北师大版数学八年级上册4.4一次函数的应用-待定系数法求一次函数的表达式 教案（表格式）

课题名称 一次函数的应用（第一课时-用待定系数法求一次函数的表达式）
科 　目 数学 年 级 BS八年级上
授课类型 新授课
教学时间 40分钟
教材分析 一次函数的应用位于北师大版义务教育数学教科书八年级上册第四章第四节，整节分为根据一次函数的图象确定解析式、利用一个一次函数的图象解决问题、利用两个一次函数的图象解决问题三部分。本节课是第一课时，即用待定系数法求一次函数的表达式。 一次函数图象是一条直线，而两点确定一条直线，进而提出“已知两点能否求出一次函数的表达式”的问题。由于正比例函数是特殊的一次函数，因此从正比例函数开始着手，首先结合题意设出正比例函数的一般形式，然后通过读图发现图象经过一个已知点，将已知点的坐标代入表达式，得到一个关于未知系数的一元一次方程，最后解出未知系数的值再代回。之后将问题面向一般的一次函数，设出一般形式，代入已知点，将问题转化为解二元一次方程组问题，一步步探究如何用待定系数法求一次函数的表达式。 虽然本节课主要围绕“用待定系数法求一次函数的表达式”，但《课标（2011年版）》除了指出“能利用待定系数法求一次函数的解析式”外，还强调“能结合具体情境体会一次函数的意义，能利用一次函数解决简单的实际问题”。因此在教学过程中应以实际问题为背景进行学习，带领学生学会分析题意，从文字表述中提炼有用的已知信息，转化成数学语言。
学情分析 学生在前面的学习中已经掌握了一次函数的一般形式，知道正比例函数是特殊的一次函数，经历了从五点法作图到两点法作图的过程，会解一元一次方程及二元一次方程组，这是学习本堂课的知识基础。 对于有实际背景的题干，需要带领学生一起从中提炼出有用信息，将文字描述转化成学生熟悉的数学符号语言。
教学目标 知识与技能目标：能利用待定系数法求一次函数的表达式。 过程与方法目标：在求表达式的过程中再次认识正比例函数与一次函数的联系和区别；在从图象和实际问题中提炼已知点的坐标过程中提高将图形语言、文字语言转化为数学符号语言的能力。 情感态度与价值观目标：在将求一次函数的表达式问题转化为解方程或方程组问题的过程中感受数学知识之间的联系
教学重点 用待定系数法求一次函数的表达式
教学难点 从实际问题中抽象出已知点的坐标
教学方法 讲授法、探究法
教学准备 希沃白板课件
教学过程 设计意图
问题引入 在前面我们学习了给出一个一次函数的表达式去画它的图象。 比如，在最开始画它的图象描了多少个点？ 后来随着对一次函数的认识，我们知道所有一次函数的图象都是什么图形？ 现在你再去画的图象，还要描五个点吗？——两个点即可。 能告诉我你想取哪两个点吗？ 然后在平面直角坐标系中描出这两个点，过这两个点画一条直线，这条直线就是一次函数的图象。 （白板呈现作图过程） 为什么只需要两个点就能画出一次函数的图象？ 因为两点确定一条直线，所以已知一次函数的表达式，任取两个点的坐标，就可以画出它的图象；反过来，如果已知一次函数的图象上两个点的坐标，你能求出这个一次函数的表达式吗？ 这就是我们今天学习的内容——用待定系数法求一次函数的表达式。 新知探索 在研究一次函数图象时，最先研究的是正比例函数，因为正比例函数是特殊的一次函数，特殊在哪？ 正比例函数经过原点，所以相对于一般的一次函数，正比例函数研究起来更简单一些，所以下面我们依然从正比例函数开始。 例题1（课本P89）某物体沿一个斜坡下滑，它的速度与其下滑时间的关系如图所示。 下滑2s时该物体的速度是多少？ 通过读图，2s时对应的速度是5. 速度与下滑时间之间是什么函数关系？ 结合图象发现这是一条直线，所以首先这是一个一次函数，又因为经过原点，所以这是一个特殊的一次函数——正比例函数，因此与是正比例函数关系。 正比例函数的一般形式是什么？ 这里的y是？v. 这里的x是？t. 所以与的函数关系就可以写成（引出第三问） 写出与之间的函数关系式； 要想写出与的函数关系式，又知道，我们需要求什么？ 需要求k，因为k是这个正比例函数中的系数，我们也把它称为未知系数，要想求一个未知数，需要一个方程，这个方程从哪来？怎么列这个方程？ 通过读图知道该正比例函数图象经过点（2，5），说明这个点的坐标能使函数表达式成立，因此，当我把它代入时，就得到了一个关于k的一元一次方程，解得k=2.5，现在能写出与的函数关系式了吗？我们把k=2.5代回到得到. （过程板书） 我们来回顾一下完整的解题过程，首先，由图可知这是一个正比例函数，所以“解：设”，又由于图象经过点（2，5），所以“将（2，5）代入可得”解得k=2.5，“” 在这个过程中，第一步是什么？根据题意，设出函数表达式，也就是设出了未知系数，那么这种求函数表达式的方法就称为待定系数法。 利用待定系数法可以求一个正比例函数的的表达式，但它只是特殊的一次函数，对于更一般的一次函数，你能求出它的表达式吗？ 例题2 如图，是一个一次函数的图象，你能确定该函数的表达式吗？ 题干要求一次函数的表达式，第一步要干什么？——设出一次函数一般形式. 接下来怎么求解？ （给学生3min时间思考如何解决，尝试书写过程） 在上一道题求正比例函数表达式中，未知系数有几个？——只需要求k 所以我们代入了一个点，得到一个关于k的一元一次方程。而在这道题中未知系数有几个？——两个 那么只代入一个点的坐标可以吗？ 所以设完表达式后代入两个点的坐标，得到的是关于k、b的二元一次方程组，从方程组中解出k、b的值，代回函数表达式。 （白板呈现解题过程） 解：设，由题可知，点（-3，0）和点（0，2）在图象上，将其代入并联立得： 解得 因此，一次函数的关系式为
在上面两道题中运用的都是待定系数法，到底什么是待定系数法？ 先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出这个式子的方法称为待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。 （白板呈现待定系数法的概念） 在第一题中k就是待定系数，第二题中的k、b是待定系数。 想一想利用待定系数法求一次函数表达式的步骤？ 第一步先干什么？——设出一次函数的表达式 设好之后呢？——把已知点的坐标代入表达式中 然后呢？——解方程或方程组 最后一步？——把求出的未知系数的值代回表达式 （同时板书：一设二列三解四还原） 遵循这样的步骤我们就可以求出一次函数的表达式 确定一次函数表达式的步骤？ （1）设：设出函数表达式的一般形式； （2）列：将已知条件代入中，列出关于的方程或方程组； （3）解：解出方程或方程组的解，求出的值； （4）还原：把求出的的值代入函数表达式中，写出函数的表达式。
（白板呈现待定系数法的步骤） 我们还可以一句话来简述这个步骤：一设二列三解四还原 有了待定系数法我们就能够利用已知条件求出相应的一次函数表达式，但是在上两题中都是直接给出了函数图象，从图象中能清晰地看出经过哪两个点，那么如果不直接给出呢？ 例题3（课本P89例1）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数。某弹簧不挂物体时长14.5cm; 当所挂物体的质量为4kg时，弹簧长16cm.写出与之间的关系式，并求出当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度。 这道题与前两题的不同是没有给出图象，无法直接看出所需点的坐标，但相同的是 都明确告诉你是一次函数，要想求一次函数的解析式第一步要干什么？——设出一般式。 设完之后，由于无法直接看出点的坐标，所以只能从题干中发现哪些点在这个一次函数的图象上。 首先自变量x是什么？因变量y是什么？题中说“某弹簧不挂物体时长14.5cm”——此时x是多少？y是多少？所以这句话相当于告诉我们一次函数图象经过点（0，14.5）； “当所挂物体的质量为4kg时，弹簧长16cm”，这句话说明图象还经过哪个点？——点（4，16）. （给时间让学生动手书写解答过程） 具体过程如下： 解：设，由题可知，点（0，14.5）和点（3，16）在图象上，将其代入并联立得： 解得 因此，一次函数的关系式为 当时，
想一想确定正比例函数的表达式需要几个条件，确定一次函数的表达式呢？为什么？ 在本节课第一题求正比例函数的表达式中只代入了一个点的坐标，只用了一个条件，在求一般的一次函数表达式中，刚才同学们自己书写了过程，代入了两个点的坐标，这是两个条件。因此求正比例函数的表达式需要一个条件，求一般的一次函数的表达式需要两个条件。为什么？ 所谓待定系数法，这里的待定系数指谁？ 如果题干要求的是正比例函数，此时待定系数是k；如果题干要求的是不经过原点的一次函数，此时待定系数是k、b。如果从方程的角度来看，在求正比例函数表达式时，只有一个未知系数需要求，即k，所以只需要一个点的坐标，利用一元一次方程就可以解出k的值；而在求不经过原点的一次函数表达式时呢，有几个未知系数要求？k和b两个，因此需要两个点的坐标，利用二元一次方程组求得k和b的值。 以上内容就是如何用待定系数法求一次函数的表达式的内容，下面请大家用这种方法解决两个练习题。 巩固练习 练习1（课本P89随堂练习1）如图，直线是某函数的图象，点A（-4，12），B（3，-9），C（5，-10）是否在该函数的图象上？ 怎么判断一个点是否在函数图象上？ 要想判断一个点是否在函数图象上，需要把这个点的坐标代入函数表达式中，如果式子依然成立，说明这个点在函数图象上，如果不成立，则该点不在函数图象上。 本题这个函数的表达式知道吗？题干没有直接给出，因此这道题首先要干什么？——求函数的表达式 （请同学讲） 练习2（课本习题4.5第4题-问题解决）从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度是运动时间的一次函数。经测量，该物体的初始速度（时物体的速度）为，后物体的速度为. 写出v，t之间的关系式； 经过多长时间后，物体将达到最高点？（此时物体的速度为零） 质疑思考 下面请大家思考一个问题，在求一次函数的表达式的过程中，相信有的同学已经发现，我们把问题转化成了解方程，对于一个一般的一次函数来说，要想求它的表达式，第一步要“设”——,第二步是“列”，列出来的是什么？——二元一次方程组。那么你就要想了——一次函数和二元一次方程有什么关系？ 例如，这是一个什么？（一次函数） 通过移项得到，这是一个什么？（二元一次方程） 为什么同样的式子经过简单的移项，就说它一个是一次函数，一个是二元一次方程呢？它们是一样的吗？还是说本质上不一样，只是长得很像？ 这部分内容我们会在后面的学习中一起来研究，本堂的重点是待定系数法求一次函数的表达式，从而便于后面研究它和方程的关系。 课堂小结 我们再来回顾一下待定系数法的步骤 待定系数法的步骤：设—列—解—还原 注意事项： 设：看清题干说的是什么函数，是正比例函数，还是一般的一次函数 列：有时题干不直接给出点的坐标，而是一大段文字描述，要合理地将其转化为你熟悉的数学表达 解：要准确解出方程/方程组 还原：将k, b代回一般式 布置作业 必做题 课本P89随堂练习2；P90习题4.5的1、2 启航P79变式1、2；P80基础过关的3 选做题：启航P80基础过关的2 思考题：一次函数与二元一次方程的关系 回顾一次函数图象的作图过程，发现其作图利用了两点确定一条直线，即已知一次函数表达式，可以描出它经过的两个点，画出图象，反过来思考，已知它经过的两个点，能否求出一次函数表达式？ 从求特殊的一次函数——正比例函数的表达式开始，结合其一般形式，将问题转化为解一元一次方程问题 回顾求正比例函数表达式的过程，同时将求解过程板书 面向求一般的一次函数表达式问题，再次认识待定系数法的运用，将问题转化为解二元一次方程组 介绍什么是待定系数法，指明谁是待定系数，同时明确待定系数法求一次函数表达式的步骤
求解一次函数表达式需要已知两个点的坐标，在所需点的坐标未直接给出时，应从题干中提炼 从方程的角度思考求正比例函数的表达式需要一个条件，求一般的一次函数的表达式需要两个条件 巩固待定系数法求一次函数的表达式的步骤 引导学生学会从实际问题的文字描述中抽象所需点的坐标，能将文字语言合理地转化为数学符号语言 在学习完重点内容后给学生提出一个思考题，为后面的学习留下疑问，给学有余力的学生留下思考空间 回顾待定系数法解题步骤、提醒注意事项 针对不同学生布置分层作业
板书设计 待定系数法求一次函数的表达式 设 列 解 还原解：设 将（2，5）代入得 5=2k 解得k=2.5