(共31张PPT)
第六章 计数原理
章末素养提升
| 体系构建 |
| 核心归纳 |
1．两个计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．
2．排列与组合
排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．
对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题．
3．排列数与组合数公式及性质
| 思想方法 |
(一)分类讨论思想
【方法解读】解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．
车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
解：方法一 设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)，
A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)，
A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)，
A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)，
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)，
A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)，
所以选派方法共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)．
【点评】本题主要考查排列组合的综合问题，解决本题的关键是对特殊要求元素“两名老师傅既能当车工又能当钳工”进行分类讨论．
1．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个(用数字作答)．
【答案】60
(二)正难则反思想
【方法解读】在解决一些数学问题时，有时候会碰到正面解决非常复杂的情况，对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．
设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为 ( )
A．78 B．76
C．83 D．84
【答案】C
【解析】若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；分类较多，而其对立面a3－a2＞6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决．
集合S的含有三个元素的子集的个数为C＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1＜a2＜a3且a3－a2＞6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.
【点评】本题主要考查集合中元素的个数问题，考查组合的有关知识，解题时利用正难则反思想，回避较为复杂的分类讨论，可使问题简单化．
2．由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．
【答案】30
(三)特殊化思想
【方法解读】与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过特殊化思想求解，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．
若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；
(2)求a1＋a2＋…＋a10；
(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
(2)令x＝1，代入已知式可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)令x＝－1可得
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，
再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
把这两个等式相乘可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.
【点评】本题主要考查二项式展开式中系数的和问题，解决本题的关键是准确利用特殊法思想，通过赋值求解相应的系数的和．
3．若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
【答案】5
【解析】令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
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排列与组合的综合应用
1．(2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目中进行培训，每名志愿者只分配到1个项目中，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 ( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
【答案】C
2．(2020年新课标卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
【答案】36
二项式定理的应用
【答案】C
【答案】－4
6．(2021年浙江)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________，a2＋a3＋a4＝________.
【答案】5 10
【解析】由二项式定理，求得(x－1)3的展开式为(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，(x＋4)4的展开式为(x＋4)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1.所以a1＝1＋4＝5，a2＝－3＋6＝3，a3＝3＋4＝7，a4＝－1＋1＝0，所以a2＋a3＋a4＝10.(共44张PPT)
第七章 随机变量及其分布
章末素养提升
| 体系构建 |
| 核心归纳 |
(2)求随机变量的分布列的步骤
①明确随机变量X的取值；
②准确求出X取每一个值时的概率；
③列成表格的形式．
(3)离散型随机变量分布列的性质
①pi＞0，i＝1,2，…，n.
②_____________________.
【答案】(1) P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)
(3)②p1＋p2＋…＋pn＝1
(2)意义：均值刻画的是X取值的平均水平，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量与基金均值的偏离程度________．
【答案】(2)越小
4．超几何分布与二项分布
(1)二项分布
在n重伯努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为p，用X表示事件A发生的次数，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
称为X服从参数为n，p的二项分布B(n，p)，其均值为E(X)＝np，方差为D(X)＝np(1－p)．
| 思想方法 |
(一)离散型随机变量中转化思想的应用
1．离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中档．
2．期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题转化为数学问题，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的性质，如E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
1．已知随机变量X的分布列如下：
则X的方差为________．
【答案】0.89
【解析】由分布列的性质知，x＝0.5，故E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，D(X)＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5＝0.484＋0.001＋0.405＝0.89.
X 1 2 3
P 0.4 0.1 x
2．甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：
①连续竞猜3次，每次相互独立；
②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；
③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．
(1)求甲、乙两人玩此游戏获奖的概率；
(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和数学期望．
(二)方程思想的应用
方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想之一，这种思想方法就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论，使问题得以解决，利用方程思想解题的关键是列出方程．
3．甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R(单位：千米)可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选一款，乙从B，C两类车型中挑选一款，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：
(三)数形结合思想的应用
1．高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档．
2．由于正态曲线具有完美的对称性，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题，解题时要注意数形结合．
已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X＞2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝ ( )
A．0.447 B．0.628
C．0.954 D．0.977
【答案】C
【解析】∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于x＝0对称．又P(X＞2)＝0.023，∴P(X＜－2)＝0.023.∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
【点评】根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点
(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；
(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．
【答案】(1)D
(2)0.8
【解析】由正态分布N(1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x＝1对称，且X在(0,1)内取值的概率为0.4，知X在(1,2)内取值的概率也为0.4，故X在(0,2)内取值的概率为0.8.
2．(2020年浙江)盒中有4个球，其中有1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________.
3．(2021年新高考全国卷Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
解：(1)X可能的取值为0,20,100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
因为54.4＜57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．(共39张PPT)
第八章 成对数据的统计分析
章末素养提升
| 体系构建 |
| 核心归纳 |
1．回归分析的基本思想
回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量代换转化为线性回归分析，因此，回归分析的思想主要是指线性回归分析的思想．
注意理解以下几点：
(1)确定线性相关关系
线性相关关系有两层含义：一是具有相关关系，如广告费用与销售量的关系等在一定条件下具有相关关系，而气球的体积与半径的关系是函数关系，而不是相关关系；二是具有线性相关关系．
判断是否线性相关的依据是观察样本点的散点图或计算相关系数．
(2)回归方程的预报精度
简单来说，线性回归分析就是通过建立回归直线方程对变量进行预报，用回归方程预报时，需对函数值明确理解，它表示当x取值时，真实值在函数值附近或平均值在函数值附近，不能认为就是真实值．
2．独立性检验的基本思想
独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认两个分类变量有关系的可信程度，先假设两个分类变量没有关系，再计算统计量χ2的值，最后由χ2的值很大在一定程度上说明两个分类变量有关系．
进行独立性检验要注意理解以下三个问题：
(1)独立性检验适用于两个分类变量．
(2)两个分类变量是否有关系的直观判断：
根据2×2列联表计算|ad－bc|，值越大关系越强，或用等高堆积条形图直观展示．
(3)独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．独立性检验的结论只能是有多大的把握确认两个分类变量有关系，而不能是两个分类变量一定有关系或没有关系.
| 思想方法 |
(一)回归分析思想的应用
【方法解读】回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．
解：(1)以横轴表示温度，以纵轴表示热饮杯数，作散点图．
(2)从图中可看出，各散点分布在左上角到右下角的区域里，气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
(3)从散点图可看出，这些点大致分布在一条直线附近，两变量呈现近似的线性关系，因此利用计算器求得下列表中数据.
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等)，若残差存在异常，则应检查数据是否有误，或模型是否合适等；
(6)依据回归方程作出预报．
1．(2021年湛江调研)习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：
敬老院 A B C D E F G H I J
满意度x% 20 34 25 19 26 20 19 24 19 13
投资额y/万元 80 89 89 78 75 71 65 62 60 52
(二)独立性检验思想的应用
【方法解读】独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的值很大，则在一定程度上说明假设不合理．
2．某电视台联合相关报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：
性别 看法 合计
赞同 反对 男 198 217 415
女 476 109 585
合计 674 326 1 000
根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为对这一问题的看法与性别有关系？
【高考链接】
1．(2020年新课标卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的经验回归方程类型的是 ( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋bln x.
2．(2021年全国甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
项目 一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
