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第二十四章 圆（A卷·基础过关）
核心知识1 圆的概念与垂径定理
1．下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
2．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．5
4．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．5
5．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米
6．（2022·全国·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
7．如图，中，弦，已知的半径为，，，那么与间的距离是________．
核心知识2．圆周角定理
8．（2022 丰泽区校级模拟）如图，在⊙O中，点C是的中点，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
A．75° B．65° C．50° D．40°
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是上一点，则∠APD等于（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（ ）
A．13° B．16° C．18° D．21°
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．（2022 巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．1 D．2
13．（2022 云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140° B．130° C．120° D．100°
14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
核心知识3．点与圆的位置关系
15．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠AMB＝120°
B．ME＝MD
C．AE+BD＝AB
D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上
16．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 ．
核心知识4．切线的性质及判定
17．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．56°
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（ ）
A．50° B．70° C．80° D．85°
19．（2022 泉港区模拟）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连结AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．65° B．50° C．40° D．25°
20．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．
核心知识5．正多边形与圆
21．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
22．如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
23．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36° B．45° C．48° D．60°
24．（2022 青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
25．（2022 雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
26．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
核心知识6．与圆有关的计算
27．（2022 东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm
28．（2022 丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
29．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
30．如图，C是⊙O劣弧AB上一点，OA＝2，∠ACB＝120°．则劣弧AB的长度为（ ）
A．π B．π C．π D．π
31．已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（ ）
A．8π B．6π C．4π D．2π
32．（2022 济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
33．（2022 牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
34．（2022 柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
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第二十四章 圆（A卷·基础过关）
核心知识1 圆的概念与垂径定理
1．下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
【分析】根据圆的相关概念进行分析即可．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
C、如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，故该选项不符合题意；
D、已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．
2．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】直接根据垂径定理得AB＝2AD＝6cm．
【解答】解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，
∴AB＝2AD＝6cm．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．5
【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．
【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，
∵BE＝1，AE＝5，
∴OC＝AB＝＝＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，
∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，
∴OM＝OE＝×2＝1，
在Rt△OCM中，
∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，
∴CD＝2CM＝2×2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．
4．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．5
【分析】连接OB、AB，根据垂径定理求出BE，根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝ED＝BD＝4，∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝，∴AB＝2OF＝2，由勾股定理得：AE＝＝2，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
5．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米
【答案】A
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：A．
6．（2022·全国·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【答案】A
【分析】要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第一块可确定半径的大小
【解答】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
7．如图，中，弦，已知的半径为，，，那么与间的距离是________．
【答案】7
【分析】过O点作OM⊥AB于M点，延长MO交CD于点N，连接AO、CO，根据，OM⊥AB，可得ON⊥CD，利用垂径定理可得AM=3，CN=4，结合后⊙O的半径为5，在Rt△AMO和Rt△COD中，利用勾股定理可求得MO=4，NO=3，则问题得解．
【解答】过O点作OM⊥AB于M点，延长MO交CD于点N，连接AO、CO，如图，
∵，OM⊥AB，
∴OM⊥CD，即ON⊥CD，
∴AM=MB=AB，CN=ND=CD，
∵AB=6，CD=8，
∴AM=3，CN=4，
∵⊙O的半径为5，
∴AO=CO=5，
∵OM⊥AB，即ON⊥CD，
∴在Rt△AMO和Rt△COD中，利用勾股定理可求得MO=4，NO=3，
∵MN⊥AB，，
∴AB与CD的距离即为线段MN的长，
∴MN=OM+ON=4+3=7，
故答案为：7．
核心知识2．圆周角定理
8．（2022 丰泽区校级模拟）如图，在⊙O中，点C是的中点，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
A．75° B．65° C．50° D．40°
【分析】首先利用点C是的中点确定△ABC是等腰三角形，然后利用圆周角定理求得顶角的度数即可求得∠D的度数．
【解答】解：∵点C是的中点，
∴＝，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC＝65°，
∵∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠C＝∠D＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是得到△ABC是等腰三角形，难度不大．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是上一点，则∠APD等于（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
【分析】连接OC，AC，根据等腰三角形的性质和圆周角定理可求得∠COE的度数，根据圆内接四边形的性质即可求解．
【解答】解：连接OC，AC．
∵弦CD垂直平分OB，
∴OE＝OB＝OC，
∴∠OCD＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝60°．
∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，正确解直角三角形，求得∠COE的度数是关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（ ）
A．13° B．16° C．18° D．21°
【分析】连接CD，根据已知可得＝，从而可得BD＝BC，进而可得∠BDC＝∠BCD＝45°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB＝58°，从而求出∠DCE＝13°，最后根据同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接CD，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴BD＝BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∵∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝58°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCB＝13°，
∴∠ABE＝∠DCE＝13°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】由圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC+∠OCD＝180°，
∴∠COD＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解∠AOC的度数是解题的关键．
12．（2022 巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，
∴AE＝AC cos∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
13．（2022 云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140° B．130° C．120° D．100°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AD＝CD，
∴，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，
设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
即3x+75°＝180°，
解得：x＝35°，
∴∠DBC＝35°，
在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，
∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
核心知识3．点与圆的位置关系
15．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠AMB＝120°
B．ME＝MD
C．AE+BD＝AB
D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上
【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA＝60°，推出∠AMB＝120°；
②正确，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理解决问题；
③正确．在AB上取一点T，使得AT＝AE，利用全等三角形的性质证明BD＝BT，可得结论；
④错误，无法判断∠M′与∠ABC互补．
【解答】解：如图，
∵∠C＝60°，
∴∠CAB+∠CBA＝120°，
∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，
∵∠EMD＝∠AMB＝120°，
∴∠EMD+∠ECD＝180°，
∴C，E，M，D四点共圆，
∵∠MCE＝∠MCD，
∴，
∴EM＝DM，故②正确，
在AB上取一点T，使得AT＝AE，
在△AME和△AMT中，
，
∴△AME≌△AMT（SAS），
∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，
∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，
在△BMD和△BMT中，
，
∴△BMD≌△BMT，
∴BD＝BT，
∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，
∵M，M′关于AC对称，
∴∠M′＝∠AMC，
∵∠AMC＝90°+∠ABC，
∴∠M′与∠ABC不一定互补，
∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 2.5 ．
【分析】画出图形，当点在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：如图：
当点M在圆外时，
∵点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6，
∴直径AB＝6﹣1＝5，
∴半径r＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键．
核心知识4．切线的性质及判定
17．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．56°
【分析】先根据切线的性质得∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形的内角和和圆周角定理即可得到∠APB的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∵∠ACB＝62°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，
∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（ ）
A．50° B．70° C．80° D．85°
【分析】连接OA、OB，如图，先根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四边形的内角和计算出∠AOB＝140°，然后根据圆周角定理得到∠AQB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，
∴∠AQB＝∠AOB＝70°．
故选：B．
【点评】本题看了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
19．（2022 泉港区模拟）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连结AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．65° B．50° C．40° D．25°
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCB＝90°，再根据圆周角定理可得∠BOC＝50°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：连接OC，
∵BC与半⊙O相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．
【分析】（1）连接OF，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠B+∠C＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，从而可得∠OFB+∠EFC＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE＝90°，即可解答；
（2）连接AF，根据已知可得OD＝AD＝1，BD＝3，从而在Rt△BDC中，利用勾股定理求出BC＝5，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠AFB＝90°，从而可证△BDC∽△BFA，进而利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵OB＝OF，EF＝EC，
∴∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，
∵OF是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线：
（2）解：连接AF，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵D是OA的中点，
∴OD＝AD＝OA＝1，
∴BD＝OB+OD＝3，
在Rt△BDC中，AB＝CD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠AFB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDC∽△BFA，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝，
∴CF的长为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
核心知识5．正多边形与圆
21．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，连接AC，EC．证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质求解．
【解答】解：如图，连接AC，EC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝4，
∵AG＝GE＝2，
∴CG⊥AE，
∴CG＝＝＝6，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
【分析】根据多边形内角和公式求出正三角形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可．
【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是＝120°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和外角等知识点，能分别求出正三角形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键．
23．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36° B．45° C．48° D．60°
【分析】如图，连接AO．利用正多边形的性质求出∠AOM，∠AOB，可得结论．
【解答】解：如图，连接AO．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
24．（2022 青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【分析】由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．
【解答】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME＝∠COE＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COM＝120°是解决问题的关键．
25．（2022 雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，OG⊥CD，
∴∠COG＝30°，
∵⊙O的周长等于6π，
∴OC＝3，
∴OG＝3cos30°＝，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
26．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
【分析】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．
核心知识6．与圆有关的计算
27．（2022 东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm
【分析】求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rcm，
根据题意得：πr＝2π×4，
解得：r＝8，
所以围成的圆锥的母线长为8cm，
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．
28．（2022 丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴的长是＝π，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
【分析】根据图中阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣以AB的长为半径的半圆的面积，计算即可．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴S阴影部分＝×12×8﹣π×52＝48﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、等腰三角形的性质，明确阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣以AB的长为半径的半圆的面积是解题的关键．
30．如图，C是⊙O劣弧AB上一点，OA＝2，∠ACB＝120°．则劣弧AB的长度为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】作圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质求出∠ADB，根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由弧长计算公式求解即可．
【解答】解：
如图，作圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵A、D、B、C四点共圆，∠ACB＝120°，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝60°．
∴∠AOB＝2∠D＝120°．
∴劣弧AB的长度为：＝
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和弧长的计算，能正确作出辅助线是解此题的突破口．
31．已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（ ）
A．8π B．6π C．4π D．2π
【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．
【解答】解：根据弧长的公式l＝，
得到：l＝＝4π，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
32．（2022 济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵底面圆的直径为6cm，
∴底面圆的半径为3cm，
∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24πcm2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
33．（2022 牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度．
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
34．（2022 柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
【分析】先求出弧AA′的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，
所以扇形的面积为×8π×12＝48π，
即圆锥的侧面积为48π，
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
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