所在的位置是________．
【答案】x轴的正半轴上
【解析】由于点M的横坐标为2，纵坐标与竖坐标均为0，因此点M位于x轴的正半轴上．
5．(题型3)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC．试建立适当的空间直角坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．
解：以D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
依题设可得B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．(共58张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示，空间中直线、平面的平行
学习目标 素养要求
1．掌握空间点、线、面的向量表示 数学抽象
2．理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量 直观想象、数学运算
3．能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
位置向量
2．用向量表示直线的位置
位置
一点
如何获得直线的方向向量？
提示：最常用的方法是在直线上取一有向线段，该有向线段表示的向量即可作为直线的方向向量．
微思考
【预习自测】
用向量表示平面的位置
1．通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定
相交
xa＋yb
2．通过平面α上的一个定点A和法向量来确定
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的____________叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
方向向量
一个平面的法向量有多少个？它们是什么关系？
【答案】提示：无数个，都互相平行．
微思考
【预习自测】
用向量描述空间平行关系
设空间两条直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：
位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系
l∥m a∥b ____________ a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3
l∥α a⊥u ________ ________________________
α∥β u∥v _____________ ________________________
a＝kb，k∈R
a·u＝0
a1u1＋a2u2＋a3u3＝0
u＝kv，k∈R
u1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量． ( )
(2)如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量． ( )
【答案】(1)√ (2)×
【解析】(1)根据平面法向量的定义，可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量，是正确的．
(2)当a，b共线时，n就不是平面α的一个法向量．
【预习自测】
【答案】A
3．设直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为________．
【答案】2
【解析】因为l1⊥l2，所以a⊥b．因为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，m)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2．
| 课 堂 互 动 |
题型1 求直线的方向向量和平面的法向量
(1)若向量a＝(2，1)是直线l1的一个方向向量，向量b＝(－1，3)是直线l2的一个法向量，则直线l1与l2的夹角的余弦值为________．
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－1，3) B．(1，－1，－3)
C．(2，－3，6) D．(－2，3，－6)
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两不共线向量．
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0．
【答案】A
【答案】A
题型2 空间中的线线平行问题
已知O为坐标原点，四面体OABC中，点A，B，C的坐标分别为A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标．
从而x＝－2，y－3＝6，z－5＝0或x＝2，y－3＝－6，z－5＝0，
得x＝－2，y＝9，z＝5或x＝2，y＝－3，z＝5．
故点D的坐标为(－2，9，5)或(2，－3，5)．
向量法处理空间平行问题的两个应用
(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．
(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
题型3 向量法证明线面、面面平行问题
(1)若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．
【答案】(1)－3
(2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．求证：EF∥平面SAD．
1．用向量证明线面平行的方法
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直．
(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
2．向量法证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
【答案】A
易错警示 利用向量法判断直线与平面平行
已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3，1，2)，a＝(－2，2，2)，则l与α的位置关系是________．
错解：因为u·a＝(3，1，2)·(－2，2，2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，
所以u⊥a，所以l∥α．
错解分析：错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u⊥a可得l α或l∥α．
正解：因为u·a＝(3，1，2)·(－2，2，2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，
所以u⊥a．所以l α或l∥α．
防范措施：向量法证明线面平行的两个关注点
(1)明确理论依据
如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行．
(2)区分有关概念
直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内．
| 素 养 达 成 |
1．点、直线、平面位置确定的关键
(1)确定点：用向量确定空间中的任意一个点，关键是确定一个基点．
(2)确定直线：用向量确定一条直线，关键是确定一个点和一个方向向量．
(3)确定平面：
①一个定点两个向量：用向量确定一个平面，关键是理解平面向量基本定理，即存在有序实数对(x，y)使得平面内的向量等于xa＋yb，这样点O与向量a，b不仅能确定一个平面，而且还能具体表示出平面内的一个点．
②一个点一个向量：给定一个点和一个向量，过这个点，以这个向量为法向量的平面唯一确定．
3．对平面法向量的两点说明
(1)平面法向量的选取：平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量．
(2)平面法向量的不唯一性：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
4．空间中平行问题的解决策略
方法 几何法 向量法
直线 与直 线平行 对于直线l，m，n和平面α，β (1)若l∥m，l∥n，则m∥n． (2)若l⊥α，m⊥α，则l∥m． (3)若l∥α，l β，α∩β＝n，则l∥n 若直线l，m的方向向量共线，则l∥m
方法 几何法 向量法
直线 与平 面平行 对于直线m，n和平面α (1)若m⊥α，m⊥n，n α，则n∥α． (2)若m α，n α，m∥n，则m∥α 若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直且l α，则l∥α
平面 与平 面平行 对于直线l，m，平面α，β (1)若l α，m α，l∥β，m∥β，且l∩m＝A，则α∥β． (2)若l⊥α，l⊥β，则α∥β 若平面α，β的法向量共线，则α∥β
【答案】B
【答案】B
3．(题型3)若不重合的平面α，β的法向量分别为m＝(1，－5，2)，n＝(－2，10，－4)，则 ( )
A．α⊥β B．α∥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
【答案】B
【解析】因为m＝－2n，所以α∥β．故选B．
4．(题型3)已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n．下列可能使l∥α的是 ( )
A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
【答案】D
【解析】要使l∥α，当且仅当a⊥n，即a·n＝0，只有D中a·n＝1×0－1×3＋3×1＝0．
5．(题型3)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1．
证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，(共54张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线与平面的垂直
学习目标 素养要求
1．理解线面的位置关系与向量的关系 直观想象
2．利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间中的垂直关系 直观想象
3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则：
位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系
l⊥m a⊥b __________ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
l⊥α ________ ____________ a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3
α⊥β u⊥v u·v＝0 ________________________
a·b＝0
a∥u
a＝λu，λ∈R
u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直． ( )
(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行． ( )
(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
【预习自测】
【解析】(1)根据直线的方向向量和线线垂直的定义，该判断正确．
(2)根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义，该判断正确．
(3)根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义，该判断正确．
2．若直线l的方向向量为a＝(2，0，1)，平面α的法向量为n＝(－4，0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为 ( )
A．l与α斜交 B．l α
C．l∥α D．l⊥α
【答案】D
【解析】因为a＝(2，0，1)，n＝(－4，0，－2)，所以n＝－2a，故n∥a，即直线l的方向向量与平面α的法向量平行，故l⊥α．
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
【答案】－4
【解析】因为α⊥β，且向量a，b分别是平面α，β的法向量，所以a⊥b，a·b＝x－2＋6＝0，所以x＝－4．
用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
【答案】提示：需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 线线垂直问题
如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为 ( )
【答案】B
应用线线垂直求点的坐标的方法步骤
(1)设出点的坐标．
(2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程．
(3)通过解方程的方法求出点的坐标．
1．如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1．求证：BC1⊥AB1．
题型2 线面垂直问题
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．求证：MN⊥平面A1BD．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0．
提醒：用坐标证明垂直问题，关键是根据题目中的垂直关系建立适当的坐标系．
方向2 探究性问题
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)将一平面内两相交直线的方向向量用坐标表示．
(3)由两条相交直线的方向向量，计算两组向量的数量积，得到数量积为0．
(4)同理求出另一个平面的法向量．
3．在三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC．
证明：方法一，如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，
规范解答 利用空间向量解答平行、垂直问题
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)．
(1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ．
(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
审题指导：(1)要证明BC1∥平面EFPQ，只要证明BC1与平面EFPQ内的一条直线平行，依据题意可证BC1∥FP．
(2)由平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角知，两个平面互相垂直，故它们的法向量互相垂直，由此可根据数量积为0，求λ的值．
【题后悟道】
1．关注解决空间平行、垂直关系的依据
平行、垂直关系的向量表示是解题依据，是解题的前提和根本，也是避免无谓丢分的关键，如本例利用向量平行证明线线平行；通过证明两个平面的法向量互相垂直，得两个平面互相垂直．
2．准确计算，避免失误
利用向量法解决空间平行垂直问题的最大特点是通过计算证明位置关系，这也是向量法与几何法的主要区别．因此，准确计算是此类问题的关键，如本例中两个平面的法向量坐标必须计算准确．
| 素 养 达 成 |
空间垂直关系的解决策略
方法 几何法 向量法
线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°． (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直
方法 几何法 向量法
线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m α，n α，m与n相交，则l⊥α． (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面 垂直 对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l β，则α⊥β． (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β． (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直
1．(题型1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则 ( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交不垂直 D．不能确定
【答案】B
【解析】因为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，即a·b＝0，所以a⊥b．所以l1⊥l2．
2．(题型3)两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是 ( )
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
【答案】B
【解析】α⊥β u·v＝0 －6＋y＋z＝0，即y＋z＝6．
【答案】4
4．(题型2)向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．
【答案】否
【解析】m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0，所以l与α不垂直．
5．(题型3)如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°．求证：平面ADE⊥平面ABE．(共67张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 空间中的距离问题
学习目标 素养要求
1．理解空间两点的距离、点到平面的距离、直线与平面的距离、两平行平面间的距离的概念 直观想象、数学抽象
2．体会空间向量解决几何问题的方法，能够用向量法求空间中的距离问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间中距离与向量的关系
【答案】A
【预习自测】
【答案】A
【答案】A
4．已知A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．
向量法计算点到平面的距离时用到的理论依据是什么？
【答案】提示：理论依据是数量积的几何意义，即通过求向量在某向量方向上的投影计算有关线段长度．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 求两点间的距离
已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，M是B1C1的中点，N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设P是线段DN上的动点，求线段MP的最小值．
解：因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
题型2 求点到直线的距离
如图，正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，E，F分别为AB，AD的中点，求点A到平面GEF的距离．
1．用向量法求点面距的方法与步骤
如图．
2．用向量法求线面距、面面距的方法
2．如图，在棱长为1的立方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面AA1D1D内的点．
(1)若C1H⊥平面BDE，确定点H的位置；
(2)求点C1到平面BDE的距离．
题型3 求点面、线面、面面距离
方向1 三种距离的综合应用
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)求直线MN到平面BDE的距离．
(1)证明：在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，AB＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，N(1，2，0)，D(0，0，2)，P(0，0，4)，E(0，2，2)，
(1)证明：如图，连接BD，取BD的中点P，连接FP，GP，
∵P，G分别BD，BC是的中点，E，F分别是SA，SB的中点，∴PG∥CD，EF∥AB．
又∵AB∥CD，∴EF∥PG．∴PG 平面EFG．
∵F，P分别是SB，BD的中点，
∴SD∥FP．又∵SD 平面EFG，FP 平面EFG，∴SD∥平面EFG．
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成的角为30°．当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2
解：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，OD为x轴正半轴，OP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．
锦囊妙计 等价转化思想在求空间的距离问题中的应用
等价转化思想是解决立体几何的重要思想方法，也是高考中重点考查的数学方法，空间中点、线、面的位置关系相互转化，平面几何与立体几何之间的相互转化等都是解答立体几何问题时常用的方法．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2．
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)求点E到平面PCD的距离．
命题意图：本题考查了线面平行的判定、三棱锥的等体积法、点到平面的距离等基础知识，考查了空间想象能力、数学运算能力、转化的数学思想．
知识依托：(1)线线平行判定定理和线面平行判定定理．
(2)棱锥的体积公式．
解：(1)证明：如图，取PC中点G，连接DG，FG，如图．
∵四边形ABCD为正方形，∴DE∥BC．
∵G，F分别为PC，PB的中点，∴FG∥BC．
∴DE∥FG．
求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．
| 素 养 达 成 |
1．空间距离的定义
(1)图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离．
(2)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．
(3)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离．
(4)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
(3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的．
1．(题型2)已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【答案】B
【答案】D
5．(题型2)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．(共70张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 空间中的夹角问题
学习目标 素养要求
1．理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义 直观想象、抽象数学
2．能够用向量法解决线线、线面、二面角的计算问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间三种角的向量求法
角的分类 向量求法 范围
异面直线 所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝____________ ＝__________ ________
|cos〈a，b〉|
角的分类 向量求法 范围
直线与平面 所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ____________＝__________ ________
二面角 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝_____________ ＝__________ ________
|cos〈a，n〉|
|cos〈n1，n2〉|
[0，π]
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( )
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角． ( )
(3)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2则θ＝〈n1，n2〉． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【预习自测】
【答案】A
3．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
【答案】C
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题型1 异面直线所成的角
如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB＝BC＝6，BD＝8，E为AD中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD＝B，
∴AB⊥平面BCD．
分别以BC的垂线，BC，BA三直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．
(1)证明：∵在△PAD中，由E，F为PD，PA中点得EF为中位线，
∴EF∥AD．
又∵底面为矩形，AD∥BC，
∴EF∥BC．
∴由平行线确定唯一平面得E，F，B，C在同一平面上．
题型2 直线与平面所成的角
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°．
(1)求证：AP⊥PC；
(2)设AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值．
(1)证明：因为平面PAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AP．
又因为AP⊥PB，且PB∩BC＝B，
故AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC．
图1
图2
利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．
3．如图，已知四棱锥S－ABCD，SD＝SB，在平行四边形ABCD中，AD＝CD，Q为SC上的点，过AQ的平面分别交SB，SD于点E，F，且BD∥平面AEQF．
(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，
因为四边形ABCD为平行四边形，且AD＝CD，
所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
因为BD∥平面AEQF，平面AEQF∩平面SBD
＝EF，BD 平面SBD，
所以BD∥EF．
因为BD⊥AC，所以EF⊥AC．
图1
图2
审题指导：(1)要证明DE⊥平面ACD，需要证明DE与平面ACD内两条相交直线垂直，其中DE⊥DC较明显，由平面ABC⊥平面BCDE，且AC⊥BC，证得AC⊥平面BCDE，从而DE⊥AC．
(2)要求二面角B－AD－E的大小，可先以D为原点建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式计算二面角的大小．
【题后悟道】
1．利用条件建立空间直角坐标系
充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系，使几何体的顶点尽量多地落在坐标轴上，建系或在求点的坐标时用到的位置关系和数量关系要进行必要的说明，如本例中，AC⊥平面BCDE，不仅用于证明AC⊥DE，还为求点A的坐标提供依据．
| 素 养 达 成 |
2．向量法求直线与平面所成角的原理
1．(题型2)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 ( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
【答案】C
【解析】由直线与平面所成的角的范围及与向量所成角的关系知直线l与平面α所成的角等于90°－(180°－120°)＝30°．
2．(题型3)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
A．45° B．135°
C．90° D．45°或135°
【答案】D
【答案】D
4．(题型1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为________．
