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第二十四章 圆（难度拔高卷）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。）
1．（2022 北碚区自主招生）如图，是的切线，为切点，交于点，若的半径长为1，，则线段的长是
A．1 B． C．2 D．
【分析】连接，如图，先根据切线的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后计算即可．
【解答】解：连接，如图，
是的切线，为切点，
，
，
在中，，
．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
2．（2022 渝北区自主招生）如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【分析】连接交于点，如图，根据切线的性质得到，再证明四边形和四边形为矩形，则，，接着证明得到，所以阴影部分的面积，从而根据扇形的公式计算即可．
【解答】解：连接交于点，如图，
以为直径的半圆与相切于点，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形和四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，
阴影部分的面积．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质和扇形面积的计算．
3．（2022 南陵县自主招生）如图，和是的两条弦（即是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，若，，则的长为
A． B． C． D．
【分析】在上截取，连接，，，，证明，得出，进而得出即可解答．
【解答】解：如图，在上截取，连接，，，，
是的中点，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角，弦，弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性．
4．（2022 南岸区自主招生）如图，在中，，则等于
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理即可解决问题；
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】此题目考查了圆周角定理，属于中考基础题．
5．（2021 武昌区校级自主招生）如图，在中，，，，是边上一点，且，点在上，与、相切于、，则的面积为 ．
A． B． C． D．
【分析】连接，，，根据切线的性质可得，在中，利用勾股定理求出的长，再根据已知可得求出，然后根据的面积的面积的面积，可求出，再利用圆的面积公式，进行计算即可解答．
【解答】解：连接，，，
与、相切于、，
，
，，，
，
，
，
的面积的面积的面积
，
，
，
，
的面积
，
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2021 巴南区自主招生）如图，与相切于点，交于点，点在上，连接，．若，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接，根据切线的性质得，则，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：如图，连接，
直线与相切于点，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．解决本题的关键是掌握圆周角定理．
7．（2021 西湖区校级自主招生）如图，、是的两条相交弦，，，则的直径是
A．2 B．4 C． D．
【分析】连接，作于，由圆周角定理和已知得出，证出为等边三角形，得，，由垂径定理得，由直角三角形的性质得，，即可得出结论．
【解答】解：连接，作于，如图所示：
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
的直径；
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
8．（2021 郎溪县校级自主招生）如图为圆的内接三角形，为中点，为中点，，，则的大小为
A． B． C． D．
【分析】如图，连接，取中点，连接、，根据圆周角定理得到，，求得，连接，推出为等边三角形，得到，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接，取中点，连接、，
，，
，
连接，
为中点，
，，
，
，
，
，
为中点，
，
为等边三角形，
，
点是外接圆的圆心，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
9．（2021 武进区校级自主招生）如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是
A． B． C． D．
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积无阴影两部分的面积之差，即．
【解答】解：如图：
正方形的面积；①
两个扇形的面积；②
②①，得：．
故选：．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
10．（2021 武进区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是
A． B． C． D．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是，．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径，则，所以直角三角形的面积是；因为内切圆的面积是，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是，，则有：
，
又，
，
将代入得：．
又内切圆的面积是，
它们的比是．
故选：．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
11．（2020 连城县校级自主招生）如图，中，是的直径，交于点，交于点，点是中点，的切线交于点，则下列结论中①；②；③；④是中点，正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接、，首先由是的直径，得出，推出，由等腰三角形的性质及等角对等弧可得，从而可得，根据三角形中位线的性质可得，从而得，得，根据是的中点，得出是的中位线，得到点是的中点，最后由假设推出①不正确．
【解答】解：连接，、．
是的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
，
点是中点，
，，故③正确；
，
，故②正确；
是的切线，
，
，，
，
，
，
点是的中点，故④正确；
只有当是等腰直角三角形时，，
故①错误，
正确的有②③④共3个，
故选：．
【点评】此题考查的知识点是切线的性质、等腰三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答．
12．（2020 青田县校级自主招生）如图，正方形的边长为2，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是
A． B． C． D．
【分析】利用正方形的性质可得弧长度最小时的状态．
【解答】解：当点与或点重合时，圆心角为，可知此时弧最长，
根据正方形和扇形的对称性可得，当点在中点时，此时弧的长度最短，
，
，
，
弧的长度为，
故选：．
【点评】此题考查的是切线的性质、正方形的性质及弧长的计算，确定点为中点时，弧的长度最短是解决此题的关键．
13．（2020 金东区校级自主招生）如图，是直径，点，在半圆上，若，则
A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆周角定理得出，求出，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可．
【解答】解：连接，
是直径，
，
，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
14．（2020 和平区校级自主招生）如图，为的直径，为的中点，为劣弧上一个动点（点不与，重合），过作的切线交延长线于点，连接并延长交延长线于点，给出下列结论：
①若，则；
②若，则；
③可能成为的平分线；
④若的半径为1，则；
⑤．
其中正确结论的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】为的中点，可得，由为的直径，可得是等腰直角三角形，所以，①若，得，再结合切线性质，得是等腰直角三角形，所以，即可求出圆周角度数；②若，可证是等边三角形，即可求出；③由①即可得可能成为的平分线；④证明，得；⑤不可能等于，而，所以⑤错误．
【解答】解：为的中点，
，
为的直径，
是等腰直角三角形，
，
①，
，
是切线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故①正确；
②若，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故②正确；
③由①即可得可能成为的平分线，故③正确；
④为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
⑤，
，
所以⑤错误．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理及推论，三角形相似的性质及判定，等边三角形的性质及判定，解题关键是抓住几个等腰直角三角形．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
15．（2022 徐汇区校级自主招生）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为 ．
【分析】如图，为边的高，利用两圆相切的性质得到，则可判断为等边三角形，则，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，再利用圆与圆相切的性质得到的半径，然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积．
【解答】解：如图，为边的高，
所有小圆相切，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
与相切，
的半径，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．
16．（2022 宁波自主招生）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
【分析】连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答．
【解答】解：连接，
弧、、的长相等，
，
设，
，
，
，
在中，，
解得，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．（2022 南陵县自主招生）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中，，在上，、在半圆上．若则正方形的面积与正方形的面积之和是16，则的长为 8 ．
【分析】连接，，设正方形的边长为，正方形边长为，，根据正方形的性质，，设，根据勾股定理得出①，②，①②得出，把等式的左边分解因式后得出，求出，再代入①，即可求出答案．
【解答】解：连接，，设正方形的边长为，正方形边长为，，则，，
四边形和都是正方形，
，，
设，
由勾股定理得：，，
①，②，
①②，得，
，
，
，
，
，
，
，
即，
把代入①，得，
正方形的面积与正方形的面积之和是16，
，
，
解得（负值舍去），
．
故答案为：8．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出是解此题的关键．
18．（2022 海曙区自主招生）如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 6 ．
【分析】连接，，，设，利用的圆周角所对的弦是直径可得，是的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出，，可得当为的直径时，最大，的值最大，然后进行计算即可解答．
【解答】解：连接，，，
设，
，
是的直径，
，
，，，
，
，
，
，
，
当为的直径时，最大，的值最大，
，
的最大值，
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（2022 九龙坡区自主招生）如图，正方形的边长为4，为对角线的交点，点，分别为，的中点，以为圆心，4为半径作圆弧，再分别以，为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
【分析】连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形减去直角三角形的面积之差．
【解答】解：连接，，如图，
正方形的边长为4，为对角线的交点，
由题意可得：，经过点，且，．
点，分别为，的中点，
，
，．
弓形弓形．
阴影部分的面积等于弓形的面积．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
20．（2021 太仓市自主招生）如图，有一块矩形木板，，，工人师傅在该木板上锯下一块宽为的矩形木板，并将其拼接在剩下的矩形木板的正下方，其中、、、分别与、、、对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则的取值范围是 ，且最大圆的面积是 ．
【分析】如图，设与相切于点，交与，连接，延长交于，设的半径为．在中，当点与重合时，的面积最大，此时，利用勾股定理求出半径，再构建不等式求出的取值范围即可；
【解答】解：如图，设与相切于点，交与，连接，延长交于，设的半径为．
在中，当点与重合时，的面积最大，此时，
，则有：，
．
的最大面积为，
由题意：，
，
故答案为，．
【点评】本题考查垂径定理、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
21．（2021 太仓市自主招生）如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）若，求（用表示）；
（2）过点作于，交于，，求（用表示）；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【分析】（1）连接，设，，则，证明，，，得出，即可得出结果；
（2）连接，由直角三角形内角和证明，由点为弧中点，得出，即可得出结果；
（3）连接，证明，得出，则，求出，由勾股定理得出，则，，证明，得出，求出，即可得出结果．
【解答】解：（1）连接，如图1所示：
设，，
则，
点为弧中点，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，如图2所示：
为直径，
，即，
，
，
，
点为弧中点，
，
，
；
（3）连接，如图3所示：
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
．
【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．
22．（2021 成都自主招生）如图，是的外接圆，为直径，，于，于，
（1）判断的形状；
（2）设的半径为1，且，求证：．
【分析】（1）为等腰三角形，理由为：根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角的度数，求出圆心角的度数为，再由，得到三角形为等边三角形，可得出三内角为，再由与垂直，根据垂直的定义得到为直角，利用平角的定义求出为，又垂直于，得到为直角，由为，得出为，可得出，根据等角对等边可得出，即三角形为等腰三角形；
（2）由半径为1及的长，根据求出的长，在直角三角形中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，由的长得出的长，再由求出的长，在直角三角形中，由为直径，为，根据锐角三角函数定义求出的长，发现，再由三角形与三角形都为底角为的等腰三角形，得到两对底角相等，利用可得出两三角形全等．
【解答】解：（1）为等腰三角形，理由为：
，圆周角与圆心角都对，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
则为等腰三角形；
（2），，
，，
在中，，
，
，
又为圆的直径，
，
在中，，
，即，
，
在和中，
，
．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．
23．（2021 武进区校级自主招生）如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心．求证：
（1）是的外接圆的切线；
（2）．
【分析】（1）根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得是的外心，然后证得，即可证得是的外接圆的切线；
（2）根据（1）可以得到，，即可证得．
【解答】解：（1），
，
．
同理，．
故点是的外心．
连接，，
是的中点，且，
，即．
是外接圆的切线．
（2）由（1）可得：
的中点是的内心，
，
又，
，
，
同理可得：
．
【点评】本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得是的外心是关键．
24．（2017 镇海区校级自主招生）如图，已知是某圆的内接四边形，，于，求证：．
【分析】首先在上截取，连接，由，根据垂直平分线的性质，即可得到，得到；再由，得到，而，则，根据圆内接四边形的性质得，易得，从而可证出，得到，即有．
【解答】证明：在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
而，
，
又，，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
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第二十四章 圆（难度拔高卷）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。）
1．（2022 北碚区自主招生）如图，是的切线，为切点，交于点，若的半径长为1，，则线段的长是
A．1 B． C．2 D．
2．（2022 渝北区自主招生）如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
3．（2022 南陵县自主招生）如图，和是的两条弦（即是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，若，，则的长为
A． B． C． D．
4．（2022 南岸区自主招生）如图，在中，，则等于
A． B． C． D．
5．（2021 武昌区校级自主招生）如图，在中，，，，是边上一点，且，点在上，与、相切于、，则的面积为 ．
A． B． C． D．
6．（2021 巴南区自主招生）如图，与相切于点，交于点，点在上，连接，．若，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2021 西湖区校级自主招生）如图，、是的两条相交弦，，，则的直径是
A．2 B．4 C． D．
8．（2021 郎溪县校级自主招生）如图为圆的内接三角形，为中点，为中点，，，则的大小为
A． B． C． D．
9．（2021 武进区校级自主招生）如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是
A． B． C． D．
10．（2021 武进区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是
A． B． C． D．
11．（2020 连城县校级自主招生）如图，中，是的直径，交于点，交于点，点是中点，的切线交于点，则下列结论中①；②；③；④是中点，正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2020 青田县校级自主招生）如图，正方形的边长为2，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是
A． B． C． D．
13．（2020 金东区校级自主招生）如图，是直径，点，在半圆上，若，则
A． B． C． D．
14．（2020 和平区校级自主招生）如图，为的直径，为的中点，为劣弧上一个动点（点不与，重合），过作的切线交延长线于点，连接并延长交延长线于点，给出下列结论：
①若，则；
②若，则；
③可能成为的平分线；
④若的半径为1，则；
⑤．
其中正确结论的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
15．（2022 徐汇区校级自主招生）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为 ．
16．（2022 宁波自主招生）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
17．（2022 南陵县自主招生）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中，，在上，、在半圆上．若则正方形的面积与正方形的面积之和是16，则的长为 ．
18．（2022 海曙区自主招生）如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 ．
19．（2022 九龙坡区自主招生）如图，正方形的边长为4，为对角线的交点，点，分别为，的中点，以为圆心，4为半径作圆弧，再分别以，为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
20．（2021 太仓市自主招生）如图，有一块矩形木板，，，工人师傅在该木板上锯下一块宽为的矩形木板，并将其拼接在剩下的矩形木板的正下方，其中、、、分别与、、、对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则的取值范围是 ，且最大圆的面积是 ．
三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
21．（2021 太仓市自主招生）如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）若，求（用表示）；
（2）过点作于，交于，，求（用表示）；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
22．（2021 成都自主招生）如图，是的外接圆，为直径，，于，于，
（1）判断的形状；
（2）设的半径为1，且，求证：．
23．（2021 武进区校级自主招生）如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心．求证：
（1）是的外接圆的切线；
（2）．
24．（2017 镇海区校级自主招生）如图，已知是某圆的内接四边形，，于，求证：．
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