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班级 姓名 学号 分数
第二十四章 圆（B卷·能力提升）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（2022 阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
2．（2022 巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2022 鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022 枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
5．（2022 济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
6．（2022 兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．（2022 牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
8．（2022 牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
9．（2022 柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
10．（2022 河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25° B．35° C．40° D．50°
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2022 资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 度．
12．（2022 黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 ．
13．（2022 锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
14．（2022 黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．
15．（2022 沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是 （结果保留π）．
16．（2022 日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
17．（2022 青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
18．（2022 盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝ °．
三．解答题（共6小题，46分）
19．（2022 阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
20．（2022 衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
21．（2022 六盘水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
22．（2022 日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
23．（2022 盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．
24．（2022 北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
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班级 姓名 学号 分数
第二十四章 圆（B卷·能力提升）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（2022 阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
【分析】由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA＝OB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
【解答】解：连接OA，
∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
2．（2022 巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，
∴AE＝AC cos∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
3．（2022 鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC＝，
∴cos∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
4．（2022 枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
【分析】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
5．（2022 济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵底面圆的直径为6cm，
∴底面圆的半径为3cm，
∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24πcm2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．（2022 兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2022 牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度．
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．（2022 牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】由BD是⊙O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，继而求得答案．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（2022 柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
【分析】先求出弧AA′的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，
所以扇形的面积为×8π×12＝48π，
即圆锥的侧面积为48π，
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
10．（2022 河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25° B．35° C．40° D．50°
【分析】由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO＝90°，则可求得∠P．
【解答】解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2022 资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 35 度．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根据切线的性质可得∠BAD＝90°，即可求解．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∵AD与⊙O相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
12．（2022 黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 90° ．
【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得，
∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．
13．（2022 锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 40° ．
【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
14．（2022 黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 2π﹣4 ．
【分析】证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE＝S△OCG，推出S四边形OECG＝S△OBC＝4，再根据S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG，求解即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC＝S四边形ABCD＝4，
∵∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴∠BOE＝∠COG，
在△BOE和△COG中，
，
∴△OBE≌△OCG（SAS），
∴S△OBE＝S△OCG，
∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，
∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，
∴OB＝OC＝2，
∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG
＝﹣4
＝2π﹣4，
故答案为：2π﹣4．
【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．（2022 沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是 （结果保留π）．
【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴＝＝＝，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，
解得：AO＝2，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
16．（2022 日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圆形镜面的半径为cm，
故答案为：cm．
【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
17．（2022 青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18．（2022 盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝ 35 °．
【分析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE＝55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠OAD＝90°，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，
∴∠C＝∠E＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共6小题，46分）
19．（2022 阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
20．（2022 衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD＝的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝cos30°OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．
∴S阴影＝．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
21．（2022 六盘水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
【分析】（1）设OA＝OC＝Rm，利用勾股定理求出R即可；
（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）设OA＝OC＝Rm，
∵OA⊥CD，
∴CB＝BD＝CD＝14m，
在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，
∴R2＝142+（R﹣12）2，
∴R＝，
∴OC＝≈14.2m．
（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，
∵∠N＝∠COD＝81°，
∵∠CMD+∠N＝180°，
∴∠CMD＝99°．
∵∠CMB＝99°不变，是定值，
∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
【点评】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．（2022 日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
23．（2022 盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．
【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．
【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．
求证：AM＝BM，，．
证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴，．
【点评】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．
24．（2022 北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．
【解答】证明：（1）如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠A；
（2）如图，连接OC，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
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