2022-2023学年青岛版九年级上册数学第4章 一元二次方程 单元测试卷 (含答案)

2022-2023学年青岛新版九年级上册数学《第4章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．以下各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+2＝0 B．x2﹣5x＝2020
C．3x3+6x＝1 D．﹣5x﹣2021＝0
2．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则m值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
3．下列关于x的方程一定有实数根的是（　　）
A．ax+1＝0 B．ax2+1＝0 C．x+a＝0 D．x2+a＝0
4．若（x+3）（x﹣3）＝55，则x的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．6或8
5．一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米，设宽为x米，由题意可列出的方程是（　　）
A．（x+19）x＝8100 B．（x﹣19）x＝8100
C．（2x﹣19）x＝8100 D．（2x+19）x＝8100
6．不论x、y取何有理数，x2+y2﹣10x+8y+41的值均为（　　）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
7．若x2﹣2x﹣2＝（x2﹣4x+3）0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．1
8．关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m≤﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1
9．若是方程组的解，则a﹣c的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
10．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
12．商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，设该店销售额平均每月的增长率是x，由题意列出方程是 　 　．
13．若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于 　 　．
14．方程2x2﹣10x＝3的解是 　 　．
15．用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0，可以写成（x+h）2＝k的形式，则 　 　．
16．根据如表确定一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个解的范围是　 　．
x 0 1 2 3 4
x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 15
17．如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝　 　．
18．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为 　 　．
19．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝　 　．
20．方程的根为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分90分）
21．解方程：
（1）+2；
（2）2x2+4x＝x+2；
（3）x2﹣2x﹣1＝0．
22．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．
23．关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）证明该方程有实数根；
（2）当m＝4时，该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长，求该三角形周长．
24．（1）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根a，b．求的值．
（2）若m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，求的值．
25．北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．
注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）
（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；
（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；
（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．
26．阅读材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，则m＝　 　，n＝　 　；
（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求xy的值；
（3）已知Rt△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的周长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A．x+2＝0，是一元一次方程，故选项不合题意；
B．x2﹣5x＝2020，符合一元二次方程的定义，选项符合题意；
C．3x3+6x＝1，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不合题意．
D．﹣5x﹣2021＝0，不是整式方程，故选项不合题意；
故选：B．
2．解：把x＝2代入方程x2﹣4x+m＝0，得4﹣8+m＝0，
解得m＝4．
故选：C．
3．解：A、方程ax+1＝0，
整理得：ax＝﹣1，
当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，方程解为x＝﹣，
不符合题意；
B、方程ax2+1＝0，
整理得：ax2＝﹣1，
当a＝0时，方程无解；
当a＞0时，方程无解；
当a＜0时，方程的解为x＝±，
不符合题意；
C、方程x+a＝0，
解得：x＝﹣a，符合题意；
D、方程x2+a＝0，
整理得：x2＝﹣a，
当a≤0，即﹣a≥0时，方程解为x＝±；
当a＞0时，方程无解，
不符合题意．
故选：C．
4．解：（x+3）（x﹣3）＝55，
x2﹣9＝55，
x2＝64，
x＝±8．
故选：C．
5．解：设宽为x米，则长为（x+19）米，
根据题意得：x（x+19）＝8100．
故选：A．
6．解：x2+y2﹣10x+8y+41
＝x2﹣10x+25+y2+8y+16
＝（x﹣5）2+（y+4）2，
∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，
∴（x﹣5）2+（y+4）2≥0．
故选：D．
7．解：∵x2﹣2x﹣2＝（x2﹣4x+3）0，
∴x2﹣2x﹣2＝1，x2﹣4x+3≠0，
由x2﹣2x﹣2＝1整理得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
x2﹣4x+3≠0可知（x﹣3）（x﹣1）≠0，
∴x≠3或x≠1，
∴若x2﹣2x﹣2＝（x2﹣4x+3）0，则x的值为﹣1，
故选：A．
8．解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0，
解得：m＞﹣1，
故选：C．
9．解：把方程组的解代入方程组得：，
①﹣②得：2a﹣2c＝2，
∴a﹣c＝1．
故选：A．
10．解：
＝
＝
＝2．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（k+1）＝﹣4k＝0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
12．解：依题意得2（1+x）2＝4.5，
故答案为：2（1+x）2＝4.5．
13．解：∵关于x一元二次方程常数项为0，
∴m2+3m+2＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣2；
又∵m+2≠0，m≠﹣2，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．解：2x2﹣10x＝3，
2x2﹣10x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）
＝100+24
＝124，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝．
15．解：原方程可以化为：x2﹣x＝，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣x+＝+，
配方，得（x﹣）2＝．
故答案为：（x﹣）2＝．
16．解：根据表格可知，x2+2x﹣9＝0时，对应的x的值在2＜x＜3之间，
故答案为2＜x＜3．
17．解：由题意可知x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0有两个相等的根，
∵当x＝2时，x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0，
∴x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝（x﹣2）（x2﹣5x+k），
∵方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，
∴x2﹣5x+k＝0有两个相等的根或x2﹣5x+k＝0有一个根是2，
当x2﹣5x+k＝0有两个相等的根时，Δ＝25﹣4k＝0，
解得k＝，
此时方程的根为x＝，
∴三角形的三条边长分别为2，，；
当x2﹣5x+k＝0有一个根是2时，k＝6，
此时方程的根为x＝2或x＝3，
∴三角形的三条边长分别为2，2，3；
综上所述：k的值为6或，
故答案为：6或．
18．解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，
∴α2﹣α﹣9＝0，α+β＝1，
∴α2﹣α＝9，
所以α2﹣2α﹣β+3
＝α2﹣α﹣（α+β）+3
＝9﹣1+3
＝11．
故答案为：11．
19．解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，
设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，a2+b2＝2，
当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，
∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，
∴此时不符合题意，舍去，
即a2+b2＝2，
故答案为：2．
20．解：设＝y，则原方程变为：
＝5，
∴2y2+5y+2＝0．
解得：y＝或y＝2．
当y＝时，＝，此方程无解；
当y＝2时，＝2，
解得：k＝．
将k＝代入原方程均适合，
∴原方程的根为：k＝±．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分90分）
21．解：（1）去分母得：﹣2＝1﹣x+2（x﹣4），
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣4＝1≠0，
∴分式方程的解为x＝5；
（2）2x2+4x＝x+2
2x2+3x﹣2＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣2，
则Δ＝32﹣4×2×（﹣2）＝25＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝﹣2，x2＝；
（3）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
22．（1）解：解关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0得x＝m+2，
把x＝m+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，
整理得m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1；
（2）证明：解关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0得x＝n+2，
把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（n+2﹣1）（n+2﹣2）＝m+1，
整理得m＝n2+n﹣1，
所以m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2，
因为（n+1）2≥0，
所以m+n的最小值为﹣2．
23．解：（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+m）＝4m2+4m+1﹣3m2﹣2m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
∴该方程有实数根．
（2）当m＝4时，该方程化简，得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x1＝2，x2＝7．
∵2+2＜7，7+7＞2，
∴该等腰三角形的腰为7，底边为2．
∴该三角形的周长为：7+7+2＝16．
24．解：（1）根据题意得a+b＝﹣2，ab＝k，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝1；
（2）∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝1﹣3m，
∴原式＝
＝
＝1．
25．解：（1）依题意得：第二周每个纪念品的销售利润为（10﹣m﹣6）＝（4﹣m）元，销售量为（200+50m）个，
∴这批纪念品第二周的销售利润为（4﹣m）（200+50m）元．
（2）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）＝1400，
整理得：m2﹣4＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴10﹣m＝10﹣2＝8．
答：第二周每个纪念品的售价为8元．
（3）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）+[（10﹣m）×（1﹣20%）﹣6][600﹣200﹣（200+50m）]＝1730，
整理得：m2+26m﹣27＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣27（不符合题意，舍去），
∴600﹣200﹣（200+50m）＝600﹣200﹣（200+50×1）＝150．
答：这批纪念品第三周的销售数量为150个．
26．解：（1）∵m2+n2﹣4m+4＝0，
∴（m2﹣4m+4）+n2＝0，
∴（m﹣2）2+n2＝0，
∴m﹣2＝0，n＝0，
∴m＝2，n＝0，
故答案为：2；0；
（2）∵x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+10y+25）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+5）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+5＝0，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴xy＝25；
（3）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
当∠C＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+5＝12，
当∠B＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+＝7+，
综上，△ABC的周长为12或7+．